浙江高考数学理科二轮讲练【专题6】第3讲计数原理含答案

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1、第3讲计数原理考情解读(1)高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力(2)排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等1分类加法计数

2、原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2排列与组合(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A.(2)组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C.(3)组合数的性质CC；CCC.3二项式定理(1)二项式定理

3、：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)(2)二项展开式的通项Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC·2n2n1.热点一两个计数原理例1(1)将1,2,3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当3,4固定在图中

4、的位置时，填写空格的方法为()A6种 B12种C18种 D24种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920思维启迪(1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类答案(1)A(2)A解析(1)每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法共有2×36种结果，故选A.(2)分8类，当中间数为2

5、时，有1×22种；当中间数为3时，有2×36种；当中间数为4时，有3×412种；当中间数为5时，有4×520种；当中间数为6时，有5×630种；当中间数为7时，有6×742种；当中间数为8时，有7×856种；当中间数为9时，有8×972种故共有26122030425672240种思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化(1)(2014·大纲全国)有6名

6、男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种(2)已知函数f(x)ln(x21)的值域为0,1,2，则满足这样条件的函数的个数为()A8 B9C26 D27答案(1)C(2)B解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC75(种)(2)因为值域为0,1,2即ln(x21)0x0，ln(x21)1x±，ln(x21)2x±，所以定义域取值即在这5个元素中选取，当定义域中有3个元素时，CCC4，当定义域中有4个元素时，CC4，当定义域中有5个元素时，有一种情况所以共有4419(个)这样

7、的函数热点二排列与组合例2(1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168(2)(2014·衡水模拟)数列an共有12项，其中a10，a52，a125，且|ak1ak|1，k1,2,3，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A84 B168C76 D152思维启迪(1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数答案(1)B(2)A解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相

8、声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法(2)|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，C×C84.思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先

9、满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种(2)(2014·淄博模拟)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是_(用数字作答)答案(1)C(2)60解析(1)首先安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A种排法，

10、共有2×4×2×A96(种)(2)0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位的四位偶数有A24(个)；二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有AAA36(个)，故共有四位偶数60个热点三二项式定理例3(1) ()8二项展开式中的常数项为()A56 B56C112 D112(2)如果(1xx2)(xa)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为_思维启迪(1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和答案(1)C(2)5解

11、析(1)Tr1C()8r()rC(2)r，令r0，即r2，常数项为C(2)2112，(2)令x1得(1xx2)(xa)5的展开式中所有项的系数和为(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，其展开式中含x4项的系数为C(1)3C(1)05.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“

12、赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法(1)(2014·湖北)若二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A2 B.C1 D.(2)(2014·浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A45 B60C120 D210答案(1)C(2)C解析(1)二项式(2x)7的展开式的通项公式为Tr1C(2x)7r·()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中的系数是C22a584，解得a1.(2)因为f(m，n)CC，所以f(3,0)

13、f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.1排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定

14、序问题倍缩法；多排问题一排法；“小集团”问题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法2二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项(2)运用通项公式Tr1Canrbr解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r，然后代入通项公式求解(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时

15、要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有A种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.2(2014·山东)若(ax2)6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_答案2解析(ax2)6的展开式的通项

16、为Tr1C(ax2)6r·()rCa6rbrx123r，令123r3，得r3，由Ca63b320得ab1，所以a2b222，故a2b2的最小值为2.押题精练1给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为()A6 B12 C24 D48答案A解析由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可因此共有C6(种)不同的涂法，故选A.2上海卫视台

17、百里挑一收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A8种 B16种 C18种 D24种答案A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA8(种)故选A.3()2n的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为()A120 B252 C210 D45答案C解析根据二项式系数的性质，得2n10，故二项式()2n的展开式的通项公式是Tr1C(

18、)10r·()rCx5.根据题意令50，解得r6，故所求的常数项等于C210.4若(12x)2 014a0a1xa2 014x2 014，则的值为()A2 B0 C1 D2答案C解析因为(12x)2 014a0a1xa2 014x2 014，令x，则(12×)2 014a00.令x0，可得a01.所以1.(推荐时间：40分钟)一、选择题1(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A24对 B30对 C48对 D60对答案C解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对

19、角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对又正方体共有6个面，所以共有16×696(对)又因为每对被计算了2次，因此成60°角的面对角线有×9648(对)2在(x)5的二项展开式中，x2的系数为()A40 B40C80 D80答案A解析(x)5的展开式的通项为Tr1Cx5r()r(2)rCx5，令52，得r2，故展开式中x2的系数是(2)2C40，故选A.3从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果

20、按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A224 B112C56 D28答案B解析根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：CC112.4若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0a1a3a5的值为()A122 B123 C243 D244答案B解析在已知等式中分别取x0、x1与x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123，故选B.5(2014·四川)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C1

21、5 D10答案C解析因为(1x)6的展开式的第r1项为Tr1Cxr，x(1x)6的展开式中含x3的项为Cx315x3，所以系数为15.6计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()AAA BAAACCAA DAAA答案D解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有AAA种7二项式()n的展开式中第4项为常数项，则常数项为()A10 B10C20 D20答案B解析由题意可知二项

22、式()n的展开式的常数项为T4C()n3()3(1)3Cx，令3n150，可得n5.故所求常数项为T4(1)3C10，故选B.8有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A6 B18C20 D24答案B解析由题意知，名次排列的种数为CA18.9在二项式(x2)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1答案C解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，令x1，则该二项展开式

23、中的各项系数的和等于(12)50，故选C.10用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为()A60 B80C120 D260答案D解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是CA60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C×3×260；如果使用4

24、种颜色，方法种数是CA120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是206060120260，故选D.二、填空题11“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注的五个焦点小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为_答案72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点选出3个，有C种不同的选法；在调查时，“雾霾治理”安排的调查顺序有A种可能情况，其余三个热点调查顺序有A种，故不同调查顺序的

25、总数为CAA72.12(x1)(4x24)3的展开式中的常数项为_答案160解析(x1)(4x24)3(x1)(2x)6，其中(2x)6展开式的第r1项为Tr1C(2x)6r·()r(1)r·C·26r·x62r，令r3，可得T4(1)3C·23160，所以二项式(x1)(4x24)3的展开式中常数项为(1)×(160)160.13(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A

26、，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法于是符合题意的排法共有AAAA36(种)14(2014·课标全国)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析设通项为Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7的系数为Ca315，a3，a.15某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为_答案36解析若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C×A×C18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×C×A18种所以满足题意的分法共有181836种16已知(x)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(xa)(x2a)2的展开式中x2项的系数为_答案6解析(x)6的二项展开式的通项为Tr1Cx6r()rCarx6，令60，得r4，则其常数项为Ca415a4240，则a416，由a>0，故a2.又(xa)(x2a)2的展开式中，x2项为3ax2.故x2项的系数为(3)×26.