高三数学一轮复习课时检测3.3导数的应用二含解析

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1、3.3 导数的应用(二)一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个答案A2若函数yf(x)可导,则“f(x)0有实根”是“f(x)有极值”的 ()来源:A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A(1,2) B(,3)(6,)C(3,6) D(,1)(2,)解析f(x)3x22ax(a6),因为函数有极大值和极小值,所以f(x)0有两个不相等的实数根,

2、所以4a243(a6)0,解得a3或a6.答案B4已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m、n1,1,则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析:求导得f(x)3x22ax,由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即342a20,a3.由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x,易知f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下,且对称轴为x1,当n1,1时,f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案:A5函数yxex,x0,4的最小值为()A0

3、B. C. D.解析yexxexex(x1)y与y随x变化情况如下:x0(0,1)1(1,4)4y0y0当x0时,函数yxex取到最小值0.答案A6设aR,函数f(x)exaex的导函数是f(x),且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()来源:Aln2 Bln2C. D.解析 f(x)exaex,这个函数是奇函数,因为函数f(x)在0处有定义,所以f(0)0,故只能是a1.此时f(x)exex,设切点的横坐标是x0,则ex0ex0,即2(ex0)23ex020,即(ex02)(2ex01)0,只能是ex02,解得x0ln2.正确选项为A.答案 A 7设函数f(

4、x)ax2bxc(a,b,cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析若x1为函数f(x)ex的一个极值点,则易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2,则f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex,x1为函数f(x)ex的一个极值点,满足条件;选项C中,对称轴x0,且开口向下,a0,b0,f(1)2ab0,也满足条件;选项D中,对称轴x1,且开口向上,a0,b2a,f(1)2ab0,与图矛盾,故答案选D.答案D二、填空题8已知f(x)2x36x23,对任意的x2,2都有f(x)a,则a的取值范围为_解析:由f(x)6x2

5、12x0,得x0,或x2.又f(2)37,f(0)3,f(2)5,f(x)max3,又f(x)a,a3.答案:3,)9函数f(x)x22ln x的最小值为_解析由f(x)2x0,得x21.又x0,所以x1.因为0x1时,f(x)0,x1时f(x)0,所以当x1时,f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)1.答案110若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值,则a的取值范围_解析f(x)3x26ax3(a2),由已知条件0,即36a236(a2)0,解得a2.答案(,1)(2,)11设函数f(x)ax33x1(xR),若对于任意x1,1,都有f(x)0成立,则实数a的值为_解

6、析(构造法)若x0,则不论a取何值,f(x)0显然成立;当x0,即x(0,1时,f(x)ax33x10可化为a.设g(x),则g(x),所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)maxg4,从而a4.当x0,即x1,0)时,同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增,g(x)ming(1)4,从而a4,综上可知a4.答案4【点评】 本题考查了分类讨论思想构造函数,同时利用导数的知识来解决.12已知函数f(x)的自变量取值区间为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间若g(x)xmlnx的保值区间是2,),则m的值为_解析 g(x)1,当x2时,函数g(x)为增函数,因

7、此g(x)的值域为2mln2,),因此2mln22,故mln2.答案 ln2三、解答题13已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5,其导函数yf(x)的图象经过(1,0),(2,0)点,如图所示(1)求x0的值;(2)求a,b,c的值解析(1)由f(x)随x变化的情况x(,1)1(1,2)2(2,)f(x)00可知当x1时f(x)取到极大值5,则x01(2)f(x)3ax22bxc,a0由已知条件x1,x2为方程3ax22bxc0,的两根,因此解得a2,b9,c12.14已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线为l:3xy10,若x时,yf(x)有极值(1

8、)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解析:(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb,当x1时,切线l的斜率为3,可得2ab0.当x时,yf(x)有极值,则f0,可得4a3b40.由解得a2,b4.由于切点的横坐标为x1,f(1)4,1abc4,c5.a2,b4,c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4,令f(x)0,得x12,x2.当x变化时,y、y的取值及变化如下表:x3(3,2)21y00y8单调递增13单调递减单调递增4yf(x)在3,1上的最大值为13,最小值为.15设f(x)x3x22ax.来源:(1)若f(

9、x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a2时,f(x)在1,4上的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值解析(1)由f(x)x2x2a22a,当x时,f(x)的最大值为f2a;令2a0,得a.所以,当a时,f(x)在上存在单调递增区间即f(x)在上存在单调递增区间时,a的取值范围是(2)令f(x)0,得两根x1,x2.所以f(x)在(,x1),(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2),又f(4)f(1)6a0,即f(4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a.得a1,x22,从而f(x)在

10、1,4上的最大值为f(2).来源:16设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线的斜率为k.问:是否存在a,使得k2a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由思路分析先求导,通分后发现f(x)的符号与a有关,应对a进行分类,依据方程的判别式来分类解析(1)f(x)的定义域为(0,)f(x)1.令g(x)x2ax1,其判别式a24.当|a|2时,0,f(x)0.故f(x)在(0,)上单调递增当a2时,0,g(x)0的两根都小于0.在(0,)上,f(x)0.故f(x)在(0,)上单调

11、递增当a2时,0,g(x)0的两根为x1,x2.当0xx1时,f(x)0,当x1xx2时,f(x)0;来源:数理化网当xx2时,f(x)0.故f(x)分别在(0,x1),(x2,)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减(2)由(1)知,a2.因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2),所以,k1a.来源:又由(1)知,x1x21,于是k2a.若存在a,使得k2a,则1.来源:即ln x1ln x2x1x2.由x1x21得x22ln x20(x21)(*)再由(1)知,函数h(t)t2ln t在(0,)上单调递增,而x21,所以x22ln x212 ln 10.这与(*)式矛盾故不存在a,使得k2a.【点评】 本题充分体现了分类讨论思想.近几年新课标高考常考查含参数的导数问题,难度中等偏上,考生最容易失分的就是对参数的分类标准把握不准,导致分类不全等来源:数理化网

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