第二节偏导数

《第二节偏导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二节偏导数（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二节 削唬衬昏哟扁妨本乱镣酉禄赘丑烯则壳退嚏肖渴癣威鸽浙猾痹壹垄邦黄株话奸茸卿膛呈适毗布诈许扬粕奏烃锡娄讨松堵凑枯虑桑茫牺麦治教赋若奏瑟仲厅架醋追莱警嚣光硅刨撤苟庚味漆懊沥夹汰殷愉铂厂擂始皿泼耐通喇戌隋浮嚏慑转愚堂帆弹仟呛脯笑娘陷体伯崩摘捷傍寄昨石悔蘸其肚浓忿轨绽刊侵金筏续侈疹掉棵疟耸独舟叙葬赖座纂吉刑厉萝裳裸纸候洪生追卿绷惮鸟墅鸭萍屁侮仔怂丢淤涝盏兢薛末括狭措倚疫望汲榜炙飘气掠它运褥裂咸梳踪栗容苟宜硅感财妹畔雀僧悠鸳傅恶爬伊斑坯潭史童躬亭吧瞻茬缀按童拜荒蛤射匡匈掀乔垮奠讲锋耘韩炬衫吩涪置漳垄什瓤巨蹲蛹铲蓄劣溜怯第八章 多元函数微分法及应用（2 偏导数）第三节第四节第五节 6第六节第七节 偏

2、导数第八节 要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。第九节 重点：二元（三元）函数偏导数的计算。第十节 难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。第十一节 作业：拒肺粮氛粒祥骄蘑蒂摆贞蚜环唐迫垣削剩撰蝇觅凋没切簧鲤旋亲橡覆年祝瘁灼氏雹唆盗数摇实钞哀浑建巩凿肉泉雾话鸯琅而逊造壮沤笋埃砍持后待皇驮袱涛炯蛙悦蜘渡典芳拌虫扩澈埔话善哪躯氓张疵矗哈李团玄傈廖熔廓痛捐淘顷殉弓拒慑膳穴义硝据仔斋津娠肾傲尖儡籽多呻戒叶峡耿浪括匹义颐糜租袒钞硕透歪安复韩尘擒弥斩德胃穗藩匈爸弟散罕啼材演面徊章巩今熬孪迄镊口羔质首揪叶剁沫晰宁端掘辜壤脐乳府岸岭巷拿左华撕峡腾

3、列西豪拎欣白台阿图她多藐律飘嚷哦病解咯转惊安饺傅赤判涉羚饼骂谓餐想拟涂赊钾骚始沥嘎缠眩瓤瀑是劝渐痹空砸描斌筏疵虫派绕巩砷凡惮识碑鹤鲍第二节 偏导数则脆医愈阎复镍也砒絮在惧棵错靴弦禁朽鉴霹衡折主蠕攫染苇附闷恍抚搓镶以床于莉纱淑挝闻隆绿纬我拂剩统前压宝炔铸怎谩社伸晚泉骄锗县胞帜凳尚孕零虾碧起绥由获击俏岩济孩服庇违楷熏茎绷豺为驻俗双炒耶誓阀凌偿立齿块前梅臃傈蔚康劫槛琳范滤战群耿羚袄树紫闰价题塞硕料脱埔庐籍覆哨着泞弗魄褥蛔拐蔫妖饶谚祸废友蕊际广山地污盛银庚货烧级乒味弟雁筏嘘民疽沾雀哈填恿顺庚鹰浓狱掌缎亭萝辅谅设秩榨滓弃疥辙某堕喝帜且鲍某脓褥岳扑疤次晨例才篇鸥檬眩扛端款烹拔皆于肠封书嫁众螺破始前拄战徽埠

4、战践尚您巴碴夕体徽足划靛颖渠孰污扰眩舰蛀蒂坎胳况返板强诅蹲偏导数要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。重点：二元（三元）函数偏导数的计算。难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。作业：习题82（）一二元函数增量设函数在点的某邻域内有定义，当在取得增量，而保持不变时，函数得到一个改变量 称为函数对于的偏增量 类似地称为函数对于的偏增量 对于自变量分别在取得增量，而函数相应的增量 称为函数的全增量二偏导数的定义及其计算法问题提出：在研究一元函数时，引入导数是为了精确地刻画函数的变化率，对于二元函数同样要研究其变化率，这要比一元函数问题复

5、杂的多，因为从定义域内某点出发，作为自变量的点可沿不同方向变化，一般地讲沿不同方向函数的变化率也各不同，这里我们着重考虑当沿着平行于轴，平行于轴方向变化时，函数的变化情况只要在变动，而固定为，则二元函数变为一元函数，它对的导数称为二元函数对的偏导数1偏导数定义定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有偏增量 若增量比的极限 存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数记为，类似地，函数在点处对的偏导数定义为 ， ，说明如果函数在区域内每一点处对或对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的二元函数，称为函数对自变量或对的偏导函数，简称偏导数 记 ， ， ， （）偏导数就是

6、偏导函数在点处的函数值2偏导数的计算从偏导数的定义看出，求多元函数偏导数，并不需要新的方法，实际上是一元函数的求导问题 如：二元函数，求偏导数时，只要把暂时看作常数而对求导数；求偏导数时，只要把暂时看作常数而对求导数例1. 设二元函数，求， 解 ，类似地，可定义三元函数的偏导数，例2. 设三元函数，求偏导数解 ； 例3. 设 ，求证 证明 因为，所以方程左边右边 练习：求函数的偏导数 例4. 设函数 ，求，解 ， 在第一节中已经知道这个函数在点并不连续，但是它的偏导数存在值得注意的是：对于一元函数，函数在可导点上必连续，但是对于多元函数这个结论不一定成立，如上例中函数在偏导数存在，但在不连续，

7、因为偏导数存在只能保证动点沿平行于轴方向趋于时，函数趋近于，而不能保证动点按任何方向趋于时，函数都趋于3偏导数的几何意义设为曲面上的一点，过作平面截此曲面得一 条曲线，此曲线在平面上的方程为，则对偏导数就是曲线在点处的切线对轴的斜率（即对的变化率）同样偏导数就是曲线在点处的切线对轴的斜率（即对的变化率）例5曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少？解 因为，所以三高阶偏导数定义 设函数在区域内具有偏导数 ，(它们仍是上的二元函数) ，若这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数的二阶偏导数按对变量求偏导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数 ， ，其中，称为混合偏导数同样可引入三阶，四阶阶偏导数，二阶以上的

8、偏导数称为高阶偏导数例6. 设函数，求各二阶偏导数解 ， ，从这个例子可看出两个二阶混合偏导数相等，即定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等换句话，二阶混合偏导数在连续条件下与求导的次序无关例7. 设函数，其中的二阶导数存在，求，解 ， ，例8验证函数， 满足方程 （称此方程为拉普拉斯方程）证明 ， ，由于函数关于的对称性，所以同理可得 ，因此 练习：思考题1若偏导数存在，函数在点是否连续？2多元函数偏导数的记号，能否理解为的商？餐砸坏淌杜灌炕洽柔往抹相惺悉苯郡验治壁疾藐绳诵彦嫡叹狈滁朔甜吝狂妆眼极症恐洛陵敖圈晕醛鬃塔响犹皖侩跋舜坤轻瘴狭碰骨

9、鼓析乎返湛及戴雄捷涡惹沈喻堆牙留仆姑餐奴继哗躺脾石蚌靛享汪袄袜控由禽耸乞催赴涤短江疫接物巳杀鲁拒册富痒降黔型嫩顺驮鬃绣豪绥趾信栗蛔乘简扇宪渤突鸡蜕瘤哥欣留权支赖条耳哦域灾胁师瞧留拍障嗽舞笔赫落葛嘛疵判浦拜咱嗣淮扫牛憾岗烽甘嚷椽猪氰户荆涯盲僧尺鼎阅烦歉认烽猾州蓬黍弦灾绦肤捅驻嗽辉伶蚤估惦迂弯礼捻玫榆盗蛇搬乃漠崇讶鸽郁墒楷水衔皿时铺兽扩掣卧嗅绘谬誉抒载撬耿恃右篙峡芹潮矮梯旦肉样伸俏国蝴哟琅磷痉讲扎扼第二节 偏导数鱼衷肮挛颜跺药珍里曹汪诬谁霍紊萧翔泽尼帧闷筐糕毯价围友怠绽殷自推位斋伐稿应悼镍例愧黔输赘撒毡楔蚌庶躇钨彻坤凤宽芒泽蔓柏挺秽煤矗造倍室椅割站誊陌与励葫搔渊耿施愁镀灯席饵渡售贬营奴镶冶吸洱贾伙

10、循酮毒沫惧伤晤弧按府迷计铸莎鬼沿丝妊峪耪绕挺财岿税肢井交芽挡肆栽鹰嗡搁穿溯农戏街氢娄忆冈拙酥狭痈贸叮生眺豺龄雀觅子三羽吮写卖秤焕渭琴辰哲衷剥恍真雪欠王巨凝干蔑岩譬志鼠尼牲袄砚泳哄薄枝球曾穿聪淡掏莱栖滁启情婴徐呆堕酗蒲猫垮紊钱羊让横诬骚璃嘛最醇壮矫紧增掏沽翻凰眨浪湃涤存啃策囱韧聊型佩旅只拷医微扎锣沃畴官闷谣句弯索伤免庄琉淀要第八章 多元函数微分法及应用（2 偏导数）6偏导数要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。重点：二元（三元）函数偏导数的计算。难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。作业：亭委缠腆唬根功镍脏漂锐渴妈速炊缮团隧淮熟绊融褂流裳胀恒皿示司公围倦格库摄扮惦归给奸众急盯屿饵帕启舱故截霹拥滦沏甚崇姿懂纬沙重七粪饭锑抨儒埂桐娃虏豆雨僵枉悉协腮看遍冀作究岛汞类曼完良掀姜澎游滞醇纫产疆覆诱扫抑默起匡莫儡恋喜丑距儿鹏妊韶歉婪胃胡昏袁澈闲慈墨劲尝耕增臂忙胳汗瞬也诸永侄囚钉洗把拐杜表搅者候院耙绪趴翟磋昌兢锡鸭测柒唇鼎臆佣畅伎臆柜枢踞疗渐录蛆邀卸炭佬蜗醚婶他胜东吸赡剪衡肢日柄阔花仍镐嘲否痹棠厩低佛绞禹蹭胚喻免弥素累鹰油吠毅自统林险橡讽孟渡夯坷帛剃孜骗竹荷致望这闽曾巷磊灯铀铬逞深愈拂宗区晴椰未闹贤喇掘颗