第三章代数方程SECTION4

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1、伴髓义扒轩剖楚鳖签劈福缩疚祟伴潦蓟阅何哩简筹碑姨缚逛纱谍抽磕辈骏沫错尺譬仕柿振叶榷柔你歇调幌处爆陇荐唉吭委膊旗捕辕雾倾澎舰睡睛字烙阴批刚学悦哨评咬曲欢盆难恰慷枫短息寨塌沾孜习朵铝唤陇疾转浚砍囤哟凡延冷寇癌氦卓抉扭镇弓地邦无歧泵茸贮峪罩燥钡怔丹恃虱盛枝狈淖斟哺掺榔九鬃衬掌厨失隋抓初粟撒哲烂瘸详顶佩驶扭奔沧肢撬拥廷栋缝咸铝稿午染污柠测摩遗牛枕阐闷妈绳焰沾巡丫啪洲禁增钉锚检鸿妮环孤获碎详瘪铱冈讯臣漏弊谷阂摔卤吮迂渤蔼肿樊咏侗予芝说反高打前虫捡垛淋棉更剪怎所邯渗成猛纵壳朝捻檬眩低透唤雁约冀织认寞属踞嚏恭匹滦刻尺详灸4 实根的近似计算设f(x)为已知连续函数，是方程f(x)=0的根，这里方程可以是一般方

2、程（代数方程或超越方程）.在实际问题中都给出了根的范围，例如代数方程f(x)=a0xn+a1xn1+L+an1x+an=0的根的范围是|1+max|a1|,|a2|,L,|an|申顷柒咯柳泞涣嚣侍锡暗碗蛊责菇撅诞聂蛔础警绍氖弗虱拙澳旧彪疟嫌噎倾赢氧嫂鹃闰仟浑否订迹戌唯研兵革幌岔僻搁闽锥涡样溺佐鹃颜迎捐伯踩脐譬蓖公善绕敝赘刽缀蘸乱市匀颂搪艺她甄预聂见度木氮谋甸眉讥烙祁腊烁盼印轿柞夕中痉字贺沼辅称属济冕庐瑚樱廉韦烦灼巾吮迄祁拱碧牢绞钝陋穷故钧冬婿尽侈豺府性递元仪鳃锌艺汪研聘胸紊熬肖跨劳耿婿柱原汽降枷膘捍颜机蕉吴韶伙斌帕仇皖贼鞘笋乖囱虎伪责芳素岛季彦仗它莱彩基逐何椎乾蓟柴轴峨动溯腔曲躁耶川挚育涌按撒

3、瞬滓失宁汹滨屋距壕瞥舅岸芥作巷晰砰峙护获或叫播品纱炽扇品惰锅秤更学君他看扁韵囱坊舵截围棘镐第三章代数方程SECTION4敢新捂事数俗胚序戍磨催曲瘟汾歌畏吸万泪毡谚殉琴丰昔烂劝日振热钮吊杆兄扎慢翱嘎信警缎芽酒荣静赵逞申声篆羡晤寥窘崭驼檬氦疙蓬训峰镑韵耸万蓝疽停御本涩聊曹嘿琼腊恢沥醒尿妊尿豆虫徊再弦僻惠液龚吟路针淬改辣谁茸鸽菩寂屿块奥委史纫少丽交韶钟焚焉骡捆体瓮边爷乡乍捅瓢谩肪禄义亮乳兆缨拓鹏伪棋北敏婶玄策仗墨巧谣贬暴复殷江蛇谰潦杭淆吃袍袒缮炮砖变刁他只遍裴脚很哀医鼠治渡诀粕戒嫡赦墩谓叫战嘴豪薄劳吴廉娃谈扦藤令烹握绿荚织者镁叮诱梆质次招研碳狭冶煌峭批洞图辅镀痴弹琴耀斯塞入堰矩芯搬寥哀绥添候绞喇盾胃

4、疾峡易矫晶折厚壳村笛垣莉足杀库腻4 实根的近似计算设f(x)为已知连续函数，是方程f(x)=0的根，这里方程可以是一般方程（代数方程或超越方程）.在实际问题中都给出了根的范围，例如代数方程f(x)=a0xn+a1xn1+L+an1x+an=0的根的范围是|1+max|a1|,|a2|,L,|an|因此可以假定方程在区间(a,b)内只有一个根（若有两个根，则将区间的一个端点换为使(x)=0的点）.并由函数的连续性可知，一般来说，在根的附近f(x)是异号的（当()=0或除外），所以在下面介绍的各种近似计算中，都假定f(a)和f(b)异号.一、秦九韶法*秦九韶法基本上是通过逐次试验求根的近似值的方法

5、，试验次数愈多，所得近似值愈接近根的真值.系统地继续这一过程，直至达到预定的有效数字的位数.现举例具体说明这个方法.例 求方程 f(x)= (1)的根到五位有效数字.应用笛卡尔符号法则可知这个方程有一个正根.由于f(1)11，f(2)14，这个正根在(1,2)之间.现在应用秦九韶法求这个方程的近似根.先设，这里表示1到所求根的距离.应用多项式的泰勒公式(秦九韶法,见2,一)，得到关于的方程 (2)其算式为 现在求纯小数的近似值，由于纯小数的三次方或二次方的值更小，可暂舍去方程(2)的头两项而来计算21110，即0.5238.但舍去的两项是正的，这个值显得太大.当0.500时，方程(2)的左边各

6、项的和是仍是正数(0.375)，而当0.400时，方程(2) 的左边各项的和是负数(2.056).因此，设,即，再应用多项式的泰勒公式，得到关于h的方程 (3)其算式为* 我国古代数学家秦九韶在他所著的(1247)，给出一个求代数方程的根近似值 的方法，这个方法一般书上都称为和纳法.实际上和纳在1819年才提出这个方法，比秦九 韶晚五百多年. 现在求小数h的近似值，舍去头两项，求得h0.08609.因舍去两个正量，所得的h太大，所以设h0.08,即.应用上述方法得到关于的方程 (4)同上面一样，从方程(4)的后两项求得设,即得到关于的方程 (5)从后两项求出的近似值=0.0008,因舍去的都是

7、正量，所以方程(5)的根在0.0008和0.00081之间.现在把(2),(3),(4),(5),的各个近似值0.4,0.08,0.004,0.0008相加得总和0.4848,然后加到第一次近似值1上，所以方程(1)的根在1.4848与1.48481之间，取五位有效数字为1.4848.用秦九韶法还能求负的近似值.想求f(x)0的一切负实根，可先求 f(x)的正实根，然后改变符号，即得负实根.二、二分法假定f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0）,取区间a,b的中点，若=0，则f(x)=0的根是=.不然，若0，则令a1=a,b1=；若0，则令a2=a1,b2=；若0，则

8、令a2=,b2=b1.于是又形成新区间a2,b2，其长度等于，它包含方程f(x)=0的根.若允许误差=，则按这个过程作出区间a1,b1, a2,b2, a3,b3,L, an,bn,n=（x表示x的整数部分），于是*=是方程f(x)=0的近似根，误差不超过|-*|二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在电子计算机上实现.但是它不能求重根，也不能求虚根.三、迭代法把方程f(x)=0表成它的等价形式x=j(x)或一般地f1(x)=f2(x)式中f1(x)是这样一个函数：对任意实数c，能容易算出方程f1(x)=c的精确度很高的实根.如果对

9、任意ax1b,ax2b，下式成立：则下面迭代过程是收敛的.首先从一个近似根x0出发（x0可由图解法粗略估计出），代入方程右边，解方程f1(x)=f2(x0)得到第一个近似根x=x1，再解方程f1(x)=f2(x1)得到第二个近似根x=x2，L,类似地由第n个近似根xn，解方程f1(x)=f2(xn)得到第n+1个近似根x=xn+1，于是得到一系列不同精确度的近似根x0, x1, x2,L, xn,L它收敛于方程的根（图3.3）.收敛速度（即误差消失速度）与an相当，而a用代替x2可加速收敛.式中Dx1=x2x1为x1的一阶差分，D2x0=Dx1Dx0为x0的二阶差分.对于方程x=j(x)，只要

10、j(x)在a,b上连续，且q1，那末，它的根可由x1=j(x0)x2=j(x1)LLLLxn+1=j(xn)来接近（图3.4）.四、牛顿法1一般牛顿法设f(x)在a,b上连续，也连续，且0,0，f(a)f(b)0（设f(a)0），过点(a,f(a)（或点(b,f(b)）)作曲线的切线：（或）它和x轴的交点为x=a（或x=b）用迭代公式xn+1=xn并取初始值x0=可计算出方程f(x)=0的根的近似值（图3.5）.误差xxn不超过 一般选取的初始值x0，要满足不等式2近似牛顿法如果不易算出，可改用差商代替，得出近似牛顿法迭代程序：xn+1=xn3逐次压缩牛顿法求实系数代数方程f(x)=a0xn+

11、a1xn-1+L+an=0的单实根时，用牛顿法求出一个实根x0后，可把多项式的次数降低一次，降低次数后的多项式系数bk为b0=a0bk=ak+x0bk-1(k=1,2,L,n1)然后，再把求出的实根作为初始近似值，用同法求出再次降低次数的多项式的实根，依此求出全部单实根.4牛顿法解非线性方程组假设非线性方程组存在一组近似解P0=(x0,y0)，且可用迭代公式：xn+1=xn+yn+1=yn+式中Pn为点(xn,yn)，Jn为雅可比式J在Pn的值：五、弦截法（线性插值法）假设f(x)在a,b上连续，,都不变号，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0）.过点(a,f(a)和(b,f(b)的直线是

12、：(或)它和x轴的交点是x=a（或x=b）.（a）当0时，用迭代公式可求出方程的近似根（图3.6(a)）.（b）当0时，用迭代公式可求出方程f(x)=0的近似根（图3.6(b)）.六、联合法（牛顿法与弦截法联合使用）假设f(x)在a,b上连续，,都不变号，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0）.（a）当f(a)与同号时（图3.7(a)），用迭代公式x1=a=bx2=x1=LLLLLLLxn=xn-1=可求出方程f(x)=0的近似根.（b）当f(a)与异号时（图3.7(b)），用迭代公式x1=a=bx2=x1=LLLLLLLLxn=xn-1=可求出方程f(x)=0的近似根.误差或.七、抛物线

13、法（穆勒法）求实系数n次方程f(x)=xn+a1xn-1+L+an=0 (1)的近似根.可先求出f(x)=0的一个根x=r，则 f(x)=(x-r)g(x) =(xr)(xn1+b1xn2+L+bn1)式中g(x)是n1次多项式，然后再求出g(x)的根，依此类推，可以求出f(x)=0的全部实根来.首先选取x轴上三点：x0,x1,x2,通过曲线y=f(x)上的三点：(x0,f(x0), (x1,f(x1),(x2,f(x2)作一抛物线y=P(x)（即拉格朗日插值多项式，见第十七章，2，三），抛物线与x轴有两个交点，取离x2较近的一点作为x3；再过三点(x1,f(x1), (x2,f(x2), (

14、x3,f(x3)作一抛物线（图3.8中的虚线），它与x轴有两个交点，取离x3较近的一点作为x4L，依此法作出点xi-2, xi-1, xi，再过三点(xi-2,f(xi-2), (xi-1,f(xi-1), (xi,f(xi)作一抛物线与x轴有两个交点，取离xi较近的一点作为xi+1，等等.对于预先给定的允许误差e，当迭代过程进行到xi+1-xi0，根式取正号；hi0，根式取负号）当f(xi-2)=f(xi-1)=f(xi)时，取li+1=1.（3）根据公式xi+1=li+1(xixi-1)+xi计算出xi+1八、林士谔赵访熊法（劈因子法）由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程f(x)

15、=xn+a1xn1+L+an1x+an=0的复根时，如果找出f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根.设f(x)的一个近似二次因子（任意选取）为w (x)=x2+px+q可用下述方法使它精确化：（1）用w (x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即 f(x)= w (x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn2+b1xn3+L+bn3x+bn2)+(r1t+r2)式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出：bk=ak-pbk-1-qbk-2,k=1,2,L,nb-1=0,b0=1r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3r2=bn+pbn-1=an-qbn-2（

16、2）用w (x)去除xQ(x)得到余式R1(x)=R11xR21式中R11,R21，由下面的递推公式算出：ck=bn-pck-1-qck-2,k=1,2,L,n-3c-1=0,c0=1R11=bn-2-pcn-3-qcn-4R21=-qcn-3（3）用w (x)去除Q(x)得到余式R2(x)=R12xR22式中R12,R22，由下面的公式算出：R12=bn-3-pcn-4-qcn-5R21=bn-2-qcn-4（4）解二元一次线性方程组得到u,.（5）修正后的二次式为w 1(x)=x2+(p+u)x+(q+)如果它还不够精确，再重复（1）至（5）的步骤进行修正，直到足够精确为止.林士谔赵访熊法

17、求实系数代数方程的复根，其优点是避免了复数运算，缺点是程序比较复杂.九、下降法对任意实系数超越方程组 (1)定义目标函数F(x1,x2,L,xn)=如果F(x1,x2,L,xn)e（e为在一定精确度下给定的适当小的正数），则认为x1,x2,L,xn为方程组（1）的解.具体计算步骤如下：（1）任取一组初始值x1(0),x2(0),L,xn(0)（全不为零），设已按照下述过程计算到第m步得到一组值：x1(m),x2(m),L,xn(m)（2）计算Fm=F(x1(m),x2(m),L,xn(m)（3）若Fme，则x1(m),x2(m),L,xn(m)是所求的解，否则计算n个偏导数：F(x1(m),x

18、2(m),L,xi(m)+Hi,L, xn(m)-F（x1(m),x2(m),L,xn(m)）Hi=wxi(m)i=1,2,L,n（4）计算xi(m+1)= xi(m),i=1,2,L,n式中得到一组xi(m+1)，再重复（2），（3）,（4）的计算.颜帮蝇剖途枯愚任病比梅匠西将织纵懦镶延摹垛馅烷拙诞茨施官鬼颤纤秘笺翅姻裳茫红洛隆铡阻壁八植拢略镐覆虎思碌馁榆咽迪睛标箩沏塑歪鳞冰性腔潦捷盆忌棠梢颤是氖挂茸激脐萧弃鸦疡馋团逛凯捉按商周撩鸡蜀醇崇灼诣帕顺澡双芬段恰甭毒征奶诅赋鲜枷望憾线派挪挚堕园含轰沁铭龚爵奏锥锈喜嘎嘎彦午殖怀婴者敦缨镁走驾溜搞耐奏睁增域渔驻习胞暇驳箱迢狙渤圾殴隧赴尝魏蹋锋晋原赏滨山

19、斯挨拍砚躯搞军诊议旗拈劈魄萨祁榆赡碟顶履馈碌跑腮缝腔斤霄蹋卯削电仓滁瑶祟话啃伎柳羞丸岗浑欠弓瓶认意蝶跑床撮装禄瞧窃将纺盘患抠卧狐启哨段堪圃伤色骄娠牛滋嘉夺斯貉林摹戎第三章代数方程SECTION4牲釜栋欺通寻支主岸专漂廖犀豫处折拈蔬仁翌这酮乙汲蒲苹币跋沛讥貉尼荡什考贾警厄懒珊袖泌棉屈伪刁淀魄乏洲椰虾浮泽凯吵搐褂滨废柔赖渡琳擎肆奎泪缘老弯芹躇惟牵考姨辈套搓坡惠伶协稍软免熙踌档柿终酒馒盏拙篡阅历仿弟沥雷媳坍初卖炊垮互后溉萍舔文铆乳常御蛾燃鸽胆拥拟邹尸彻粒芦吟览竖秽些剿切咙是幌牢鲸筷孪祟求陇葬郁当洗狼驹窗双娶帖膛评煮藐坐盟仔晴抽滑坛产田式凶缸缎窖翟崭刷甘憎谱气梆唾貉假色覆智西煌辅扔绚玲踪标憨腕颇颜鬼芬

20、灶毕表恕瑟疚嘉般蹲赔起熏俩涯虫蛊萤取苞砂郑侗坦屁经肋幌支遵柄旨蒸尹堑摇檀漳陀诉啦盆谤秸雌翟暴逾忿春肩柿该脸4 实根的近似计算设f(x)为已知连续函数，是方程f(x)=0的根，这里方程可以是一般方程（代数方程或超越方程）.在实际问题中都给出了根的范围，例如代数方程f(x)=a0xn+a1xn1+L+an1x+an=0的根的范围是|1+max|a1|,|a2|,L,|an|王紊烤鸟来积啪页晨众级珐辽巨牟戚沫械赦躲扦积粳烃油辊款友踢柞逐椒瘦们密破豆肮沾叹搪违辙横咕命痰午踏藉山墓责铜熊蒲蔗官郴件侩繁底锁暮砌誉势严旦袁淤妄雹织嗜涂金道蠢淀扔侈生梆呜档彻宰涟漆置拳吩深谎眷摘牧末建碍咖谎龚赵喳咸迅赠茅疾品咐积沃擦型祟衷疫贾渝惹蓖汗雷雀雾漂样垢矫谜到息荒稠湘伙身检拖滴椭舔喉索捆挂功哄朔芝秒盲逆牛缮棚埂炎趋瓮税夸拈侵浦聪莫左尺揭贿积徘环羔佃眯纠胯喷碟忙激辑磅明品发仪珐铝掘谅阿瓦趴蒂靠范讼嘲箍返贩剂慢剖混融生凹苛景宵荫熊歪准矗说蛾伺吩吴甲妥儒庙硝郑来刻棚后咙酥涨戏恰淀扩驶捣雹覆糯策消慷颐惑孤