高中数学苏教版选修21学案：3.1.12 空间向量及其线性运算 共面向量定理 Word版含解析

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1、 精品资料3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理1了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理(重点)2体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理证明线面平行问题(难点)3掌握向量共线与共面和直线共线与共面的区别与联系(易混点)基础初探教材整理1空间向量及其线性运算阅读教材P81的部分，完成下列问题1空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量2空间向量的线性运算空间向量的线性运算定义(或法则)加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量

2、加法的平行四边形法则平行四边形OACB的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab减法与平面向量类似，a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：大小：|a|a|.方向：当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a01判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小()(2)空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小，不决定向量的方向()(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆()(4)若|a|b|，则ab或ab.()(5)已知四边形AB

3、CD，O是空间任意一点，且，则四边形ABCD是平行四边形()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是_【解析】如图所示，().【答案】教材整理2共线向量阅读教材P82例1上面的部分，完成下列问题1共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量向量a与b平行，记作ab，规定零向量与任意向量共线2共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使ba.教材整理3共面向量阅读教材P84的部分，完成下列问题1共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理

4、如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.有下列命题：平行于同一直线的向量是共线向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正确的命题有_【解析】“共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线均正确【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型空间向量及有关概念下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a，b满足|a|b|，且a，b同向，则ab；(4)零向量没

5、有方向其中不正确的命题的序号为_【精彩点拨】根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论【自主解答】对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错【答案】(1)(2)(3)(4)1因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决2对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题再练一题1下列

6、命题中正确的个数是_(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|b|；(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内【解析】(1)(3)(4)正确，(2)不正确【答案】3空间向量的线性运算化简：()()【精彩点拨】根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算【自主解答】法一：将减法转化为加法进行化简，()()0.法二：利用，化简()()()()0.法三：，()()()()0.1计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键2计算三个或多个空间向量

7、的和或差时，要注意以下几点：(1)三角形法则和平行四边形法则；(2)正确使用运算律；(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量再练一题2如图311所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，若a，b，c，则_(用向量a，b，c表示)图311【解析】abcbbabc.【答案】abc共线向量定理及其应用(2016石家庄高二检测)如图312，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线图312【精彩点拨】要证明B，G，N三点共线，可证明，即证明存在实数，使.【

8、自主解答】设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B，G，N三点共线判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：(1)考察是否存在实数，使；(2)考察对空间任意一点O，是否有t；(3)考察对空间任意一点O，是否有xy(xy1).再练一题3在例3中，若把条件“GMGA13”换为“GMGA11”把“N是面ACD的重心”换为“”，增加条件“B，G，N三点共线”，其余不变，试求的值【解】设a，b，c，()()(abc)a(abc)abc.()abc.B，G，N三点共线，故存在实数k，使k，即abck，故解得k，.共面向量定理及其应用如图313所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边

9、AB，BC，CD，DA的中点(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD平面EFGH.图313【精彩点拨】(1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x，y，使xy即可(2)要证BD平面EFGH，只需证向量与向量，共面即可【自主解答】(1)如图所示，连结BG，EG，则().由共面向量定理知E，F，G，H四点共面(2)设a，b，c，则ca.(cb)abc，c(ab)abc.假设存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共线解得.，是共面向量，BD不在平面EFGH内BD平面EFGH.1空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在实数对x，y，使

10、xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据2用共面向量定理证明线面平行的关键(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可再练一题4对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量a，b，c，d，且存在非零实数，使abcd0(0)求证：A，B，C，

11、D四点共面【证明】因为存在非零实数，使abcd0(0)成立，则()，代入得abc()d0，即(ad)(bd)(cd)0，即0，与，共面，即A，B，C，D四点共面探究共研型共线、共面向量的特征探究1如何理解共线向量及共线向量定理？【提示】(1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数，使或即可(3)对于空间任意一点O，若有(1)成立，

12、则A，B，C三点共线探究2如何理解共面向量定理？【提示】(1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据(2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据探究3若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？【提示】两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面如图314所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.证明：与，共面图314【精彩点拨】由共面向量定理，只要用，线性表示出即可【自主解答】，与，共面再练一题5如图315，正方体ABC

13、DA1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点证明：向量，是共面向量图315【证明】法一：().由向量共面的充要条件知，是共面向量法二：连结A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，BE綊DD1，FG綊BE，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BD，EF共面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都与平面A1BD平行，是共面向量构建体系1已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，则_.【解析】0.【答案】02已知正方体ABCDABCD中，设a，b，c，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且AFEF，则_(用a，b，c表

14、示)【解析】由条件AFEF知，EF2AF，所以abc.【答案】abc3ab(是实数)是a与b共线的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】abab，但当b0，a0时，则ab，ab.【答案】充分不必要4设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三点共线，则k的值是_. 【导学号：09390070】【解析】e13e2，2e1e2，(2e1e2)(e13e2)e14e2.A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2是空间两个不共线的向量，k8.【答案】85已知ABCD，从平面AC外一点

15、O，引向量k，k，k，k.图316求证：(1)四点E，F，G，H共面；(2)平面AC平面EG.【证明】(1)四边形ABCD是平行四边形，.kkk()kk()k()，E，F，G，H共面(2)k()k，又k，EFAB，EGAC，所以平面AC平面EG.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1下列命题中，假命题是_(填序号)若与共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；只有零向量的模等于0；共线的单位向量都相等【解析】正确共线的单位向量方向不一定相同，错误【答案】2下列结论中，正确的是_(填序号)若a，b，c共面，则存在实数x，y

16、，使axbyc；若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使axbyc；若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使axbyc.【解析】要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确【答案】3已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么_.【解析】P与A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1，解得.【答案】4如图317，已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_(用向量a

17、，b，c表示)图317【解析】设G为BC的中点，连结EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.【答案】3a3b5c5如图318，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1，若xyz，则xyz_.图318【解析】()，x1，y1，z，xyz.【答案】6如图319，在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其重心，则化简的结果为_. 【导学号：09390071】图319【解析】E为BCD的重心，DEDF，.0.【答案】07i，j，k是三个不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A，B，C，D四点共面，则的值为_【解析】若A

18、，B，C，D四点共面，则向量，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得abc0，即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，【答案】18有四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题是_(填序号)【解析】由共面向量定理知，正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使pxayb成立，故错误；同理正确，错误【答案】二、解答题9如图3110所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD

19、是平行四边形若，2，若b，c，a，试用a，b，c表示.图3110【解】如图，连结AF，则.由已知ABCD是平行四边形，故bc，ac. 由已知，2，c(ca)(a2c)，又(bc)，(bc)(a2c)(abc)10如图3111所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形图3111【证明】E，H分别是AB，AD的中点，则()()，且|.又F不在直线EH上，四边形EFGH是梯形能力提升1平面内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足xy，2xy，则x3y_.【解析】由点A，B，C，D共面得xy

20、，又由点B，C，D，E共面得2xy，联立方程组解得x，y，所以x3y.【答案】2已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若，则_.【解析】如图，取AB的中点D，()()().3.【答案】33(2016贵港高二检测)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是_【解析】a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确综上可知，四个命题中正确的个数为0.【答案】04如图3112，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H为BC的中点求证：FH平面EDB.图3112【证明】因为H为BC的中点，所以()()(2)因为EFAB，CDAB，且AB2EF，所以20，所以().因为与不共线，由共面向量定理知，共面因为FH平面EDB，所以FH平面EDB.