湖北省黄冈市高三3月调考数学理试题及答案

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1、湖北黄冈2015高三3月份质量检测—数学理 黄冈市教育科学研究院命制 2015年3月16日下午2:00～4:00 一. 选择题:本大题共10小题,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分. 1. 是z的共轭复数,若z+=3,（z-）=3i（i为虚数单位）,则z的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. 3 C. -3 D. 2 2. 若二项式（x+）7的展开式中的系数与的系数之比是35:21,则a=（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 3. 设集合M={y|y=|cos2

2、x-sin2x|,x∈R},N={x|y=ln（1-x2）},则M∩N=（ ） A. {x|-1≤x≤1} B. {x|-1≤x≤0} C. {x|0＜x≤1} D. {x|0≤x＜1} 4. 设命题p:若||=||=,且与的夹角是,则向量在方向上的投影是1;命题q:“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件,下列判断正确的是（ ） A. p∨q是假命题 B. p∧q是真命题 C. p∨q是真命题 D. ﹁q为真命题 5. 将函数的图象向左平移α（α＞0,且α值最小）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则tanα的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知

3、直线ax+by=0与双曲线（0＜a＜b）交于A,B两点,若A（x1,y1）,B（x2,y2）满足|x1-x2|=3,且|AB|=6,则双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在区间[-,]上随机取一个数x,则cosπx的值介于与 之间的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一个未知量（图形的体积或面积）, 先将它分成许多微小的量（如面分成线段,体积分成薄片等）,再用另一组微 小单元来进行比较

4、. 如图,已知抛物线y=x2,直线l:x-2y+4=0与抛物线交 于A. C两点,弦AC的中点为D,过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy, 交抛物线于点B,则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数f（x）=（x≠-2）,下列关于函数（其中a为常数）的叙述中：①a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0<a<. 其中真命题的序号是（ ）. A. ①②③ B. ②③④ C. ②③

5、D. ①③④ 二. 填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. （一）必考题11～14 11. 某程序框图如图所示,则输出的S的值为_______. 12. 现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计 共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效 证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对2015年春运 期间120名购票的旅客进行调查后得到下表: 购买火车票方式 身份证 户口簿 军人证 教师证 其他证件 旅客人数 a 6 8 b 19

6、已知a-b=57,则使用教师证购票的旅客的频率大约为_________. 13. 已知实数x. y满足且t=ax+by（0≤a＜b）取得最小值1,则2+3的最大值 为______. 14. 对于集合N={1,2,3,…,n}和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1,2,3,4,5}的交替和是5–4＋3–2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2–1）=4，请你尝试对n=3. n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3. S4，并根据计算结果

7、猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=. （不必给出证明） （二）选考题（请考生在15. 16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B钢笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分） 15（选修4-1:几何证明选讲） 如图,A,B是圆O上两点,且OA⊥OB,OA=1,C为OA的中点, 连接BC并延长交圆O于点D,则CD=______. 16（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线ρ2-2ρcosθ-2sinθ+1=0（0≤θ≤2π）,则直线（t为参数） 与曲线的最小距离为_________. 三. 解

8、答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分11分）已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）在△ABC中，若,∠B=，AC=2，求△ABC的面积. 18. （本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，S3＝7，且a1+2,2a2,a3+1成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，，其中N*. （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式； （2）设A={a1,a2,…,a9}，B={b1,b2,…,b38},C=A∪B，求集合C中所有元素之和. 19. （本小题满分12分）如图,

9、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,四边形BCC1B1是边长为6的正方形,直线AB与平面ACC1A1所成的角的正切值为3,点D为棱AA1上的动点,且AD＞DA1. （1）当AD为何值时,CD⊥平面B1C1D? （2）当AD=2,时,求二面角B1-DC-C1的正切值. 20. （本小题满分12分）某高中有甲. 乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的. （1）甲小组做了三次

10、试验,求至少两次试验成功的概率; （2）若甲. 乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. 21. （本小题满分14分）如图. 已知F1,F2分别为椭圆（a＞b＞0） 的左,右焦点,其离心率e=,且a+c=3. （1）求椭圆的标准方程; （2）设A. B分别为椭圆的上. 下顶点,过F2作直线l与椭圆交于 C. D两点,并与y轴交于点P（异于A. B. O点）,直线AC与直线 BD交于点Q,则·是否为定值,若是,请证明你的结论; 若不是,请说明理由. 22. （本小题满分14分）设函数f（x）=-x+alnx（a∈R

11、）（e=2. 71828…是一个无理数）. （1）若函数f（x）在定义域上不单调,求a的取值范围; （2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2,记过点A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））的直线斜率为k,若 k≤·a-2恒成立,求a的取值集合. 黄冈市2015年3月高三年级调研考试 理科数学参考答案 一. 选择题 1. B2. A3. D4. C5. B6. D7. A8. D9. B10. B 二. 填空题 11. 3012. 0. 12513. 14. n·2n-115. 16. 三. 解答题 17. 解：（1）f（x）＝2

12、（sinx＋cosx）cosx－＝sinxcosx＋cos2x－ ＝sinx＋cos2＝sin（2x＋）…………………………5分 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得 x∈[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z） 即函数f（x）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）……………6分 （2）∵0＜A＜π∴＜2A＋＜π,fA. ＝sin（2A＋）＝ ∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或A＝…………………………8分 A＝时，C＝π，a＝2sinA＝·2＝－1,S△ABC＝absinC＝………10分 ②当A＝时，C＝，S△ABC＝ab＝2…………………………………………11分 注：得一

13、解只给9分 18. 【解析】（1）∵，∴① ∵a1+2,2a2,a3+1成等差数列，∴a1+2+a3+1=4a2,②…………………2分 ②－①得，即③又由①得，④ 消去得，，解得或（舍去） ∴………………………………………………4分 当N*时，，当时， ∴当时，，即…………6分 ∴，，，. ∴···…·=···…·∴ ∵，∴， 故N*）………………………………………………8分 （2）S9==29-1=511，T38==2147. ……………………10分 ∵A与B的公共元素有1，4，16，

14、64，其和为85， ∴集合C中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573. …………………12分 19. 解法一:（1）∵四边形BCC1B1是边长为6的正方形,∴BC=CC1=AA1=6. ∵∠ACB=90°,∴AC⊥B C. 又易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BC,又AC∩AA1=A, ∴BC⊥平面ACC1A1. ∠BAC就是直线AB与平面ACC1A1所成的角, ∴tan∠BAC===3,∴AC=2,又BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面ACC1A1. ∴B1C1⊥CD,故当CD⊥C1D时有CD⊥平面B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设

15、AD=x,则=, 即=,解得x=3±,由于AD＞DA1. 故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分 （2）在平面ACC1A1内过点C1作C1E⊥CD,交CD的延长线于点E,连接EB1,如图. 由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥C D. 故∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角. 当AD=2时,DC=4,=CC1·AC=6,∴DC·C1E=6, 解得C1E=3,故tan∠B1EC1==2, 即二面角B1-DC-C1的正切值为2. …………………12分 解法二:（向量法）（1）取C为坐标原点,

16、CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直线坐标系. 同解法一可求得AC=2. 设AD=x,则点C（0,0,0）,A（2,0,0）,B1（0,6,6）,C1（0,0,6）,D（2,0,x）. ∴=（0,6,0）,=（-2,0,6-x）,=（2,0,x）. 由解得x=3±,由于AD＞DA1. 故当AD=3+时,CD⊥平面B1C1 D. ………6分 （2）若AD=2,则点D（2,0,2）,=（2,0,2）,=（0,6,6）,设平面B1CD的法向量为=（x,y,z）. 由得令z=-1,得=（,1,-1）,又平面C1DC的法向量为=（0,1,0）. 设

17、二面角B1-DC-C1的大小为θ,则cosθ===, ∴sinθ=,∴tanθ==2. 即二面角B1-DC-C1的正切值为2. ………………12分 20. 解:（1）设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件A,则 PA. =（）2×（1-）+（）3=…………………………5分 （2）由题意的取值为0,1,2,3,4. P（ξ=0）=（）0×（）2·（）0×（）2=, P（ξ=1）=（）×（）×（）0×（）2+（）0×（）2×（）×（）=, P（ξ=2）=（）2×（）0

18、·（）0×（）2+（）0×（）2·（）2×（）0+（）×（）·（）×（）=， P（ξ=3）=（）2×（）0·（）×（）+（）×（）1·（）2×（）0=， P（ξ=4）=（）2×（）0·（）2×（）0=…………………………9分 故的分布列为 0 1 2 3 4 P ∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=……………………12分

19、21. 解析:（1）由题意得,=,又a+c=3,解得a=2,c=1,∴b2=3, 故所求椭圆的标准方程为. ……………………4分 （2）·是为定值3. 证明如下:……………………………6分 显然,当直线l垂直于x轴时,不合题意,当直线l不垂直于x轴时,由（1）得F2（1,0）, 设直线l的方程为x=my+1（m≠0）,则P（0,-）. 将直线x=my+1代入整理得（3m2+4）y2+6my-9=0. 设C（x1,y1）,D（x2,y2）,则＞0. 由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-. …………………………………8分 直线AC的方程为y-=x,直线BD的方程为y

20、+=x,联立消去x得 =,∴（）2=== ===（）2. ………………10分 ∵-＜y1,y2＜,∴与异号,x1x2=m2y1y2+m（y1+y2）+1=m2（-）+m（-）+1 =,∴与异号,∴与同号,∴= 解得y=-3m,因此Q点的坐标为（xQ,-3m）,又P（0,-）, 故·=（0,-）·（xQ,-3m）=3（定值）. ………………………………14分 （2）法二：设直线l的方程为y=k（x-1）,P（0，-k）,代入整理得 （3+4k2）x2－8k2x+4k2－12=0,x1+x2=,x1x2=,……①………８分 直线AC的方程为y-=x,直线BD的

21、方程为y+=x,联立消去x得 ==,………………………………１０分 由合分比定理得 ，将①代入化简得y=－ 故·=（0,-ｋ）·（xQ,－）=3（定值）………………………………14分 22. 解析:（1）∵f（x）的定义域为（0,+∞）,f′（x）=--1+=-,………1分 令g（x）=x2-ax+1,其判别式=a2-4. ①当-2≤a≤2时,≤0,f′（x）≤0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题意. …………2分 ②当a＜-2时,＞0,g（x）=0的两根都小于零,故在（0,+∞）上,f′（x）＜0,故f（x）在（0,+∞）上单调递减,不合题

22、意. ………………………………………………………………………3分 ③当a＞2时,＞0,设g（x）=0的两个根x1,x2都大于零,令x1=, x2=,x1x2=1. 当0＜x＜x1时,f′（x）＜0,当x1＜x＜x2时,f′（x）＞0,当x＞x2时, f′（x）＜0,故f（x）分别在（0,x1）,（x2,+∞）上单调递减,在（x1,x2）上单调递增, 综上所述,a的取值范围是（2,+∞）. ……………………………………………6分 （2）依题意及（1）知,a=x1+x2=x2+>2,∵f（x1）-f（x2）=–x1+alnx1-（–x2+alnx2） =+（x2-x1）+a（ln

23、x1-lnx2）, ∴k==--1+a·=-2+a·. ………8分 若k≤a-2,则-2+a·≤a-2,∴≤. 不妨设x1＜x2,则x1-x2≤（lnx1-lnx2）. 又x1=, ∴–x2≤（-2lnx2）,∴–x2+·lnx2≤0（x2＞1）①恒成立. 记F（x）=–x+·lnx（x＞1）,记x1′=[-], x2′=[+]. 由（1）③知F（x）在（1,x2′）上单调递增,在（x2′,+∞）上单调递减,且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e. 又F（1）=0,F（e）=0,所以,当x∈（1,e）时,F（x）＞0;当x∈[e,+∞）时,F（x）≤0. 故由①式可得,x2≥e,代入方程g（x2）=x22-ax2+1=0,得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e,+∞）上递增）. 又a＞2,所以a的取值集合是{a|a≥e+}. ………………………………14分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org