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1、题组层级快练(二十八)1已知ABC，a，b，A30°，则c()A2B.C2或 D均不正确答案C解析，sinB·sin30°.b>a，B60°或120°.若B60°，C90°，c2.若B120°，C30°，ac.2(2014·江西文)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A B.C1 D.答案D解析由正弦定理可得2()212()21，因为3a2b，所以，所以2×()21.3在ABC中，AC，BC2，B60°，则BC边上的高等于()A.
2、 B.C. D.答案B解析由余弦定理，得()222AB22×2ABcos60°，即AB22AB30，得AB3.故BC边上的高是ABsin60°.选B.4在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120°，ca，则()AabBabCabDa与b的大小关系不能确定答案A解析据题意由余弦定理可得a2b22abcos120°c2(a)2，化简整理得a2b2ab，变形得a2b2(ab)(ab)ab>0，故有ab>0，即a>b.5(2015·上海杨浦质量调研)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，
3、c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)答案A解析由，得b2cosA.<AB3A<，从而<A<.又2A<，所以A<，所以<A<，<cosA<，所以<b<.6(2015·江西七校一联)在ABC中，若sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B不含60°的等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形答案D解析sin(AB)12cos(BC)sin(AC)12cosAsinB，sinAcosBcosAsinB12cosAsinB，
4、sinAcosBcosAsinB1，即sin(AB)1，则有AB，故三角形为直角三角形7(2015·东北三校联考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B()A. B.C. D.答案C解析由sinA，sinB，sinC，代入整理得c2b2aca2，所以a2c2b2ac，即cosB，所以B，故答案为C.8(2015·济宁一模)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinAacosC，则sinAsinB的最大值是()A1 B.C. D3答案C解析csinAacosC，sinCsinAsinAcosC.即sinCcosC.tanC，C，AB
5、.sinAsinBsin(B)sinBsin(B)0<B<，<B<.当B，即B时，sinAsinB的最大值为.故选C.9(2014·新课标全国理)已知钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B.C2 D1答案B解析由题意可得AB·BC·sinB，又AB1，BC，所以sinB，所以B45°或B135°.当B45°时，由余弦定理可得AC1，此时ACAB1，BC，易得A90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以B135°.由余弦定理可得AC.故选B.10在ABC中，若AB，AC1，
6、B30°，则ABC的面积为_答案或解析如图所示，由正弦定理，得sinC.而c>b，C60°或C120°.A90°或A30°.SABCbcsinA或.11(2014·广东理)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosCccosB2b，则_.答案2解析方法一：因为bcosCccosB2b，所以b·c·2b.化简可得2.方法二：因为bcosCccosB2b，所以sinBcosCsinCcosB2sinB.故sin(BC)2sinB.故sinA2sinB，则a2b，即2.12(2014·
7、;天津理)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sinB3sinC，则cosA的值为_答案解析由已知及正弦定理，得2b3c.因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cosA.13(2015·河北唐山一模)在ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且AC90°，则cosB_.答案解析a，b，c成等差数列，2bac.2sinBsinAsinC.AC90°，2sinBsin(90°C)sinC.2sinBcosCsinC.2sinBsin(C45°)ABC180°且AC90°，C45
8、76;，代入式中，2sinBsin(90°)2sinBcos.4sincoscos.sin.cosB12sin21.14在ABC中，B60°，AC，则AB2BC的最大值为_答案2解析由正弦定理可得2，AB2sinC，BC2sinA，AB2BC2(sinC2sinA)2sinC2sin(120°C)2(cosC2sinC)2sin(C)(其中cos，sin)当C90°，即C90°时，AB2BC2sin(C)取得最大值2.15对于ABC，有如下命题：若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形；若sinAcosB，则ABC为直角三角形；若sin2A
9、sin2Bcos2C<1，则ABC为钝角三角形其中正确命题的序号是_(把你认为所有正确的都填上)答案解析sin2Asin2B，ABABC是等腰三角形，或2A2BAB，即ABC是直角三角形故不对sinAcosB，AB或AB.ABC不一定是直角三角形sin2Asin2B<1cos2Csin2C，a2b2<c2.ABC为钝角三角形16(2014·安徽文)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，求cosA与a的值答案cosA，a2或cosA，a2解析由三角形面积公式，得×3×1·sinA.故sinA.因
10、为sin2Acos2A1，所以cosA±±±.当cosA时，由余弦定理，得a2b2c22bccosA32122×1×3×8.所以a2.当cosA时，由余弦定理，得a2b2c22bccosA32122×1×3×12.所以a2.17(2015·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(sinB,1cosB)与向量n(2,0)的夹角的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b，求ac的取值范围答案(1)(2)(，2解析(1)m(sinB,1c
11、osB)，n(2,0)，m·n2sinB，|m|2|sin|.0<B<，0<<.sin>0.|m|2sin.又|n|2，coscos.，B.(2)由余弦定理，得b2a2c22accosa2c2ac(ac)2ac(ac)2()2(ac)2，当且仅当ac时，取等号(ac)24，即ac2.又ac>b，ac(，21在ABC中，B30°，C120°，则abc_.答案11解析abcsinAsinBsinC，abcsin30°sin30°sin120°.abc11.2在ABC中，若a3，cosC，SABC4，则b
12、_.答案2解析由cosC，得sinC.SABCabsinC×3×b×4.b2.3(2013·山东理)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cosB.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值答案(1)ac3(2)解析(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)又b2，ac6，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理，得sinA.因为ac，所以A为锐角，所以cosA.因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB.4(2012·安徽)设AB
13、C的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosAsinAcosCcosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长答案(1)(2)解析(1)方法一：由题设知，2sinBcosAsin(AC)sinB，因为sinB0，所以cosA.由于0<A<，故A.方法二：由题设可知，2b·a·c·，于是b2c2a2bc，所以cosA.由于0<A<，故A.(2)方法一：因为2()2(222·)(142×1×2×cos)，所以|，从而AD.方法二：因为a2b2c22
14、bccosA412×2×1×3，所以a2c2b2，B.因为BD，AB1，所以AD.5(2013·新课标全国理)如图所示，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.答案(1)(2)解析(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理，得PA232××cos30°，故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin.在PBA中，由正弦定理，得.化简得cos4sin，所以tan，
15、即tanPBA.6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解析(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由，得AB×sinC×1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)因为0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短
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