数学选修21苏教版：第3章　空间向量与立体几何 章末复习 Word版含答案

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1、 精品资料章末复习学习目标1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步理解空间向量的概念及运算.3.能熟练应用向量法解决立体几何问题1空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行laa0面面平行vkv，kR线线垂直lmabab0线面垂直laak，kR面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为，cos线面夹角l，的夹角为，sin面面夹角，的夹角为，cos2用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论关键点如

2、下：(1)选择恰当的坐标系坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程(2)点的坐标、向量的坐标的确定将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题(3)几何问题与向量问题的转化平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键1abac(a0)的本质是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b与c不一定相等()2设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为.()3两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()4若空间向量a平

3、行于平面，则a所在直线与平面平行()类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_答案解析容易推出0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义跟踪训练1如图，在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，M分成

4、的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a，b，c表示.解连结AN，则，由已知ABCD是平行四边形，故ab，又M分成的比为，故(ab)又N分成的比为2，故(c2b)于是(ab)(c2b)(abc)类型二利用空间向量解决位置关系问题例2在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD.(2)平面PBC平面PCD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，A(0，a,0)E.(1)，(a，a,0)，(a

5、,0，b)设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n，因为n(a,0，b)0，所以n，又PC平面EBD，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m，因为m(0，a,0)0，所以m，即平面PBC平面PCD.反思与感悟1.证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量2证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向

6、向量与平面内的两个不共线向量是共面向量3证明面面平行的方法(1)转化为线线平行、线面平行处理(2)证明这两个平面的法向量是共线向量4证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直5证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直6证明面面垂直的方法(1)转化为证明线面垂直(2)证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz

7、.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.(1,0,0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和平面A1FD1的一个法向量，由得令y11，得m(0,1，2)又由得令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例3已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1DBB1的正切值解以点B1为坐标原点，B1A1，B1C1，B1B所在直线分别为

8、x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，A(1,0,1)，B(0,0,1)，D1(1,1,0)，E，F，D(1,1,1)(1)因为(0,1，1)，所以cos，因为，0，180，所以AD1与EF所成的角为60.(2)由图可得(1,0,0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则sin，所以cos.(3)设平面D1DBB1的一个法向量n1(x，y，z)，因为(1，1,0)，(0,0,1)，由n1，n1，得令y1，则n1(1,1,0)同理可得平面C1DB的一个法向量n2(1,1,1)，则cosn1，n2，tann1，n2.即二面角C1DBB1的正切

9、值为.反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin|cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点(

10、1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值(1)证明如图，取AE的中点H，连结HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.(2)解如图，在平面BEC内，过B点作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0

11、,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为AB平面BEC，所以(0,0,2)为平面BEC的法向量设n(x，y，z)为平面AEF的法向量又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2，1,2)从而|cosn，|，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.1已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则()_.答案解析在BCD中，因为点G是CD的中点，所以()，从而().2若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，则实数的值是_答案2解析ab(，1，1)由(ab)a，知(ab)a0，0(1)1(1)(1)0，解得2.3已知向量a(42m，m1，m1)与b(4,22m，22

12、m)平行，则m_.答案1或3解析当22m0，即m1时，a(2,0,0)，b(4,0,0)，满足ab；当22m0，即m1时，ab，解得m3.综上可知，m3或m1.4已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_答案xyz0解析e(x，y，z)(1,1,1)xyz0.5已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，存在实数m，使得cmm(2，1,2)(2m，m,2m)|c|3，3|m|3，m1，c(2，1,

13、2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题坐标方法经常与向量运算结合起来使用一、填空题1下列说法中不正确的是_(填序号)若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反；若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|；空间向量的减法满足结合律；在四边形ABCD中，一定有.答案解析依据相反向量的定义知，只有正确2已知O

14、是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_.答案1解析由A，B，C，D四点共面知2x(3y)(4z)，所以2x3y4z1，即2x3y4z1.3空间中，若向量a(5,9，m)，b(1，1,2)，c(2,5,1)共面，则m_.答案4解析向量a，b，c共面，存在实数，使得abc，即(5,9，m)(，2)(2，5，)(2，5，2)解得m24.4已知不重合的平面和平面的法向量分别为m(3,1，5)，n(6，2,10)，则平面，的位置关系为_(填“平行”“垂直”)答案平行解析n(6，2,10)，m(3,1，5)，n2m.mn.与平行5在平行六面体AB

15、CDA1B1C1D1中，若a2b3c，则abc_.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案解析由平行六面体ABCDA1B1C1D1，得，又已知a2b3c，可得a1,2b1,3c1，解得a1，b，c，所以abc.6在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量用，表示为_答案解析因为，且，所以，即.7已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_答案1,3解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2或x1，当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3

16、)a，a与b同向，所以8已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x_.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案6解析A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)，(2,0，4)，(4，2,0)，(x,2,4)四点A，B，C，D共面，存在实数，使得，(x,2,4)(2,0，4)(4，2,0)，解得x6.9已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案解析如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分

17、别为M，N.可求得AM，BM，CN，DN，MN1.，|2()2|2|2|22()21220，|.10.如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是_答案解析如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，(4，4,0)，(0,4，2)，cos，所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.二、解答题11.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC

18、，M，N分别为PC，PB的中点求BD与平面ADMN所成的角.解如图所示，以A点为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，则N(1,0,1)，所以(2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)，设平面ADMN的法向量为n(x，y，z)，则由得取x1，则z1，所以n(1,0，1)因为cos，n，所以sin|cos，n|.又090，所以30.12.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，当的值等于多少时，能使A1C平面C1BD?解不妨设x，C

19、C11，使A1C平面C1BD.则A1CC1B，A1CC1D，而，由0，得()()220，注意到，可得方程1x20，解得x1或x(舍)，所以当1时，能使A1C平面C1BD.13在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图(1)，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图(2)(1)求证：CDAB；(2)求BC与平面ACD所成角的正弦值(1)证明由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD.又AB平面ABD，CDAB.(2)解以D为坐标原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图

20、由已知条件可得D(0,0,0)，A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0，2,0)，(1,0，1)设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，可得令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)设BC与平面ACD所成的角为，(2,2,0)，sin|cos，n|，BC与平面ACD所成角的正弦值为.三、探究与拓展14正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_考点向量法求解直线与平面所成的角题点向量法解决直线与平面所成的角答案解析取BC的中点O，连结AO，DO，以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z

21、轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，则A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，又直线与平面所成角的范围是，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明AEA1B1，A1B1

22、AB，ABAE，又ABAA1，AEAA1A，AE，AA1平面A1ACC1，AB平面A1ACC1，又AC平面A1ACC1，ABAC.以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，E，F，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)设D(x1,0,1)，则，且0,1，即(x1,0,0)(1,0,0)，D(，0,1)，又，0，DFAE.(2)解存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.理由如下：设平面DEF的法向量为n(x2，y2，z2)，则，即令z22(1)，n(3,12，2(1)由题意可知平面ABC的法向量m(0,0,1)平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cosm，n|，即，或.0,1，舍去点D为A1B1的中点