最新高中数学苏教版选修21学案：第2章 圆锥曲线与方程 4.2

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1、最新教学资料苏教版数学24.2抛物线的几何性质学习目标1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题知识链接类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y22px (p0)的范围、对称性、顶点、离心率怎样用方程验证？答：(1)范围：x0，yR；(2)对称性：抛物线y22px (p0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率用e表示，由定义可知e1.预习导引1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，

2、yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AFx1，BFx2，故ABx1x2p.3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.规律方法(1)注意抛物线各元素间的

3、关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程跟踪演练1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解因为双曲线1的右顶点坐标为(2，0)，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y28x，其准线方程为x2.要点二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1

4、P2.解设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，k3，直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222.P1P2.规律方法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪演练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求

5、AB的值；(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan60，又F(，0)所以直线l的方程为y(x)联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x25，而ABAFBFx1x2x1x2p.所以AB538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知ABAFBFx1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.要点三直线与抛物线的位置关系例3已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24

6、x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0.(1)当k0时，由方程得y1.把y1代入y24x，得x.这时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)(2)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)1由0，即2k2k10，解得k1，或k.于是，当k1，或k时，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解这时，直线l与抛物线只有一个公共点2由0，得2k2k10，解得1k.于是，当1k，且k0时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解这时，直线l与抛物线有两个公共点3由0，解得k.于是，当k时，方程没有实数解，从而方程组(

7、*)没有解这时，直线l与抛物线没有公共点综上，我们可得当k1，或k，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1k，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点规律方法直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况跟踪演练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k

8、216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案y28x或y28x解析设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_答案(，)解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为(，)3若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，

9、则该点坐标为_答案(，1)解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.则4x24xm0.设此直线与抛物线相切有0，即1616m0，m1.将m1代入式得x，从而y41，所求点的坐标为(，1)4经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是_答案6x4y30解析设直线l的方程为3x2yc0，抛物线y22x的焦点为F(，0)，所以320c0，所以c，故直线l的方程是6x4y30.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件3直线与抛物线的

10、相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.一、基础达标1设AB为过抛物线y22px (p0)的焦点的弦，则AB的最小值为_答案2p解析当AB垂直于对称轴时，AB取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.2已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_答案x1解析抛物线的焦点为F(，0)，所

11、以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1等于_答案90解析如图，由抛物线定义知AA1AF，BB1BF，所以AA1FAFA1，又AA1FA1FO，AFA1A1FO，同理BFB1B1FO，于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.4抛物线y28x的准线方程是_答案x2解析抛物线y22px(p0)，p4.

12、5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)若x1x26，则AB_.答案8解析如图，作AAl，BBl，垂足分别为A，B.由抛物线定义知AFAAx1，BFBBx2.ABAFBFx1x2p628.6已知O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是_答案(1,2)或(1，2)解析抛物线的焦点为F(1,0)，设A(，y0)，则(，y0)，(1，y0)，由4，得y02，点A的坐标是(1,2)或(1，2)7如图所示，过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC2BF，且AF3，求此抛物线

13、的方程解过A、B分别作准线的垂线AA、BD，垂足分别为A、D，则BFBD，又2BFBC，在RtBCD中，BCD30.又AF3，AA3，AC6，FC3.F到准线距离pFC.y23x.二、能力提升8已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB_.答案解析由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.9已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若FA2FB，则k_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(

14、4k28)x4k20，x1x24，FAx1x12，FBx2x22，且FA2FB，x12x22.由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)，得k.10抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析抛物线的焦点坐标F(0，)，准线方程为y.代入1得|x|.若要使ABF为等边三角形，则tan，解得p236，p6.11已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程解依题意，设抛物线方程为y22px(p0)，点(，)在抛物线上，62p，p2

15、，所求抛物线方程为y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点(，)在双曲线上，1，由解得：a2，b2.所求双曲线方程为4x2y21.12已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22ax，则消去y，得4x2(2a4)x10，设直线y2x1与抛物线交于A、B两点，其坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2.AB|x1x2|.则，a24a120，a2或6.y24x或y212x.三、探究与创新13已知过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦求证：(1)y1y2p2；x1x2；(2)；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明如图所示(1)抛物线y22px (p0)的焦点F(，0)，准线方程：x.设直线AB的方程为xky，把它代入y22px，化简，得y22pkyp20.y1y2p2，x1x2.(2)根据抛物线定义知FAAA1x1，FBBB1x2，.(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则CC1(AA1BB1)(AFBF)AB.以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切