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1、考点规范练43空间向量及其运算基础巩固1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=a+b(,R,且0),则()A.cdB.cdC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()A.2,B.-C.-3,2D.2,23.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为()A.-2B.-C.D.24.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定5.下列命题:若向量a,b共线,则向量a,b所在
2、的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.在空间四边形ABCD中,则的值为()A.-1B.0C.1D.27.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a的夹角为60°的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)8.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.B.C.,相交
3、但不垂直D.以上均不正确9.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则异面直线EF和BC1所成的角是. 10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当最小时,点Q的坐标是. 11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C平面BC1D.能力提升12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若=x+2y-3
4、z,则x+y+z=()A.1B.C.D.导学号3727035513.(2016西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2导学号3727035614.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为. 导学号37270357高考预测15.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A
5、1A的中点.(1)求的模;(2)求cos<>的值;(3)求证:A1BC1M.参考答案考点规范练43空间向量及其运算1.B解析 由题意得,c垂直于由a,b确定的平面.d=a+b,d与a,b共面.cd.2.A解析 ab,存在kR,使b=ka,即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),解得3.D解析 由题意知a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,14-7=0.=2.4.C解析 M为BC的中点,).)=0.AMAD,AMD为直角三角形.5.A解析 若a与b共线,则a,b所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的定义知,空间任两个向量a,b都共面,故不正确;三个向量a
6、,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故不正确,综上可知,四个命题中正确的个数为0,故选A.6.B解析 (方法一)如图,令=a,=b,=c,则()+()+()=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,=0,=0,=0.故=0.7.B解析 对于选项B,设b=(1,-1,0
7、),则cos<a,b>=因为0°<a,b>180°,所以<a,b>=60°,故选B.8.C解析 n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)0,n1与n2不垂直.又-,n1与n2也不共线.与相交但不垂直.9.60°解析 以BC,BA,BB1所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则=(0,-1,1),=(2,0,2),=2,cos<>=,EF和BC1所成的角为6
8、0°.10解析 设=(,2),则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2).故=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6所以当=时,取得最小值-,此时所以点Q的坐标是11.证明 (1),可以证明)=,即A1,G,C三点共线.(2)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0,=a+b+c,=c-a,=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.因此,即CA1BC1.同理CA1BD,又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C平面BC1D.12.B解析 =x
9、+2y-3z,x=1,y=,z=-,x+y+z=1+13.C解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.(a+b),c,(a+b)c=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.14解析 以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0y2).所以=(2,1,0),=(-1,y,2).所以=-2+y,|=,|=所以cos =令2-y=t,则y=2-t,且t0,2.所以cos =当t=0时,cos =0.当t0时,cos =,由t(0,2,得,所以所以0<cos ,即cos 的最大值为15.解 如图,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),|=(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,|=,|=cos<>=(3)证明:依题意,得C1(0,0,2),M=(-1,1,-2),=-+0=0.,A1BC1M.
高三数学理一轮复习考点规范练：第八章 立体几何43 Word版含解析
