选修21苏教版：第3章　空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

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1、 精品资料3.1.5空间向量的数量积学习目标1.理解空间向量的夹角及有关概念掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角知识点一空间向量的夹角1定义：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b2图形表示：角度表示a，b0a，b是锐角a，b是直角a，b是钝角a，b3.范围：0a，b.4空间向量的垂直：如果a，b，那么称a与b互相垂直，记作ab.知识点二空间向量的数量积思考两个向量的数量积是数量，还是向量？答案数量，由数量积的定义ab|a

2、|b|cosa，b，知其为数量而非向量梳理(1)定义：设a，b是空间两个非零向量，把数量|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积记作：ab，即ab|a|b|cosa，b(2)运算律：交换律abba数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)(R)分配律a(bc)abac(3)坐标表示：已知非零向量a，b，a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.知识点三空间中两点间的距离公式思考空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？答案空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与

3、两点顺序无关梳理在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB.1若ab0，则a0或b0.()2a，b与(a，b)都表示直角坐标系下的点()3在ABC中，B.()4对于向量a，总有|a|2a2.()类型一空间向量的数量积运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直解此命题不正确p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确|p2q2|(pq)(pq)|p

4、q|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|pq|pq|p2q2|.此命题正确a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；(3a2b)(a2b)解ab|a|b|cosa，b，ab34cos1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos1204|b|2，(3a2b)(a2b)3943441627246461.反思与感悟1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算2如果欲求

5、的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.答案解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913，|a3b|.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|22222

6、0.(3)()()(abc)|a|2|b|22.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.解(1)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.(2)|.类型二利用数量积求夹角或模例3如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的长；(2)求与的夹角的余弦值解(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)设

7、与的夹角为，方法一ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos.方法二设a，b，c，依题意得(abc)(ab)a22abb2acbc160945cos6035cos6016910，cos.反思与感悟1.求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成的角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，故a，b时，它们相等；而当a，b时，它们互补.跟踪训练3如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若AB

8、BCCD2，求A，D两点间的距离解，|2()2|2|2|2222122(22cos9022cos12022cos90)8，|2，即A，D两点间的距离为2.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例4如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.反思与感悟1.证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直2证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判

9、断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练4已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_答案45解析a与2ba垂直，a(2ba)0，即2ab|a|20.2|a|b|cosa，b|a|20，4cosa，b40，cosa，b，又a，b0，180，a与b的夹角为45.1若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为_答案3解析bc(2,2,5)，a(bc)4653.2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_答案解析依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|

10、b|25，ab1，所以4kk250，解得k.3已知a，b为两个非零空间向量，若|a|2，|b|，ab，则a，b_.答案解析cosa，b，又0a，b，a，b.4已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2，|，EF的长为.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利

11、用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解2空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围一、填空题1设a，b，c为两两垂直的单位向量，则|a2b3c|_.答案解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，故|a2b3c|.2已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长

12、为_答案解析，|2()2|2|2|22221112(cos60cos60cos60)6，|.3已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_答案解析(2，1,3)，(1,3，2)，7，|，|，cos，又0，.4若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)2b2，则x_.答案2解析据题意，有ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，故(ca)2b2(1x)2，解得x2.5已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与b的夹角为，则|ab|_.答案解析|ab|2a22abb21212cos227，|ab|.6已知a，b是空间两

13、个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b，求得cosa，b.7已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.8已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则向量ab与ab的夹角是_答案90解析a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，ab(sincos，2，sincos)，ab(cossin，0，sincos)，(ab)(ab)cos2sin2sin

14、2cos20，(ab)(ab)向量ab与ab的夹角是90.9已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，且mn，则实数_.答案解析mn(ab)(ab)|a|2abab|b|21834cos13534cos135166121664，mn064，.10将AB2，BC2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角，则B，D间的距离为_答案解析作DEAC于点E，BFAC于点F.由已知可得AC4，DEBF，AE1，CF1，EF2.二面角的大小为60，与的夹角为120，|2()27，|，B，D间的距离为.11已知向量a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_答案解析由已知

15、得ab5(2)3t13t，因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以所以t，故t的取值范围是.二、解答题12已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，求以，为邻边的平行四边形的面积S.解(2，1,3)，(1，3,2)，|，|，cos，且，0，sin，S|sin，7，以，为邻边的平行四边形的面积为7.13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求与夹角的余弦值解以，为正交基底建立如图所示的空间

16、直角坐标系(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，故|，所以线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，所以(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又因为|，|，所以cosBA1，.即与夹角的余弦值为.三、探究与拓展14已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_答案解析由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式对任意单位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.15.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长(1)证明，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)解结合(1)知|cos，221.又|，cos，|2，即侧棱长为2.