人教版高中数学必修4教案第五章三角函数教师用书

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1、（人教版）精品数学教学资料第五章三角函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysin x， ycos x ， ytan x的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(,)上的单调性.5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1 ，tan x.6.了解函数yAsin(x)的物理意义，能画出函数yAsin(x)的图象

2、，了解参数A，对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，yAsin(x)(0

3、)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形

4、的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.知识网络 5.1任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若是第二象限角，试分别确定2、的终边所在的象限.【解析】因为是第二象限角，所以k36090k360180(kZ).因为2k36018022k360360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为k18045k18090(kZ)，当k2n(nZ)时，n36045n36090，当k2n1(nZ)时，n360225n360270.所以是第一或第三象限角.【点拨】已知角所在象限，应熟练地

5、确定所在象限.如果用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角，则、分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2的终边在x轴上方，那么角是()A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2k22k，kZ，得kk，kZ.当k是奇数时，是第三象限角.当k是偶数时，是第一象限角.故选C.题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形

6、的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为60，R10 cm，所以l cm，S弓S扇S10102sin 6050() cm2.(2)因为C2Rl2RR，所以R，S扇R2()2，当且仅当时，即2(2舍去)时，扇形的面积有最大值为.【点拨】用弧长公式l | R与扇形面积公式SlRR2|时，的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.【解析】因为SRl，所以Rl2S，所以周长Cl2R224，当且仅当l2R时，C4，所以当2时，周长C有最小值4.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】

7、(1)已知角的终边与函数y2x的图象重合，求sin ；(2)求满足sin x的角x的集合.【解析】(1)由 交点为(，)或(，)，所以sin .(2)找终边：在y轴正半轴上找出点(0，)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.写集合：所求角x的集合是x|2kx2k，kZ.【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数ylg sin x的定义域为.【解析】2kx

8、2k，kZ.所以函数的定义域为x|2kx2k，kZ.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k360的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f(x)，(，)，则f(sin 2)f(sin 2).【解析】f(sin 2)f(sin 2)|sin cos |sin cos |.因为(，)，所以s

9、in cos 0，sin cos 0.所以|sin cos |sin cos |sin cos sin cos 2cos .题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2).(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|，0，求 的值.【解析】(1)因为ab，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ，故tan .(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即sin 2cos 21，于是sin(2).又由0知，2，所以2或2.因此或.【变式训练2】已知t

10、an ，则2sin cos cos2等于()A. B. C. D.2【解析】原式.故选B.题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知x0且sin xcos x，求：(1)sin xcos x的值；(2)sin3(x)cos3(x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x，且sin x0cos x，所以sin xcos x.(2)sin3(x)cos3(x)cos3xsin3x(cos xsin x)(cos2xcos xsin xsin2x)(1).【点拨】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin xcos x取值符号.【变式训练3】化简.【解析】原式.

11、总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(2)cos2(2)1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简(0).【解析】因为0，所以0，所以原式cos .【点拨】先从角度统一入手，将化成，然后再观察结构特征，如此题中sin2cos2cos .【变式训练1】化简.【解析】原式cos 2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sin 2cos 0.(1)求tan

12、 x的值；(2)求的值.【解析】(1)由sin 2cos 0tan 2，所以tan x.(2)原式1()1.【变式训练2】.【解析】原式.题型三已知三角函数值求解【例3】已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值.【解析】因为tan 2()，所以tan(2)tan2()1，又tan tan()，因为(0，)，所以0，又，所以20，所以2.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若与是两锐角，且sin()2sin ，则与的大小关系是()A.B.C. D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin sin()1，所以sin

13、，又是锐角，所以30.又当30，60时符合题意，故选B.方法二：因为2sin sin()sin cos cos sin sin sin ，所以sin sin .又因为、是锐角，所以，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2()()”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】

14、已知0，0，3sin sin(2)，4tan 1tan2，求的值.【解析】由4tan 1tan2，得tan .由3sin sin(2)得3sin()sin()，所以3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，即2sin()cos 4cos()sin ，所以tan()2tan 1.又因为、(0，)，所以.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan()，tan()，那么tan()等于()A. B. C. D.【解析】因为()()，所以tan()tan()().故选C.

15、题型二等式的证明【例2】求证：2cos().【证明】证法一：右边左边.证法二：2cos()，所以2cos().【点拨】证法一将2写成()，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0.【证明】因为5sin 3sin(2)，所以5sin()3sin()，所以5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，所以2sin()cos 8cos()sin 0.即tan()4tan 0.题型三三角恒等变换的应用【例3】已知ABC是非直角三角形.(1)求证：

16、tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；(2)若AB且tan A2tan B，求证：tan C；(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.【解析】(1)因为C(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以tan Ctan Atan Btan Ctan Atan B，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C.(3)由(2)知tan C，当且仅当2tan B，即tan B时，等号成立.所以tan C的最大值为.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在ABC中，t

17、an Btan Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，试判断ABC的形状.【解析】由已知得tan Btan C(1tan Btan C)，(tan Atan B)(1tan Atan B)，即，.所以tan(BC)，tan(AB).因为0BC，0AB，所以BC，AB.又ABC，故A，BC.所以ABC是顶角为的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式.5.5三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)2sin cos cos .(

18、1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)f(x)，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)2sin cos cos sin cos 2sin()，所以f(x)的最小正周期T4.(2)g(x)f(x)2sin(x)2sin()2cos .所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数ysin2xsin xcos x的最小正周期T等于()A.2 B. C. D.【解析】ysin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以T.故选B.题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f(x)；(2)f(x)2cos(x)2cos

19、 x.【解析】(1)f(x)2cos2x2cos x2(cos x)2，当cos x1时，f(x)max4，但cos x1，所以f(x)4，当cos x时，f(x)min，所以函数的值域为，4).(2)f(x)2(cos cos xsin sin x)2cos x3cos xsin x2cos(x)，所以函数的值域为2，2.【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求ysin xcos xsin xcos x的值域.【解析】令tsin xcos x，则有t212sin xcos x，即sin xcos x.所以yf(t)t(t1)2

20、1.又tsin xcos xsin(x)，所以t.故yf(t)(t1)21(t)，从而f(1)yf()，即1y.所以函数的值域为1，.题型三三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)sin(x)(0，|)的部分图象如图所示.(1)求，的值；(2)设g(x)f(x)f(x)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T4()，2.又由f()1知，sin()1，又f(0)1，所以sin 1.因为|，所以.(2)f(x)sin(2x)cos 2x.所以g(x)(cos 2x)cos(2x)cos 2xsin 2xsin 4x.所以当2k4x2k，即x(kZ)时g(x)单调递增.故函数g(x

21、)的单调增区间为，(kZ).【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数ysin(2x)(x0，)为增函数的区间是()A.0， B.，C.， D.，【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6函数yAsin(x)的图象和性质典例精析题型一“五点法

22、”作函数图象【例1】设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又因为T，所以，即2，所以f(x)2sin(2x)，所以函数f(x)sin xcos x(0)的振幅为2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把ysin x图象上的所有点向左平移个单位，得到ysin(x)的图象，再把ysin(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

23、，得到ysin(2x)的图象，然后把ysin(2x)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin(2x)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为yAsin(x)(A0，0)形式，再令x0，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则()A.k，B.k，C.k，2，D.k2，【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的

24、周期决定，由图象可知函数的周期为T4()4，故.将点(，0)代入解析式y2sin(x)，得k，kZ，所以k，kZ.结合各选项可知，选项A正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)sin2xsin xsin(x)2cos2x，xR(0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)sin 2xcos 2xsin(2x).令2x，将x代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，经过题设

25、的变化得到函数g(x)sin(x)，当x4k，kZ时，函数g(x)取得最大值.令2kx2k，即4k，4k(kZ)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y2sin(3x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)对称，则|的最小值是()A.B.C.D.【解析】将函数y2sin(3x)的图象向右平移个单位后得到y2sin3(x)2sin(3x)的图象.因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3)2sin()0，故有k(kZ)，解得k(kZ).当k0时，|取得最小值，故选A.题型三三角函数的综合应用【例3】已知函

26、数yf(x)Asin2(x)(A0，0,0)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2 008).【解析】(1)yAsin2(x)cos(2x2)，因为yf(x)的最大值为2，又A0， 所以2，所以A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，所以2，所以.所以f(x)cos(x2)1cos(x2)，因为yf(x)过点(1,2)，所以cos(2)1.所以22k(kZ)，解得k(kZ)，又因为0，所以.(2)方法一：因为，所以y1cos(x)1sin x，所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因为yf(x)的周期为4

27、,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.方法二：因为f(x)2sin2(x)，所以f(1)f(3)2sin2()2sin2()2，f(2)f(4)2sin2()2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因为yf(x)的周期为4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.【点拨】函数yAcos(x)的对称轴由xk，可得x，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)Acos2x2(A0，0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的

28、距离为4，则f(2)f(4)f(6)f(20).【解析】f(x)Acos2x2A22，则由题意知A26，8，所以A4，所以f(x)2cos x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，观察周期性规律可知f(2)f(4)f(20)2(4246)4238.总结提高1.用“五点法”作yAsin(x)的图象，关键是五个点的选取，一般令x0，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对

29、字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决yAsin(x)的有关性质时，应将x视为一个整体x后再与基本函数ysin x的性质对应求解.5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB，BC1，cos C.(1)求sin A的值；(2)求的值.【解析】(1)由cos C得sin C.所以sin A.(2)由(1)知，cos A.所以cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.所以()11cos B1.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在ABC中，已知a、

30、b、c为它的三边，且三角形的面积为，则C.【解析】Sabsin C.所以sin Ccos C.所以tan C1，又C(0，)，所以C.题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc).【解析】(1)因为sin2A(cos Bsin B)(cos Bsin B)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B，所以sin A.又A为锐角，所以A.(2)由12可得cbcos A12.由(1)知A，所以cb24.由余弦定理知a2c2

31、b22cbcos A，将a2及代入得c2b252.2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的两个根.又bc，所以b4，c6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积.【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入(2ac)cos Bbcos C

32、，整理得2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，即2sin Acos Bsin(BC)sin A，在ABC中，sin A0,2cos B1，因为B是三角形的内角，所以B60.(2)在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，将b，ac4代入整理，得ac3.故SABCacsin Bsin 60.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救

33、援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里).又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，则需要的时间t1(小时).所以，救援船到达D点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解

34、的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使船没有触礁危险需要BMsin(90)n.所以与的关系满足mcos cos nsin()时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角AB与sin Asin

35、 B是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解. 5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的

36、最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PMAB于M.设PAM，0，则PM90sin ，AM90cos ，所以PQ10090cos ，PR10090sin ，于是S四边形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000.设tsin cos ，则1t，sin cos .S四边形PQCR8 1009 000t10 0004 050(t)2950 (1t).当t时，(S四边形PQCR)max14 0509 000 m2；当t时，(S四边形PQCR)min950 m2.【点拨】同时含有sin cos ，sin cos

37、 的函数求最值时，可设sin cos t，把sin cos 用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0x，则4x与sin 3x的大小关系是()A.4xsin 3xB.4xsin 3xC.4xsin 3xD.与x的值有关【解析】令f(x)4xsin 3x，则f(x)43cos 3x.因为f(x)43cos 3x0，所以f(x)为增函数.又0x，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故选A.题型二函数yAsin(x)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)

38、.下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求出函数yAcos tb的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T12，所以.由t0，y1.5，得Ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，所以A0.5，b1，所以振幅为.所以ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，所以cos t11，所以cos t0，所以2kt2k，即12k3t12

39、k3.因为0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用yAsin(x)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：dAsin(t)k(A0，0，)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：A10；k5.其中正确结论的序号是.【解析】.题型三正、余弦定理的应用

40、【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：测AB间的距离a；测俯角MAB，NAB，MBA，NBA.(2)在ABM中 ，AMB，由正弦定理得BM，同理在BAN中，BN，所以在BMN中，由余弦定理得MN.【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏

41、西60方向上，另一灯塔在南偏西75方向上，则该船的速度是海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB10，OCB60，OCA75.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有tanOCBtan 60且tanOCAtan 75，因此易得ABOAOBOC(tan 75tan 60)，即有OC5.由此可得船的速度为5海里0.5小时10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将x视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如yAsin(x)B或yasin2xbsin xc；(3)换元方法在解题中的运用.