最新高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.1 任意角、弧度 Word版含答案

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1、最新教学资料苏教版数学第1课时如图AOB.问题1：AOB能否看成射线OA绕O点旋转到OB而成的呢？提示：可以问题2：射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB吗？提示：都可以转到OB.问题3：两者所得到的角相同吗？提示：不相同1角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边2角的分类(1)正角按逆时针方向旋转所形成的角；(2)负角按顺时针方向旋转所形成的角；(3)零角射线没有作任何旋转所形成的角.若AOB的顶点O为坐标原点，始边OA在x轴的正半轴上，则AOB分别等于300，300，

2、160，220时，终边OB落在第几象限？AOB分别等于90，180，0，270，90，180时，终边又落在何处？提示：当AOB分别等于300，300，160，220时，终边OB分别落在第四、一、三、三象限；当AOB分别等于90，180，0，270，90时，终边OB分别落在y轴的负半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴、y轴的负半轴、y轴的正半轴上1象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角2轴线角如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.如图，在同一坐标系中作出60，420角问题1：两角的终边有何特点？提示：终边相

3、同问题2：两角的角度有什么等式关系？提示：42060360.相差360.问题3：300与60的终边有何特点？两角的角度又有什么等式关系？提示：两角终边也相同，30060360.相差360.问题4：试再写几个与60终边相同的角，计算出它们与60相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点提示：780，1 140，660等，与60相差720，1 080，720，相差的角度都是360的整数倍终边相同的角一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kZ1角的三要素：顶点、始边、终边2象限角及轴线角的前提：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角为哪一个象限角3终边相同的角与相等的角是

4、两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360的整数倍 例1下列结论：第一象限角是锐角；锐角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；钝角是第二象限角；小于90的角是锐角；第一象限角一定不是负角其中正确的结论是_(填序号)思路点拨根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90的角精解详析400角是第一象限角，但不是锐角，故不正确；锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，正确；120角是第二象限角，400角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，不正确；钝角是大于90且小于180的角，终边落在第二象限，

5、故是第二象限角，正确；0角是小于90的角，但不是锐角，故不正确；300角是第一象限角，但300角是负角，故不正确答案一点通解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可1.如图，则_，_.答案：2401202经过2个小时，钟表上的时针旋转的角度为_解析：钟表的时针旋转一周是360，其中每小时旋转30，所以经过2个小时应旋转60.答案：603下列命题正确的是_(填序号)三角形的内角必是第一、二象限角始边相同而终边不同的角一定不相等第四象限角一定是负角钝角比第三象限角小解析：只有正确

6、对于，如A90不在任何象限；对于，如330在第四象限但不是负角；对于，钝角不一定比第三象限角小答案：例2在0360之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角(1)736；(2)90418.思路点拨首先写出与终边相同的角的集合，然后取适当的整数k即可求出满足条件的角可利用0360之间与该角终边相同的角来判断角的象限精解详析(1)7363360344，344是第四象限角344与736是终边相同的角，且736为第四象限角(2)90418236018418，18418是第三象限角18418与90418是终边相同的角，且90418为第三象限角一点通(1)把任意角化为k360(kZ且0360)的

7、形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法要注意：正角除以360，按通常的除法进行；负角除以360，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值4在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360720的角解：可设与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)

8、由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.5已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围解：终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1，终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2，因此终边在图中阴影部分的角的取值范围为. 例3已知为第二象限角，问2，分别是第几象限角？思路点拨由角为第二象限角，则的范围为90k360180k360，kZ，在此基础上可以写出2，的范围，进而可以判断出它们所在的象限精解详析是

9、第二象限角，90k360180k360.1802k36023602k360.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理45 36090360.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角一点通已知角终边所在象限，(1)确定n终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可(2)确定终边所在象限常用的步骤如下：求出的范围；对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1；下结论6若是第三象限角，则180是第_象限角解析：是第三象限

10、角，k360180k360270，kZ.k36090180k360，kZ.180为第四象限角答案：四7已知角2的终边落在x轴上方，那么是第_象限角解析：由题知k3602180k360，kZ，k18090k180，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角，为第一或第三象限角答案：一或三8已知是第三象限角，求，2终边所在的象限解：因为是第三象限角，所以k360180k 360270，kZ.所以的范围为k18090k180135，kZ，所以终边落在第二或第四象限2的范围为k7203602k720540，kZ，所以2终边落在第一或第二象限或y轴的正半轴1轴线角的集合角终边位置角的集

11、合在x轴非负半轴上|k360，kZ在x轴非正半轴上|k360180，kZ在y轴非负半轴上|k36090，kZ在y轴非正半轴上|k360270，kZ在x轴上|k180，kZ在y轴上|k18090，kZ在坐标轴上|k90，kZ2象限角的集合象限角象限角的表示第一象限的角|k360k36090，kZ第二象限的角|k36090k360180，kZ第三象限的角|k360180k360270，kZ第四象限的角|k360270k360360，kZ3终边相同的角关于与角终边相同的角的一般形式k360应着重理解以下几点：(1)kZ.(2)是任意角(3)k360之间是“”号，k360可理解为k360()课下能力提

12、升(一)一、填空题1射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，再顺时针旋转270到达OC位置，则AOC_.解析：根据角的定义AOC120(270)150.答案：15021 445是第_象限角解析：1 4455360355，1 445是第四象限角答案：四3集合A，B|180180，则AB_.解析：由180k9036180，kZ，得144k90216，kZ，所以k，kZ，所以k1,0,1,2.所以AB.答案：126，36，54，1444已知角，的终边相同，那么的终边在_解析：角，的终边相同，k360，kZ.作差k360k360，kZ.的终边在x轴的正半轴上答案：x轴的正半轴上5已知是第二象限角

13、，且7与2的终边相同，则_.解析：72k360(kZ)，k72，又为第二象限角，在0360内符合条件的角为144，故k360144(kZ)答案：k360144(kZ)二、解答题6已知1 910，(1)把写成k360(kZ,0360)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求，使与的终边相同，且7200.解：(1)设k360(kZ)，则1 910k360(kZ)令1 910k3600，解得k.所以k的最大整数解为k6，求出相应的250，于是2506360，它是第三象限的角(2)令250k360(kZ)，取k1，2就得到符合7200的角：250360110，250720470.故110或470.7已知

14、角的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，试写出角的集合解：在0360范围内，终边落在阴影内的角为90135或270315.所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为|90k360135k360，kZ|270k360315k360，kZ|902k1801352k180，kZ|90(2k1)180135(2k1)180，kZ|90n180135n180，nZ8已知与150角的终边相同，写出与终边相同的角的集合，并判断是第几象限角？解：与终边相同的角的集合为|k360150，kZ，k12050，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限

15、角故是第一、二、四象限角第2课时弧 度 制问题1：目前，我们度量角的单位是什么？是如何定义的？提示：度量角的单位是“度”，1度的角等于周角的.问题2：下图是半径不等的两个圆，在每个圆上取长等于半径的一条弧，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，你认为这两个角是否相等？提示：相等角的大小与半径无关问题3：在半径为r的圆周上，长为l的圆弧所对的圆心角为定值吗？说明什么问题？提示：是定值，因为l2r，.说明圆心角只与它所对的弧与半径的比值有关系1角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，周角的为1度的角2弧度制(1)弧度制的定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.用弧度作

16、为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(2)任意角的弧度数与实数的对应关系：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数为0.3角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的换算公式：角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.01745 rad1 rad度57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系：度0130456090120135150180270360弧度02在角度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是l，S，根据角度制与弧度制的互换，能否用圆心角的弧度表示如图所示的扇形的弧长与面积？提示：弧长lr|；S扇形|r2.扇形的弧长及面积公

17、式设扇形的半径为r，弧长为l，(02)为其圆心角，则度量单位类别为角度制为弧度制扇形的弧长llr扇形的面积Sr2Slrr21弧度制与角度制是两种不同的度量方法，弧度制为十进制，角度制为60进制.1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1是周角的.2用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角10就表示是10弧度的角 例1把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300(3)2；(4).思路点拨先看清题目中所给的角是用角度制表示的，还是用弧度制表示的，然后利用公式计算即可精解详析(1)7272 rad rad；(2)300300 rad rad；(3)2 rad2

18、114.59；(4) rad40.一点通在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式180是关键，由它可以得到：角度数乘以即为弧度数，弧度数乘以即为角度数1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)450；(2)(3)；(4)11230解：(1)450450 rad rad；(2) rad18；(3) rad240；(4)11230112.5112.5 rad rad.2设三角形三内角之比为258，求各内角的度数，并化成弧度数解：三角形内角和为180，三个内角分别为18024，18060，18096，又24 rad24 rad；6060 rad rad；96 rad96 rad. 例2(1)把1 480

19、写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0，且与(1)中终边相同，求.思路点拨首先把角度化成弧度，再写成所要求的形式精解详析(1)1 480 rad rad102(5).1 4802(5).(2)由(1)可知.与终边相同，2k，kZ.又4，0，令k1，则；令k2，则，的值是，.一点通表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“2k(kZ)”中，必须是用弧度制表示的角，在“k360，(kZ)”中，必须是用角度制表示的角3把角690化为2k(02，kZ)的形式为_解析：法一：690 rad rad，4.即6904.法二：690236030，69

20、04.答案：44用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_解析：若角的终边落在x轴上方，则2k2k(kZ)答案：|2k2k，(kZ)5如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)解：(1)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M2.所以阴影部分内的角的集合为M1M2. 例3已知一个扇形的周长为4，圆心角为80，求这个扇形的面积思路点拨(

21、1)将圆心角化为弧度数；(2)求出扇形的半径或弧长；(3)代入面积公式精解详析设扇形的半径为r，面积为S，由已知，扇形的圆心角为80，扇形的弧长为r.由已知，r2r4，r2，Sr2.故扇形的面积是.一点通(1)求扇形面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，相反，也可由扇形的面积结合其他条件求扇形的圆心角、半径、弧长(2)注意弧长公式l|R与扇形面积公式S|R2lR中的圆心角的单位必须是弧度6若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是_cm2.解析：由已知得扇形的半径r2 cm，所以扇形的面积Slr424 (cm)2.答案：4 7若扇形OAB的面积是

22、1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形的圆心角的弧度数解：设弧长为l，半径为r，由题意得lr1，l2r4.由解得l2，r1，所以2.8如图所示，扇形周长为a，当扇形的圆心角和半径r各取何值时，扇形的面积最大解：设扇形弧长为l，面积为S，则Slr，又l2ra，S(a2r)rr2ar2，当r时，Smax，由la2r及得2 rad.1用弧度表示终边相同的角(1)用弧度表示的与角终边相同的角的一般形式为2k，(kZ)这些角所构成的集合为|2k，kZ(2)在同一个代数式中，弧度与角度两种单位制不能同时出现，如2k30(kZ)或k360(kZ)的写法都是不正确的2利用弧度制解决扇形的弧长及面积问题(1)在

23、扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及内在联系在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，已知其中的两个，就可以求出其他量(2)在解决有关扇形、弓形的有关计算问题时，采用弧度制通常要比采用角度制更方便 课下能力提升(二)一、填空题1600_弧度解析：600600 rad rad答案：2若4，则是第_象限角解析：4229，在第二象限答案：二3圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数是_解析：圆内接正三角形的边长等于半径的倍答案：4若角的终边与角的终边关于直线yx对称，且(4，4)，则_.解析：与终边相同的角的集合为.(4，4)，42k4，化简得：k.kZ，k2，1,0,1，

24、.答案：，5已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB_.解析：如图所示，AB4，0，答案：4，0，二、解答题6设角570，.(1)将用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将用角度制表示出来，并在7200之间找出与它有相同终边的所有角解：(1)180 rad，570570.22.在第二象限(2)108，设k360(kZ)由7200，720k3601080.k2或k1.在7200间与有相同终边的角是612和252.7一个扇形的周长等于所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果半径等于，那么，扇形的面积等于多少？解：设扇形的圆心角为，半径为r，则2rr2r，故22，S扇形r2(22)333.8已知是第二象限的角，(1)指出所在的象限，并用图形表示其变化范围；(2)若同时满足条件62，求的取值区间解：(1)依题意，2k2k，kZ，kk，kZ，若k为偶数，则是第一象限的角；若k为奇数，则是第三象限的角；其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界)(2)又62，故6,2，由图不难知道，.