最新苏教版高中数学必修五模块高考热点透视【含答案】

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1、最新教学资料苏教版数学必修5模块高考热点透视模块高考热点透视第1章解三角形【命题趋势】本章知识是高考的必考内容，重点考查正弦定理、余弦定理及其应用；既有填空题，又有解答题，难度中档；填空题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，解答题常与三角函数、平面向量交汇命题(如2012江苏卷第15题)，考查解三角形、三角变换、几何计算等问题，尤其涉及三角面积的问题，更是高考考查的热点.正弦定理与余弦定理(教材第16页第1题)在ABC中，如果sin Asin Bsin C234，那么cos C等于()A.BCD1(2012福建高考)在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_.【命题意图】本题主要

2、考查正弦定理在解三角形中的应用【解析】根据正弦定理，得，即ACsin B2.【答案】2(2012湖北高考改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b20acos A，则sin Asin Bsin C为_【命题意图】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用【解析】因为a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得abc，所以ac2，bc1.又由已知3b20acos A，所以cos A.由余弦定理可得cos A，则由可得，联立，得7c213c600，解得c4或c(舍去)，则a6，b5.故由正弦定理可得：sin Asin Bsin Cab

3、c654.【答案】6541(2012北京高考)在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_【解析】cos Ac2，而，故sin C1C.【答案】2(2012陕西高考)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a2，B，c2，则b_.【解析】利用余弦定理得：b2a2c22accos B412222cos 16124，b2.【答案】2有关三角形的面积问题(教材第17页习题第13题)如图1，已知圆图1内接四边形ABCD中，AB2，BC6，ADCD4，如何求四边形ABCD的面积？1(2012新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A.(1)求

4、A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查学生基本运算能力，难度适中【解】(1)由casin Cccos A及正弦定理得sin Asin Ccos Asin Csin C.由于sin C0，所以sin(A)，又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4，而a2b2c22bccos A，故c2b28，解得bc2.2(2012江西高考)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.【命题意图】本题主要考查

5、两角和与差余弦公式的应用，考查余弦定理及三角形面积公式的应用【解】(1)3(cos Bcos Csin Bsin C)16cos Bcos C3cos Bcos C3sin Bsin C1，3cos(BC)1，即cos(A)，则cos A.(2)由(1)得sin A，由面积Sbcsin A2可得bc6，则根据余弦定理cos A，则b2c213两式联立可得或(2012山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.【解】(1)由已知得：sin B()，

6、sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，sin Bsin(AC)sin Asin C，又ABC，sin(AC)sin B，sin2Bsin Asin C，再由正弦定理可得：b2ac，所以a，b，c成等比数列(2)若a1，c2，则b2ac2，cos B，0B，sin B，ABC的面积Sacsin B12.最值问题(教材第19页例4)图2如图2，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？(2011湖南高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

7、且满足csin Aacos C.(1)求角C的大小；(2)求sin Acos(B)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小【命题意图】本题考查正弦定理及同角关系，考查两角和与差的公式应用，考查学生的三角恒等变换能力及转化能力【解】(1)由正弦定理，得sin Csin Asin Acos C，因为0A，所以sin A0，从而sin Ccos C.又cos C0，所以tan C1，则C.(2)由(1)知，BA.于是sin Acos(B)sin Acos(A)sin Acos A2sin(A)因为0A，所以A.从而当A，即A时，2sin(A)取得最大值2，且B.综上所述，sin Acos(B)的最大

8、值为2，此时A，B.(2011浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围【解】(1)由题设并利用正弦定理，得解得a1，c或a，c1.(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B1，得p2(，2)，由题设知p0，所以p.第2章数列【命题趋势】数列既是高中数学的重点内容，又是高考考查的重点与热点主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式及其应用；

9、考查叠加法、叠乘法、反序相加法、错位相减法等基本方法；并注重函数与方程思想，分类讨论思想，等价转化思想的考查由于数列是特殊的函数，因此数列常与函数、方程、不等式交汇命题(如2012江苏卷第20题)，考查数学思维能力、充分体现以能力注意的命题指导思想.等差数列(教材第44页第3题)在等差数列an中，(1)已知a11，d2，n15，求an和Sn；(2)已知a113，d2，an7，求n和Sn；(3)已知a18，n5，an，求d和Sn；(4)已知an2，n12，Sn90，求a1和d.1(2012辽宁高考改编)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11_.【命题意图】本题主要考查等差数

10、列的性质、前n项和公式及转化的数学能力，难度较小【解析】a1a11a4a816，S1188.【答案】882(2012北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_.【命题意图】本题考查等差数列的定义，通项公式及前n项和公式，同时考查了方程思想及基本量的运算技巧【解析】S2a1a2a3，da3a2a1，a2a1d1.【答案】11(2012广东高考)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.【解析】设等差数列公差为d，则由a3a4，得12d(1d)24，d24，d2.由于该数列为递增数列，d2.an1(n1)22n1.【答案】2n12(2012福建高考改编)等

11、差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为_【解析】a1a52a310，a35，所以da4a32.【答案】2等比数列(教材第61页第3题)在等比数列an中，(1)已知a11.5，a796，求q和Sn；(2)已知q，S5，求a1和an；(3)已知a12，S326，求q和an.1(2012新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，也考查了等比数列中基本量的运算求解能力【解析】由题意得4a14a2a30且a10，即44qq20，解得q2.【答案】22(2012广东高考)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5

12、_.【命题意图】本题考查等比数列性质的运用，以及转化与化归思想的应用【解析】由等比数列的等比中项性质知a2a4a，有a1aa5(a)2.【答案】3(2012江西高考)等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1，若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.【命题意图】本题主要考查等比数列的前n项和公式及公比的求法，考查灵活运用知识的能力【解析】设数列an的公比为q，由an2an12an0，得anq2anq2an0，显然an0，所以q2q20.又q1，解得q2.又a11，所以S511.【答案】111(2012安徽高考改编)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则

13、a5_.【解析】设等比数列的公比为q，则a3a11a(a5q2)216a16，因为an0，所以a51.【答案】12(2012课标全国卷改编)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10_.【解析】an为等比数列，a5a6a4a78，联立可解得或，q3或q32，故a1a10a7q37.【答案】73(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S23a22，S43a42，则q_.【解析】由S23a22，S43a42相减可得a3a43a43a2，同除以a2可得2q2q30，解得q或q1，因为q0，所以q.【答案】等差、等比数列的综合应用(教材第68页第12题)已

14、知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.1(2012北京高考改编)已知an为等比数列，下面结论中正确的是_(填序号)a1a32a2；aa2a；若a1a3，则a1a2；若a3a1，则a4a2.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式以及利用基本不等式分析解决问题的能力，考查分类讨论思想，难度适中【解析】设an的首项为a1，公比为q，则a2a1q，a3a1q2.a1a3a1(1q2)，又1q22q，当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2；当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2，故不正确aaa(1q4)，又1q42q2

15、且a0，aa2a，故正确若a1a3，则q21.q1.当q1时，a1a2；当q1时，a1a2.故不正确若q0，则a3qa1q，即a4a2；若q0，则a3qa1q，此时a4a2，故不正确【答案】2(2012湖北高考)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的基本运算及性质，前n项和，同时考查了方程思想和分类讨论的思想【解】(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意知解得或故等差数列an的通项公式为：an3n5或an3n7.(2)当an3n

16、5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不是等比数列，所以an3n7.当n1时，数列|an|的和为：S14；当n2时，数列|an|的和为：S2415；当n3时，Sna1a2a3a4an(a1a2an)2S24n310n2n10.当n2时，符合上式所以Sn3(2012浙江高考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考察灵活运用数学方法解题的能力及运算求解能力，难度一般【解】(1)由Sn2n2n，得当n1时

17、，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.n1时满足上式，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.1(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图21所示的三角形数：图21将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，

18、可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)【解析】(1)由图可知an1an(n1)(nN)所以a2a12，a3a23，anan1n.累加得ana123n，即an123n.当n4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，时，an能被5整除，即b2a5，b4a10，b6a15，b8a20，所以b2ka5k(kN)所以b2 012a51 006a5 030.(2)由(1)可知b2k1a5k15k(5k1).【答案】(1)5030(2)2(2013聊城高二检测)设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1

19、)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.【解】(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意得12dq421，14dq213，2得，2q4q2280，解得q24.又由题意知bn各项为正，所以q2，代入得d2，所以an2n1，bn2n1.(2)由(1)可知，又Sn1，Sn，得Sn113，Sn6.第3章不等式【命题趋势】一元二次不等式、基本不等式是解决问题的重要工具，应用十分广泛，因此本章内容是高考考查的热点，从江苏近几年高考试题看填空题主要考查不等式的性质、一元二次不等式、基本不等式及其应用、线性规划问题；解答题常与函数、数列、解析几何交汇命题，考查含参数的不等式的解法、范

20、围与最值问题，并渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的考查.一元二次不等式(教材第79页习题第2题)解下列一元二次不等式：2x23x2；3x25x40；x(x2)x(3x)1；(3x1)(x1)4.1(2011广东高考改编)不等式2x2x10的解集是_【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力【解析】由原不等式得(x1)(2x1)0，x或x1，即不等式的解集为(，)(1，)【答案】(，)(1，)2(2011福建高考改编)若关于x的方程 x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_【命题意图】本题考查一元二次方程的判别式，题目简单，重在考查基

21、础知识【解析】方程x2mx10有两个不相等的实数根，m240，m2或m2.【答案】(，2)(2，)3(2012江苏高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_【命题意图】本题以一元二次不等式解法为主，兼顾三个“二次”的关系的考查【解析】由题意a24b0，所以f(x)c，可换为x2axc0，Nx|x24，则MN_.【解析】Mx|lg x0x|x1，Nx|x24x|2x2，MN(1,2【答案】(1,2基本不等式(教材第106页习题第16题)已知正数x，y满足x2y1，求的最小值1(2012浙江高考改编)若正数x，y满足

22、x3y5xy，则3x4y的最小值是_【命题意图】本题主要考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想的应用，难度较大【解析】由x3y5xy得y0，则有3x4y3x3x3x(5x3)2 5，当且仅当(5x3)时，3x4y取得最小值，解得x1或x.当x时，y为负值，舍去，即x1时取得最小值【答案】52(2012陕西高考改编)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则下列各式正确的是_(只填序号)av；v；v；v.【命题意图】本题考查了对平均速度的理解及运算求解能力，以及对均值定理熟练运用的能力，难度中等【解析】设甲、乙两地之间的距离为s，ab，v.又vaa0，va.正确

23、的是.【答案】2(2012陕西高考改编)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为_【解析】cos C，又a2b22ab，2ab2c2.cos C.cos C的最小值为.【答案】2(2012福建高考改编)下列不等式一定成立的是_(只填序号)lg(x2)lg x(x0)；sin x2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；1(xR)【解析】当x0时，x22xx，所以lg(x2)lg x(x0)，故选项不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项不正确；由基本不等式可知，选项正确；当x0时，有1，故选

24、项不正确【答案】线性规划问题(教材第94页习题第7题)已知实数x，y满足条件求zx3y的最小值1(2012湖北高考)若变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值是_【命题意图】本题主要考查线性规划的有关知识，考查数形结合思想的应用，难度适中【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)可知当直线z2x3y经过的交点M(1,0)时，z2x3y取得最小值，则zmin2.【答案】22(2012山东高考改编)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是_【命题意图】本题考查线性规划的知识及数形结合思想，难度一般【解析】画出可行域可知目标函函数z3xy过4xy1与2xy

25、4的交点(，3)时，z取最小值为，当z3xy过2xy4与x2y2的交点(2,0)时z有最大值为6.【答案】，61(2012广东高考改编)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_【解析】先画出可行域如图所示，再将zx2y变形为截距式方程yx，把l0：yx平移到经过点(1，2)时，截距有最小值，则z也有最小值，zmin(1)2(2)5.【答案】52(2012课标全国卷改编)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是_【解析】由顶点C在第一象限且与A、B构成正三角形可求得点C坐标为(1，2)，将目标函数化为斜截式为y

26、xz，结合图形可知当yxz过点C时z取到最小值，此时zmin1，当yxz过点B时z取到最大值，此时zmax2，综合可知z的取值范围为(1，2)【答案】(1，2)必修5模块学习评价模块学习评价(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.【解析】q3，q.【答案】2(2013临沂高二检测)若函数f(x)则不等式f(x)4的解集是_【解析】不等式f(x)4等价于或即0x或4x0.因此，不等式f(x)4的解集是(4，)【答案】(4，)3设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2

27、a7_.【解析】依题意得3a412，a44，所以a1a2a77a428.【答案】284设等差数列an的前n项和为Sn，a2a46，则S5等于_【解析】由a2a46可得，S515.【答案】155在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于_【解析】依题意与正弦定理得，sin C，C60或C120.当C60时，A90，ABC的面积等于ABAC；当C120时，A30，ABC的面积等于ABACsin A.因此，ABC的面积等于或.【答案】或6已知点P(x，y)的坐标满足条件那么x2y2的取值范围是_【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O到直线2xy20的距离最

28、小为，此时可得(x2y2)min；点(1,2)到原点O的距离最大，为，此时可得(x2y2)max5.【答案】，57若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为_【解析】an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19(n1)(3)223n.设an的前k项和数值最大，则有k.kN*，k7.故满足条件的n的值为7.【答案】78在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b，B，tan C2，则c_.【解析】sin2Csin C.由正弦定理，得，cb2.【答案】29在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等

29、比数列，A60，则_.【解析】a，b，c成等比数列，b2ac，c，aasin A.【答案】10已知向量a(3，2)，b(x，y1)，若ab，则4x8y的最小值为_【解析】ab，3(y1)(2)x0，2x3y3.4x8y22x23y224，当且仅当2x3y，即x，y时等号成立【答案】411已知x0，y0，且xyxy，则ux4y的取值范围是_【解析】xyxy，1，u1(x4y)()(x4y)5()549.【答案】9，)12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C0，则tanA的值是_【解析】依题意及正弦定理可得，b2c2a2bc，则由余

30、弦定理得cos A，又0A，所以A，tan Atan .【答案】13等比数列an，an0，q1，且a2 、a3、a1成等差数列，则_.【解析】a2，a3，a1等差，a3a1a2，a1q2a1a1q，即q21q，q2q10，q.an0，q，.【答案】14在ABC中，A60，BC，D是AB边上的一点，CD，BCD的面积为1，则AC的长为_【解析】由BCD的面积为1，可得CDBCsinDCB1，即sinDCB，所以cosDCB.在BCD中，由余弦定理可知，cosDCB，解得BD2，所以cosDBC.又在BCD中，DBC对应的边长最短，所以DBC为锐角，所以sinDBC.在ABC中，由正弦定理可知，可

31、得AC.【答案】二、解答题(本题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.若ABC的面积等于，求a、b.【解】由余弦定理，知c2a2b22abcos C，又c2，C，a2b2ab4.ABC的面积等于，absin C，ab4.联立方程得得a2，b2.16(本小题满分14分)已知an是等比数列，a12，且a1，a31，a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设等比数列an的公比为q，则a3a1q22q2，a4a1q32q3

32、.a1，a31，a4成等差数列，a1a42(a31)，即22q32(2q21)，整理得2q2(q2)0，q0，q2，an22n12n(nN*)(2)bnlog2anlog22nn，Snb1b2bn12n.17(本小题满分14分)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，c2(ab)2，且ab4，(1)求cos C的值；(2)求ABC周长的最小值【解】(1)由向量数量积定义和余弦定理得abcos Ca2b22abcos C(a2b22ab)，即3abcos C2ab，cos C.(2)labc4c，c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab，ab()24(ab2时取等号)，c2

33、164.当且仅当ab2时，lmin44.18(本小题满分16分)已知在等比数列an中，a12，a318，等差数列bn中，b12，且a1a2a3b1b2b3b420.(1)求数列an的通项公式an；(2)求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设数列an的公比为q.因为等比数列an中，a12，a318，a1a3a，所以a26.又因为a1a2a320，所以a26，故公比q3.所以an23n1.(2)设数列bn的公差为d，则b1b2b3b44b16da1a2a326.由b12，可知d3，所以bn3n1.所以数列bn的前n项和Sn.19(本小题满分16分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂

34、，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂问哪种方案更合算？【解】由题意知f(n)50n12n4722n240n72，(1)由f(n)0，即2n240n720，解得2n18，由nN*知，从第三年开始盈利(2)方案：年平均纯利润402(n)16，当且仅当n6时等号成立故方案共获利61648144(万元)，此时n6

35、.方案：f(n)2(n10)2128.当n10时，f(n)max128.故方案共获利12816144(万元)比较两种方案，获利都是144万元，但由于第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案更合算20(本小题满分16分)设数列bn的前n项和为Sn，且bn22Sn；数列an为等差数列，且a514，a720.(1)求数列bn的通项公式；(2)若cnanbn(n1,2,3，)，Tn为数列cn的前n项和，求Tn.【解】(1)bn22Sn，令n1，则b122S1，又S1b1，所以b1.当n2时，由bn22Sn，可得bn122Sn1，所以bnbn12(SnSn1)2bn，即，所以bn是以b1为首项，为公比的等比数列，于是bn2.(2)由数列an为等差数列，且a514，a720，可得公差d(a7a5)3，a1a54d2，可得an3n1，从而cnanbn2(3n1)，所以Tn2258(3n1)，Tn225(3n4)(3n1)两式相减得Tn22333(3n1)，所以Tn.