高考数学 三轮讲练测核心热点总动员新课标版 专题23 参数方程和极坐标方程选修2 Word版含解析

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1、 【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）把的参数方程化为极坐标方程；（）求与交点的极坐标（）.【解析】（1）先利用参数方程得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）联立求出交点坐标，进而求出极坐标.2.【20xx高考全国1第23题】已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值【解析】（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（II）曲线C上任意一点到的距离为则其中为锐

2、角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为3【20xx全国】在直线坐标系中，曲线：（为参数，）其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：. (1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值.4.【20xx全国】在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求的极坐标方程.(2)若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积.解析（1）由：，可得极坐标方程为，由：，得极坐标方程为【热点深度剖析】20xx年高考主要考查圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程互化，极坐标方程与普通方程互化，主

3、要考查学生的转化与化归能力. 20xx年高考考查了椭圆和直线的参数方程，点到直线的距离公式，解直角三角形20xx年考查了直角坐标与极坐标方程的互化、圆的几何性质、三角函数的最值 从三年试题来看，高考对这部分要求不是太高，要求会参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，主要考查学生的转化与化归能力，利用参数方程研究轨迹问题. 预测20xx年高考仍然考查圆，直线，椭圆的参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力【重点知识整合】1极坐标和直角坐标的互化公式若点M的极坐标为(，)，直角坐标为(x，y)，则.求曲线的极坐标方程f(，)

4、0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形(4)极坐标方程()表示的平面图形的对称性：若()()，则图形关于极轴对称；若()()，则图形关于射线对称；若()()，则图形关于极点对称2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程圆心在极轴上点C(a,0)，过极点的圆方程2acos.圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程r.圆心在处且过极点的圆方程为2asin(0)过极点倾角为的直线的极坐标方程为：或.过A(a,0)(a0)与极轴垂直的直线cosa.过A(a0)与极轴平行的直线sina.3.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是

5、某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，而这条曲线上任一点M(x，y)都可以通过(*)式得到，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数这时，参数t的几何意义是：以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点的有向线段的数量为MN且|t|MN|.4圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(为参数)；(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)5参数方程和普通方程的互化(1)化参数方程为普通方程：消去参数常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法(2

6、)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xf(t)或y(t)，再代入普通方程F(x，y)0，求得另一关系y(t)或xf(t)【应试技巧点拨】1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正向重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，的形式，进行整体代换2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点

7、的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；(2)定点是弦的中点；(3)设弦中点为，则点对应的参数值(由此可求及中点坐标)5.圆与圆锥

8、曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等【考场经验分享】1在极坐标系中，如无特别说明时，；点的极坐标不惟一，若规定,，则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外)；曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程2极坐标方程表示一条射线并非直线，只有当允许时，才表示一条直线3只有在a2b21时，直线(t为参数)中的参数t才表示由M(x0，y0)指向N(x，y)的有向线段的数量，而在a2b21时，|MN|

9、t.4消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围【名题精选练兵篇】1.【20xx广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值2.【20xx吉林长春质量监测（二）】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（是参数）,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于,两点,求的最大值和最小值.【解

10、析】(1) 对于曲线有,即,因此曲线的直角坐标方程为,其表示一个圆. (2) 联立曲线与曲线的方程可得：,因此的最小值为,最大值为8. 3.【20xx年安徽省“江南十校”联考】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知在极坐标系中,圆的方程为（）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（）已知为圆上的任意一点,求面积的最大值.4.【20xx河南新乡许昌平顶山二调】 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（为参数）,曲线C2的参数方程为 （为参数）,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程； （）已知射线l1：（）将射线l1顺时

11、针旋转得到射线l2：,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求OPOQ的最大值【解析】（1）曲线的直角坐标方程为,所以极坐标方程为曲线的直角坐标方程为,所以极坐标方程为 （2）设点极点坐标,即点极坐标为 即则= ,当即时,取最大值4 5.【20xx福建4月质检】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.()求C的普通方程和直线的倾斜角；()设点P(0,2),和C交于A,B两点,求.即（为参数）,代入并化简,得设两点对应的参数分别为,则,所以所以解法二：（）同解法一. （）直线的普通方程

12、为.由消去得,于是.设,则,所以.故6.【2106辽宁省沈阳质量监测（一）】在以直角坐标原点为极点,的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线的方程是,将向上平移1个单位得到曲线.()求曲线的极坐标方程；()若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围. ()由题令,切线的倾斜角为,所以切线的参数方程为: (为参数). 联立的直角坐标方程得, , 即由直线参数方程中,的几何意义可知, ,因为所以. 此题也可根据图形的对称性推出答案,此种方法酌情给分.7.【20xx年安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线的极坐标方程为,直线的

13、参数方程为（为参数,为直线的倾斜角）（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小【解析】（）当时,直线的普通方程为；当时,直线的普通方程为. 由,得,所以,即为曲线的直角坐标方程. （）把,代入,整理得.由,得,所以或,故直线倾斜角为或. 8.【20xx甘肃兰州实战考试,理23】 所以. 9. 【20xx届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数）.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（）求圆C的极坐标方程；（）射线与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标.10. 【20xx届河北省唐山市

14、高三第一次模拟】已知椭圆C：，直线（t为参数）.（）写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；（）设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标.【解析】（）C：（为参数），l：xy90 （）设,则，P到直线l的距离由|AP|d得3sin4cos5，又sin2cos21，得，故11. 【20xx届河北唐山市高三上学期期末考试】极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同. 已知曲线C的极坐标方程为，斜率为的直线交y轴于点.（1）求C的直角坐标方程，的参数方程；（2）直线与曲线C交于A、B两点，求.【解析】（）由2(cossin)，得22(

15、cossin)，即x2y22x2y，即(x1) 2(y1) 22直线l的参数方程为（t为参数, tR） （）将，代入(x1) 2(y1) 22得t2t10，解得，则|EA|EB| t1| t2|t1t2|12已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线的直角坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值13 已知曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程；（2）求直线被曲线截得的

16、线段的长.14已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值【解析】（）曲线的极坐标方程可化为， 又，所以曲线的直角坐标方程为，（）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得，令，得，即点的坐标为（2，0） 又曲线为圆，圆的圆心坐标为（1，0），半径，则，所以.15. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点P（-2，-4）的直线的参数方程为（t为参数）与C分别交于M，N.（1）写出C的平面直角坐标系方程和的普通方程；（2）若，成等比数列，求a 的值.【解析】（1）

17、曲线C的直角坐标方程为；直线的普通方程为. （2）将直线1的参数方程与C的直角坐标方程联立，得.设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根.则，.由题设得，即.由（*）得，则有，得，或.因为，所以. 16. 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）.（1）分别求出曲线C，C的普通方程；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标【名师原创测试篇】1在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；试判断曲线与是否存在两个交点？若存在，求出两交

18、点间的距离；若不存在，说明理由 【解析】 (1) 对于曲线：，得，故有，对于曲线：，消去参数得.(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数），与曲线：联立方程组得，可知，所以与存在两个交点，由，得. 2. 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值3. 已知曲线的参数方程： （为参数）, 曲线上的点对应的参数，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系()求曲线的极坐标方程；（）已知直线过点，且与曲线于两点，求的范围【解析】()将点和代入曲线的参数方程：中得，所以，所以曲线的参数方

19、程为，化为普通方程为，所以曲线的极坐标方程（）设直线参数方程为直线的参数方程：，代入到曲线方程里，得到，由韦达定理可得到，因为，所以4. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大5. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是.（）求直线的方程和圆的直角坐标方程；（）求直线被圆截得的弦长6. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线D的参数方程为（为参数）（）把C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）判定曲线C与曲线D间的位置关系【解析】（）由得，将，代入得，即为曲线C的普通方程（）由（1）知曲线C的直角坐标方程为：，即，是圆心C(1,1)，半径=的圆将曲线D的参数方程化为普通方程为，曲线D是圆心D(,1)，半径=，=，两圆相交