【北师大版】选修21练习第3章检测题A

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1、2019年北师大版精品数学资料第三章检测题A时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()ABCD答案C解析本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题由双曲线的右焦点(3,0)知c3，即c29，又c2a2b2，9a25，即a24，a2.离心率e.关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a2和b2，若所给方程为1，很多同学易出现把a和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误2已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4B5C7D8答案D解析由

2、题意，得m2>10m，且10m>0，于是6<m<10.再由(m2)(10m)22，得m8.3抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2B2CD1答案D解析由y28x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d1.4(2013·浏阳高二检测)如图，共顶点的椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为()Ae1e2e4e3Be1e2e3e4Ce2e1e3e4De2e1e4e3答案A5若直线l过点(3,0)与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线有()A1条B2条C3条D4条答案C解析双曲线为1，焦点在x轴上，(3,

3、0)为双曲线右顶点，故过(3,0)有3条直线与双曲线只有一个公共点6如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M、O、N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3B2CD答案B解析本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为，所以离心率的比值2.对于圆锥曲线要熟练掌握椭圆和双曲线的异同点7(2014·长春市期末调研)经过双曲线1(a>0，b>0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为()A2BCD答案A解析由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，

4、tan60°，ba，代入a2b2c2中得4a2c2，e24，e>1，e2，故选A8若直线y2(x1)与椭圆1交于A、B两点，则|AB|()ABCD答案C解析由方程组消去y整理得3x25x0，x10，x2，y12，y2.|AB|.9(2014·江西文)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A1B1C1D1答案A解析如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为yx(也可设为yx)，由题意知，以F的半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与

5、渐近线yx的交点，可求得A点坐标为A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，在OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A解答本题关键是要找出A与O、B、F连线的几何关系10点P在椭圆7x24y228上，则点P到直线3x2y160的距离的最大值为()ABCD答案C解析利用数形结合法，设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l：yxb，与椭圆方程联立消一元后，令0可求得b±4，然后求直线l与3x2y160的距离即得所求的最大值二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11椭圆1的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上

6、，使F1PF290°的点P有_个答案0解析设a>b>0，c，以O为圆心，以c为半径画圆；当c<b时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当cb时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c>b时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a24，b23，c1，b，因此这样的点P不存在12在ABC中，已知|BC|8，则满足|sinCsinB|sinA的动点A的轨迹方程是_答案1(y0)解析由正弦定理得：|AB|AC|4<|BC|，据定义可得A点的轨迹为双曲线(除掉顶点)由题意知2a4，a242c8，c21

7、6，b2c2a212，方程为1(y0)13椭圆C1：1的左准线是l，左、右焦点分别是F1、F2，抛物线C2的准线也是l，一个焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，则|PF2|的值等于_答案解析P是椭圆上的点，则2|PF2|P到椭圆右准线的距离，P是抛物线上的点，则|PF2|P到左准线l的距离，|PF2|2|PF2|2·8，|PF2|.14若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程为_答案1解析双曲线x2y21的焦点为(，0)(，0)，所以由条件知a2b22又抛物线的焦点为(2,0)a2，a24，b22，椭圆方程1.15已知椭圆C：1(a>b

8、>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.答案解析本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题在ABF中，由余弦定理得，cosABF，|BF|216|BF|640，|BF|8，设右焦点为F1，因为直线过原点，|BF1|AF|6，2a|BF|BF1|14，a7，O为RtABF斜边AB的中点，|OF|AB|5，c5，e.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)若平行于

9、OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围解析(1)设椭圆方程为1，代入点A(2,3)，1，解得a216.椭圆方程为1.(2)设直线l的方程yxb，代入1，得3x23bxb2120，(3b)212(b212)0，4b4.17已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程解析解法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以OQC90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，所以x2(y)2(去掉原点)解法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90°，则Q在以OC为直径的

10、圆上，故Q点的轨迹方程为x2(y)2(去掉原点)解法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得，即又因为x(y13)29，所以4x24(y)29，即x2(y)2(去掉原点)18(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|.(2)若直线l的斜率为1，求b的值解析(1)求椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程式为yxc，其中c，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，

11、则A、B两点坐标满足方程组消去y化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.19已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D(1)证明：点F在直线BD上；(2)设·，求直线l的方程解析设直线l与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点D的坐标为(x1，y1)，由题意得l的方程为xmy1(m0)(1)证明：将xmy1代入y24x并整理，得y24my40，从而y1y24m，y1y24.直线BD的方程为yy

12、2·(xx2)，即yy2·(x)令y0，得x1.所以点F(1,0)在直线BD上(2)由，知x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1.因为(x11，y1)，(x21，y2)，所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m±.所以l的方程为3x4y30,3x4y30.20(2014·新课标理)已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当

13、OPQ的面积最大时，求l的方程解析(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)>0，即k2>时，x1,2从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd·|PQ|.设t，则t>0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k±时等号成立，且满足>0.此时SOPQmax1，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.21已知椭圆C

14、1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a>2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2得x4x，即，解得k±1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2得x，y，将x、y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直线AB的方程为yx或yx.