全国数学中考试卷分类汇编：三角函数应用

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1、2019届数学中考复习资料中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市2013年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角为60，又从A点测得D点的俯角为30，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）A20米 B米 C米 D米解析GE/AB/CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=ABcotACB=30cot60=10米，DF=AFtan30=10=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。2、（2013杭州）在RtABC中，C=90，若AB=4，sinA=，则斜边上的高

2、等于（）ABCD考点：解直角三角形专题：计算题分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在RtABC中，AB=4，sinA=，BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC=3.2，SABC=ACBC=ABCD，CD=故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键3、（2013绥化）如图，在ABC中，ADBC于点D，AB=8，ABD=30，CAD=45，求BC的长考点：解直角三角形分析

3、：首先解RtABD，求出AD、BD的长度，再解RtADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解解答：解：ADBC于点D，ADB=ADC=90在RtABD中，AB=8，ABD=30，AD=AB=4，BD=AD=4在RtADC中，CAD=45，ADC=90，DC=AD=4，BC=BD+DC=4+4点评：本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度4、（2013鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B

4、能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若AB=20cm，则画出的圆的半径为10cm考点：直角三角形斜边上的中线3718684分析：连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长解答：解：连接OP，AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，OP=AB，AB=20cm，OP=10cm，故答案为：10点评：此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、（2013安顺）在RtABC中，C=90，BC=8，则ABC的面积为 考点：解直角三角形专题：计算题分析：根据tanA的值及BC

5、的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答：解：tanA=，AC=6，ABC的面积为68=24故答案为：24点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积6、（11-4解直角三角形的实际应用2013东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米. 15. 9.解析：过B作BECD于点E，设旗杆AB的高度为x，在中，

6、所以，在中，所以，因为CE=AB=x，所以，所以x=9，故旗杆的高度为9米.7、（2013常德）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值考点：解直角三角形分析：（1）先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90，再解RtADC，得出DC=1；解RtADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CECD，然后在RtADE中根据正切函数的定义即可求解解答：解：（1）在ABC中，AD是BC边上的高，ADB=ADC=90在AD

7、C中，ADC=90，C=45，AD=1，DC=AD=1在ADB中，ADB=90，sinB=，AD=1，AB=3，BD=2，BC=BD+DC=2+1；（2）AE是BC边上的中线，CE=BC=+，DE=CECD=，tanDAE=点评：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtADC与RtADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，A=67，B=37（1）求CD与A

8、B之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线ADCB去超市B，求他沿折线ADCB到达超市比直接横穿马路多走多少米（参考数据：， ，）解析：9、（2013益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50

9、）考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：设PD=x米，在RtPAD中表示出AD，在RtPDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置解答：解：设PD=x米，PDAB，ADP=BDP=90，在RtPAD中，tanPAD=，AD=x，在RtPBD中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0米，x+2x=80.0，解得：x24.6，即PD24.6米，DB=2x=49.2答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度

10、，难度一般10、（2013娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：）考点：解直角三角形的应用分析：过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中表示出AD，在RtBCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可解答：解：过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中，CAD=30，则AD=CD=x，在RtBCD中，CBD=45，则BD=CD=x，由题意得，xx=4

11、，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在点C的深度为5.5米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用11、（2013包头）如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（ABO）为60当木棒A端沿墙下滑至点A时，B端沿地面向右滑行至点B（1）求OB的长；（2）当AA=1米时，求BB的长考点：勾股定理的应用；解直角三角形的应用3718684分析：（1）由已知数据解直角三角形AOB即可；（2）首先求出OA的长和OA的长，再根据勾股定理求出OB的长即可解答：解：（1）根据题意可

12、知：AB=6，ABO=60，AOB=90，在RtAOB中，cosABO=，OB=ABcosABO=6cos60=3米，OB的长为3米；（2）根据题意可知AB=AB=6米，在RtAOB中，sinABO=，OA=ABsinABO=6sin60=9米，OA=OAAA，AA=1米，OA=8米，在RtAOB中，OB=2米，BB=OBOB=（23）米点评：本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型12、（2013呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶已知AC=10千米，A=30，B=45则隧道开通后，汽

13、车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用3718684分析：过C作CDAB于D，在RtACD中，根据AC=10，A=30，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在RtBCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC（AD+BD）即可求解解答：解：过C作CDAB于D，在RtACD中，AC=10，A=30，DC=ACsin30=5，AD=ACcos30=5，在RtBCD中，B=45，BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC（AD+BD）=10+5（5+5）=5+55（千米）答：汽车从A地到B地比原来少走（5+55）千米点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答

14、本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形13、（2013巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30和60，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据1.41，1.73）考点：解直角三角形的应用分析：过点C作CDAB交AB于点D，则CAD=30，CBD=60，在RtBDC中，CD=BD，在RtADC中，AD=CD，然后根据AB=ADBD=4，即可得到CD的方程，解方程即可解答：解：如图，过点C作CDAB交AB

15、于点D探测线与地面的夹角为30和60，CAD=30，CBD=60，在RtBDC中，tan60=，BD=，在RtADC中，tan30=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米）答：生命所在点C的深度大约为3.5米点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力14、（2013舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60缩小为10（如图3）问：校门打开了多少米？（结果精确到1

16、米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，cos100.9848）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD根据题意，得BAD=60，AB=0.3米在菱形ABCD中，AB=AD，BAD是等边三角形，BD=AB=0.3米，大门的宽是：0.3206（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1根据题意，得B1A1D1=10，A1B1=0.3米在菱形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O1=

17、5，在RtA1B1O1中，B1O1=sinB1A1O1A1B1=sin50.3=0.02616（米），B1D1=2B1O1=0.05232米，伸缩门的宽是：0.0523220=1.0464米；校门打开的宽度为：61.0464=4.95365（米）故校门打开了5米点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解15、（2013绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞

18、架DEDFAEAFABAC长度363636368686（1）求AM的长（2）当BAC=104时，求AD的长（精确到1cm）备用数据：sin52=0.788，cos52=0.6157，tan52=1.2799考点：解直角三角形的应用3718684分析：（1）根据AM=AE+DE求解即可；（2）先根据角平分线的定义得出EAD=BAC=52，再过点E作EGAD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度解答：解：（1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）故AM的长为72cm；（2）AP平分BAC，BAC=104，EAD=

19、BAC=52过点E作EGAD于G，AE=DE=36，AG=DG，AD=2AG在AEG中，AGE=90，AG=AEcosEAG=36cos52=360.6157=22.1652，AD=2AG=222.165244（cm）故AD的长约为44cm点评：本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中16、(2013年南京)已知不等臂跷跷板AB长4m。如图j，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹 角为a；如图k，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为b。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示)jOABABa

20、HObHk解析：解：在RtAHO中，sina= ，OA= 。 在RtBHO中，sinb= ，OB= 。 AB=4，OA+OB=4，即 + =4。OH= (m)。 (8分)(2013年江西省)如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，OAB=120若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示 （1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积（结果保留的整数倍） （参考数据：sin60=，cos60=，tan

21、60=，26.851，可使用科学计算器）【答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180 连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH，OAB=120，OAE=60在RtOAE中，OAE=60，OA=10，sinOAE=，OE=5， AE=5.EB=AE+AB=53， 在RtOEB中，OE=5，EB=53，OB=253.70； （2）雨刮杆AB旋转180得到CD，即OCD与OAB关于点O中心对称，BAOOCD，SBAO=SOCD， 雨刮杆AB扫过的最大面积S=(OB2OA2) =1392.【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意

22、（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180；在OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由OAB=120想到作AB边上的高，得到一个含60角的RtOAE和一个非特殊角的RtOEB.在RtOAE中，已知OAE=60，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得RtOEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中

23、，已知两边或一边一角都可求出其余的量.【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积17、（2013陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）BAECDNM第21题图考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解

24、，经常设置的具体的实际情景得到与测量相关的计算；解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，解：如图，设CD长为m AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACD，BNCD，EC=CD=，ABNACD 即 解得所以路灯高CD约为6.1米18、（2013年潍坊市）如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为的中点，且090，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.答案：(1) DC/EF,DCD=CDE=CDE=. sin=,=30(2) G为BC中点，GC=CE=CE=1，DCG=DCG+DCD=90+, DCE=DCE+DCD=90+,DCG=DCE又CD=CD, GCDECD, GD=ED(3) 能. =135或=315考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力