精编高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算习题精选北师大版必修5113045

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1、精编北师大版数学资料§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在ABC中,若A=105°,B=30°,BC=,则角B的平分线的长是()A.B.2C.1D.解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在BCD中,BDC=120°,BCD=45°,BC=,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在ABC中,若AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析:如图,在ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2

2、AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=.答案:B3.若ABC的周长等于20,面积是 10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsin A,得10bc×sin 60°,即bc=40.又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以

3、a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大值时,A的大小为()A.B.C.D.解析:由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C.因为0<A<,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cossin A-cos(-A)=sin A+cos A=2sin.因为0<A<,所以<A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值2.答案:A5.导学号3319404

4、2在ABC中,若C=60°,c=2,周长为2(1+),则A为()A.30°B.45°C.45°或75°D.60°解析:根据正弦定理,得2R=,所以sin A+sin B+sin 60°=,所以sin A+sin B=,即sin A+sin(A+C)=sin(A+60°)+sin A=sin(A+30°)=sin(A+30°)=,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,

5、这条边所对的角为60°,另两边之比为32,则这个三角形的面积是. 解析:设另两边分别为3x,2x,则cos 60°=,解得x=,故两边长为3和2,所以S=×3×2×sin 60°=.答案:7.已知在ABC中,AC=2,AB=3,BAC=60°,AD是ABC的角平分线,则AD=. 解析:如图,SABC=SABD+SACD,所以×3×2sin 60°=×3ADsin 30°+×2AD×sin 30°,所以AD=.答案:8.在ABC

6、中,若AB=a,AC=b,BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,BAC=. 解析:设BAC=,则BC2=a2+b2-2abcos .S四边形ABDC=SABC+SBCD=absin +BC2=(a2+b2)+ab·sin(-60°),即当BAC=150°时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150°9.已知ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为. 解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a

7、-4)2-2a(a-4)·cos 120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,SABC=×6×10×sin 120°=15.答案:1510.已知ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a+3c=0,则sin Asin Bsin C=. 解析:因为G是ABC的重心,所以=0,又2a+3c=0,所以2a-3c()=0,即(2a-3c)+(b-3c)=0,则所以abc=322,由正弦定理,得sin Asin Bsin C=322.答案:32211.导学号33194043(2017全国2高考)ABC的内角A

8、,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为×4×2sinBAC=2,所以ABD的面积为.