北京市东城区示范校高三上综合测试数学理试题及答案
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1、北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷(理科)本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分。考试时长120分钟。第I卷(选择题 共40分)一、选择题。(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1. 设U=R,集合,则下列结论正确的是A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 3. 设二项式的展开式中常数项为A,则A=A. -6B. -4C. 4D. 6 4. 如图所示的程序框图表示求算式“”之值,则判断框内不能填入A. ?B. C. ?D. ? 5. 已知有唯一的零点,则实数
2、的值为A. 0B. -1C. -2D. -3 6. 设为非零常数,则“与解集相同”是“”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件 7. 设集合,集合,若,则实数的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知不等式在上恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D. 第II卷(非选择题 共110分)二、填空题。(本大题共6小题,每小题5分,满分30分) 9. 复数的虚部为_。 10. 已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的体积是_。 11. 如图,ABC内接于O,点D在OC的延长线上,A
3、D与O相切,割线DM与O相交于点M,N,若B=30,AC=1,则DMDN=_。 12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表:假定每月初可以和电信部门约定上网方案。方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制(限60小时)50元0.05元/分钟(无上限)丙有限包月制(限30小时)30元0.05元/分钟(无上限)若某用户每月上网时间为66小时,应选择_方案最合算。 13. 数列的前项和记为,若,则数列的通项公式为_。 14. 圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图装置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A
4、走过的路径的长度为_。三、解答题。(本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) 15. (本小题满分13分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为,满足,且。(I)求C的大小;(II)求的最大值,并求取得最大值时角A,B的值。 16. (本小题满分13分)如图,四棱锥中,PA平面ABCD,ABC=BAD=90,AD=2PA=2AB=2BC=2。(I)求三棱锥的外接球的体积;(II)求二面角与二面角的正弦值之比。 17. (本小题满分13分)设集合,从S的所有非空子集中,等可能地取出一个。(I)设,若,则,就称子集A满足性质,求所取出的非空子集满足性质的概率;(II)所
5、取出的非空子集的最大元素为,求的分布列和数学期望。 18. (本小题满分14分)如图,已知椭圆的左焦点为F(,0),过点M(-3,0)作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于不同的两点A、B,延长BF交椭圆W于点C。(I)求椭圆W的离心率;(II)若MAC=60,求直线的斜率。 19. (本小题满分13分)已知定义在上的函数,。(I)求证:存在唯一的零点,且零点属于(3,4);(II)若且对任意的恒成立,求的最大值。 20. (本小题满分14分)给定正奇数,数列:是1,2,的一个排列,定义E(,)为数列:,的位差和。(I)当时,求数列:1,3,4,2,5的位差和;(II)若位差和E(,)=4,求满足
6、条件的数列:,的个数;(III)若位差和,求满足条件的数列:的个数。参考答案:一、选择题。(共8小题,每小题5分,共40分) 1. A2. B3. B4. D5. B6. A7. C8. D 7. 提示:由图可知,不等式组所表示的区域非空当且仅当点()位于直线的下方,即,由此解得。原题等价于函数的最大值小于2,即。 8. 提示:为R上的减函数,故,从而,所以,得。二、填空题。(共6小题,每小题5分,共30分) 9. -110. 11. 312. 乙 13. 14. 提示:A走过的路径由9段圆心角均为的劣弧组成,其中6个劣弧所在圆的半径为1,3个劣弧所在圆的半径为,所以点A走过的路径的长度为。三
7、、解答题。(共6小题,共80分) 15. (本小题满分13分)解:(I)由,可得,即,又,所以,由正弦定理得,(4分)因为,所以0,从而,即。(6分)(II)由余弦定理,得,又,所以,于是,(11分)当时,取到最大值。(13分) 16. (本小题满分13分)解:(I)连接AC,则ACCD,又PA平面ABCD,PACD,CD平面PAC,又PC平面PAC,PCD=90,(2分)而PAD=90,从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。(4分)直径,所以三棱锥P-ACD外接球的体积。(6分)(II)建立坐标系,以点A为坐标原点,分别为轴正方向,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0
8、),P(0,0,1)。设平面PBC的法向量,则即=(1,0,1)由(I)知CD平面PAC,故平面PAC的一个法向量为=(-1,1,0),(8分)所以。二面角B-PC-A的大小为,其正弦值为,(10分)由CD平面PAC,得平面PCD平面PAC,二面角A-PC-D为直二面角,其正弦值为1,(12分)综上,二面角BPCA与二面角APCD的正弦值之比为。(13分) 17. (本小题满分13分)解:可列举出集合S的非空子集的个数为:个。(2分)(I)满足性质的非空子集为:,共7个,所以所取出的非空子集满足性质的概率为:。(6分)(II)的可能值为1,2,3,4,5。12345P(11分)。(13分) 1
9、8. (本小题满分14分)解:(I)由题设,解得,(3分)所以椭圆W:,离心率。(5分)(II)设直线的方程为。联立得,由直线与椭圆W交于A、B两点,可知,解得,设点A,B的坐标分别为,则,(8分)因为F(-2,0),设点A关于轴的对称点为C,则C(),所以,又因为,所以B,F,C共线,从而C与C重合,连接MC,则,(12分)则MAC为等边三角形,所以直线的斜率,符合,综上,直线的斜率为。(14分) 19. (本小题满分13分)解:(I),则,故在上单调递增,(3分)而,所以存在唯一的零点。(6分)(II)由(I)存在唯一的零点显然满足:,且当时,;当时,当时,等价于,设。则,故与同号,因此当
10、时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增,(10分)故,由题意有,又,而,故的最大值是3。(13分) 20. (本小题满分14分)解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3分)(II)若数列:,的位差和E(,)=4,有如下两种情况:情况一:当,且,其他项(其中)时,有种可能;(5分)情况二:当分别等于,或,或,其他项(其中)时,有种可能;(7分)综上,满足条件的数列:的个数为。(8分)例如:时, 情况一:形如2,1,4,3,5,共有2+1=3种:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3,2,5,4; 情况二:形如3,2,1,
11、4,5,共有5-2=3种:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2,5,4,3; 形如2,3,1,4,5,共有5-2=3种:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3; 形如3,1,2,4,5,共有5-2=3种:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。(III)将去绝对值符号后,所得结果为112233的形式,其中恰好有个数前面为减号,这表明,(10分)此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为:2个1,2个2,2个和1个。(11分)上面的讨论表明,题中所求的数列是使得E()最大的数列,这样的数列在时,要求从1,2,中任选一个数作为,将剩余数中较大的个数的
12、排列作为,的对应值,较小的个数的排列作为,的对应值,于是所求数列的个数为。综上,满足条件的数列的个数为(14分)例如:时,E()。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为:2个1,2个2和1个3。若E()=12,此时时,要求从1,2,3,4,5中任选一个数作为,将剩余数中较大的2个数的排列作为,的对应值,较小的2个数的排列作为的对应值,于是所求数列的个数为。4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2;4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1;4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1
13、;3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1;3,4,5,1,2;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。题目背景:假设现在有种物品,已经按照某种标准排列,并依次确定编号为1,2,鉴别师事先不知道物品的标准排列编号,而是根据自己的判断,对这种物品进行排列依次编号为,其中是1,2,的一个排列,那么可以用数列:的位差和E()=,来评判鉴别师的能力。当E()越小,说明鉴别师能力越强;反之越大,说明鉴别师能力越弱;当E()=0,说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致,判断完全正确;第二问,位差和E()=4时,给出数列:的情况;第三问,说明位差和E()最大值为,且给出取得最大值时,数列:的情况。欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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