【学霸优课】数学理一轮教学案：第二章第9讲　函数模型及函数的综合应用 Word版含解析

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1、第9讲函数模型及函数的综合应用考纲展示命题探究1常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表

2、现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，因此x1，故选D.3某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元C30元 D.元答案A解析依题意可设SA(t)20kt，SB(t)mt.又SA(100)SB(100)，100k20100m，得km0.2，于是SA(150)SB(150)20150k150m20150(0.2)10，即两种方式电话费相差10元，选A.4. 如图，某人在垂直于水平地面AB

3、C的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)答案解析由于ABBC，AB15 m，AC25 m，所以BC 20 m过点P作PNBC交BC于N，连接AN(如图)，则PAN，tan.设NCx(x0)，则BN20x，于是AN，PNNCtan30x，所以tan，令t，则1625t240t1，当t时，625t240t1取最小值，因此 的最小值为，这时tan的最大值为.5某山区外围有两条相互垂直的直线型公路

4、，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,4

5、0)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时， g(t)0，g(t)是增函数；从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米6某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m为安全和

6、空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h1)时达到距水面最大高度4 m规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围解(1)由题意知抛物线的最高点为(2h,4)，h1，故设抛物线的方程为yax(2h)24.当h1时，最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24.将A(2,3)代入，得3a(23)24，解得a1.所以当h1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y(x3)24.(2)将A(2,3)代入yax(2h)24，整理得ah21.由题意，方程ax(2h)240在

7、区间5,6内有一解由得，yf(x)ax(2h)24x(2h)24，则，解得1h.故达到较好的训练效果时h的取值范围是.函数的综合问题所涉及到的数学知识、思想、方法综合性较强，都是高中教材和大纲中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等解题时要处理好各种关系，正确运用函数的性质，利用函数知识与方法解决问题注意点数学思想在函数综合应用问题中的使用(1)注意应用数形结合思想，将问题进行等价转化(2)注意应用函数与方程思想，解决函数问题.1思维辨析(1)不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越

8、快的形象比喻()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)2，所以vex的增大速度最快，故选A.3已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足ff(x)，f(2)3，数列an满足a11，且21(其中Sn为an的前n项和)，则f(a5)f(a6)()A3 B2C3 D2答案C解析由题意可知f(x)是以3为周期的周期函数又xR，f(0)0.21，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)两式相减并整理得出an2an11，即an12(an11)，数列an1是以2为公比的等比数列，首项为a112，an122n12n，an2n1，a531，a663.f(

9、a5)f(a6)f(31)f(63)f(2)f(0)f(2)f(2)3，故选C.考法综述函数的综合问题的考查一般与不等式、数列、方程、解析几何等综合考查，考查的知识点多，思想方法多，难度适中，多以选择、填空题形式出现，也有解答题形式命题法函数的综合应用典例(1)已知a，b，cR，abc0，abc10，求a的取值范围；(2)设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围解(1)由已知得bcbc10，如果c1，则b1b10,20，因此c1，所以b，ac，令f(c)c2(1c)，当1c0时，f(c)22 22；当1c0时，f(c)22 22.所以a的范围是a22或a

10、22.(2)原不等式为(x21)m(2x1)a0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0a0，cb0，a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab得2ac，即2.axbxcx0时，有2axcx，x2，解得xlog2，log21，0x1，即f(x)axbxcx的零点

11、的取值集合为x|0a0，cb0，01,0，又a，b，c是ABC的三条边长，abc，即1，得xx1，axbxcx，x(，1)，f(x)axbxcx0，故正确；对于，yx，yx在xR上为减函数，当x时，x与x无限接近于零，故xR，使xx1，即axbxc，a2b20，g(2)2210(x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个不同的

12、零点等价于f(0)fb0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个不同的零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中

13、的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？错解错因分析在求函数的最大值时错误使用均值定理，而使结果错误正解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x0，aR，存在x0使得f(x0)成立，则实数a的值为()A. B.C. D1答案A解析(xa)2(ln x22a)2表示点P(x，ln x2)与点Q(a，2a)距离的平方易知点P在曲线g(x)2ln x上，点Q在直线y2x上因为g(x)，且直线y2x的斜率为2，所以令2，解得x1.又

14、当x1时，g(x)0，从而与直线y2x平行的曲线g(x)2ln x的切线方程为y2(x1)，如图所示因为直线y2(x1)与直线y2x间的距离为.故|PQ|的最小值为，即f(x)(xa)2(ln x22a)2的最小值为2.又当|PQ|最小时，P点的坐标为(1,0)，所以由题意知x01，且21，解得a.6. 2016衡水二中一轮检测函数f(x)x2axb的部分图象如图所示，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A.B(1,2)C.D(2,3)答案C解析由图象得，ab10,0b1，2a0，ga1ln 20，m是大于或等于m的最小整数则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为_答案4.

15、24元解析m5.5，5.56.代入函数解析式，得f(5.5)1.06(0.561)4.24元102016衡水二中模拟对于任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)若f(x)x22，g(x)x，则max(f(x)，g(x)的最小值为_答案1解析f(x)g(x)x22(x)x2x2，令x2x20，解得x1或x2.当2x1时，x2x20，即f(x)g(x)，所以max(f(x)，g(x)作出图象，如图，由图象可知函数的最小值为1.112016冀州中学周测某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为_(保留一位小数，取1.151

16、.6)答案6.6解析第一年产值为1(110%)1.1，第二年产值为1(110%)21.12，第五年的产值为1.15，故前5年总产值为6.6.12. 2016衡水中学期中某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C3x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S已知每日的利润LSC，且当x2时，L3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解(1)由题意可得，L因为x2时，L3，所以3222.解得k18.(2)当0x6时，L2x2，所以L2(x8)18182186.当且仅当2(8x)，即x5时取得等号当x6时

17、，L11x5.所以当x5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元132016武邑中学一轮检测随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a70)x2ab.依题意2ax2a，0x.

18、又1402a420，70a210.(1)当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值；所以当70a140，公司应裁员a70人，经济效益取到最大值；当140a0，xR，有f(xc)f(xc)，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：f(x)2x；f(x)sinx；f(x)x3x.其中，具有性质P的函数的序号是_答案解析若f(x)2x，则由f(xc)f(xc)得2xc2xc，即xcxc，所以c0恒成立，所以具有性质P.若f(x)sinx，则由f(xc)f(xc)得sin(xc)sin(xc)，整理得cosxsinc0，所以不存在常数c0，xR，有f(xc)f(xc)成立，所以不具

19、有性质P.若f(x)x3x，则由f(xc)f(xc)得(xc)3(xc)(xc)3(xc)，整理得3x2c21，所以只要c1，则f(xc)f(xc)成立，所以具有性质P，所以具有性质P的函数的序号是.16. 2016冀州中学热身已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)对于不相等的实数x1，x2，设m，n.现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)答案解析因为f(x)2x在R上是

20、单调递增的，所以对于不相等的实数x1，x2，m0恒成立，正确；因为g(x)x2ax，所以nx1x2a，正负不定，错误；由mn，整理得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令函数p(x)f(x)g(x)2xx2ax，则p(x)2xln 22xa，令t(x)p(x)，则t(x)2x(ln 2)22，又t(1)2(ln 2)220，从而存在x0(1,3)，使得t(x0)2x0(ln 2)220，于是p(x)有极小值p(x0)2x0ln 22x0a2log2a，所以存在a2log2，使得p(x0)0，此时p(x)在R上单调递增，故不存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x

21、2)，不满足题意，错误；由mn，得f(x)g(x)，即a2xln 22x.设h(x)2xln 22x，则h(x)2x(ln 2)220，所以h(x)在R上是单调递增的，且当x时，h(x)；当x时，h(x)，所以对于任意的a，ya与yh(x)的图象一定有交点，正确172016枣强中学周测如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyx(x10)250，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增所以当x8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米