人教版 高中数学选修23 教学案复习课二　随机变量及其分布

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1、人教版高中数学精品资料复习课(二)随机变量及其分布对应学生用书 P50条件概率条件概率(1)在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查，在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档难度中低档(2)条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率件概率是在什么条件下发生的概率考点精要考点精要条件概率的性质条件概率的性质(1)非负性：非负性：0P(B|A)1(2)可加性：如果是两个互斥事件，则可加性：如果是两

2、个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)典例典例口袋中有口袋中有 2 个白球和个白球和 4 个红球个红球， 现从中随机地不放回连续抽取两次现从中随机地不放回连续抽取两次， 每次抽每次抽取取 1 个，个， 则：则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的概率是多少？第二次取出的是红球的概率是多少？解解记事件记事件 A：第一次取出的是红球；：第一次取出的是红球； 事件事件 B：第二次取出

3、的是红球：第二次取出的是红球(1)从中随机地不放回连续抽取两次从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取每次抽取 1 个个， 所有基本事件共所有基本事件共 65 个个； 第一第一次取出的是红球，次取出的是红球， 第二次是其余第二次是其余 5 个球中的任一个，个球中的任一个， 符合条件的有符合条件的有 45 个，个， 所以所以P(A)456523(2)从中随机地不放回连续抽取两次从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取每次抽取 1 个个，所有基本事件共所有基本事件共 65 个个；第一次第一次和第二次都取出的是红球和第二次都取出的是红球， 相当于取两个球相当于取两个球， 都是红球都是红球， 符合条件的有

4、符合条件的有 43 个个， 所以所以 P(AB)436525(3)利用条件概率的计算公式，可得利用条件概率的计算公式，可得 P(B|A)P AB P A 252335类题通法类题通法条件概率的两个求解策略条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用，利用 P(A|B)P AB P B 或或 P(B|A)P AB P A 求解求解(2)缩小样本空间法：利用缩小样本空间法：利用 P(B|A)n AB n A 求解求解其中其中(2)常用于古典概型的概率计算问题常用于古典概型的概率计算问题题组训练题组训练1从编号为从编号为 1,2，10 的的 10 个大小

5、相同的球中任取个大小相同的球中任取 4 个个，已知选出已知选出 4 号球的条件下号球的条件下，选出球的最大号码为选出球的最大号码为 6 的概率为的概率为_解析解析：令事件令事件 A选出的选出的 4 个球中含个球中含 4 号球号球，B选出的选出的 4 个球中最大号码为个球中最大号码为 6依依题意知题意知 n(A)C3984，n(AB)C246，P(B|A)n AB n A 684114答案：答案：1142已知男人中有已知男人中有 5%患色盲，女人中有患色盲，女人中有 025%患色盲，从患色盲，从 100 个男人和个男人和 100 个女人个女人中任选一人中任选一人(1)求此人患色盲的概率求此人患色

6、盲的概率(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率如果此人是色盲，求此人是男人的概率(以上各问结果写成最简分式形式以上各问结果写成最简分式形式)解解：设设“任选一人是男人任选一人是男人”为事件为事件 A，“任选一人是女人任选一人是女人”为事件为事件 B，“任选一人是色任选一人是色盲盲”为事件为事件 C(1)此人患色盲的概率此人患色盲的概率PP(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)10020051001002000.2510021800(2)由由(1)得得 P(AC)5200，又因为，又因为 P(C)21800，所以所以 P(A|C)P AC P C 5200218002021

7、相互独立事件的概率与二项分布相互独立事件的概率与二项分布(1)相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档种题型均有可能出现，难度中低档 而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、填空题形式考查有时也以选择、填空题形式考查(2)解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式

8、求解补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解考点精要考点精要(1)若事件若事件 A 与与 B 相互独立，相互独立， 则事件则事件A与与 B，A 与与B，A与与B分别相互独立，分别相互独立， 且且有有 P(AB)P(A)P(B)，P(AB)P(A)P(B)，P(AB)P(A)P(B)(2)若事件若事件 A1，A2，An相互独立，则有相互独立，则有 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)(3)在在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中，事件事件 A 发生的次数为发生的次数为 X，在每次试验中事件在每次试验中事件 A 发生的概率发生的概率为为 p， 那么在那么在 n 次独立重复试验中次

9、独立重复试验中， 事件事件 A 恰好发生恰好发生 k 次的概率为次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n(4)二项分布满足的条件二项分布满足的条件与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：每次试验中，事件发生的概率是相同的每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数次独立重复试验中某事件发生

10、的次数典例典例某班甲某班甲、乙乙、丙三名同学竞选班委丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为甲当选的概率为45，乙当选的概率为乙当选的概率为35，丙丙当选的概率为当选的概率为710(1)求恰有一名同学当选的概率；求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率求至多有两人当选的概率解解设甲、乙、丙当选的事件分别为设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B，C，则有则有 P(A)45，P(B)35，P(C)710(1)A，B，C 相互独立，相互独立， 恰有一名同学当选的概率为恰有一名同学当选的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(

11、C)45253101535310152571047250(2)至多有两人当选的概率为至多有两人当选的概率为 1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1453571083125类题通法类题通法求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件是判断事件是否相互独立的充要条件， 也是解答相互独立事件也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具概率问题的唯一工具(2)涉及涉及“至多至多”“”“至少至少”“”“恰有恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系

12、(3)公式公式“P(AB)1P(AB) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率题组训练题组训练1投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上硬币正面向上”为事件为事件 A，“骰子骰子向上的点数是向上的点数是 3”为事件为事件 B，则事件，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是中至少有一件发生的概率是_解析解析：用间接法考虑用间接法考虑，事件事件 A，B 一个都不发生的概率为一个都不发生的概率为 P(AB)P(A)P(B)1256512，则事件则事件 A，B 中至少有一件发生的概率中至少有一件发生

13、的概率P1P(AB)712答案：答案：7122在一次抗洪抢险中在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已已知只有知只有 5 发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是立的，且命中的概率都是23(1)求油罐被引爆的概率；求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求，求不小于不小于 4 的概率的概率解：解：(1)油罐引爆的对立事件为

14、油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：PC1523134135，所以所求的概率为所以所求的概率为1P1C1523134135232243(2)当当4 时记事件时记事件 A，则则 P(A)C132313223427当当5 时，意味着前时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B则则 P(B)C142313313419，所以所求概率为：所以所求概率为：P(AB)P(A)P(B)4

15、2719727离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差(1)离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中高档高档(2)期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、

16、方差公式它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如以及期望与方差的线性性质，如 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)考点精要考点精要(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算计算(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布如两点分布、二项分布、超几何分布)(3)注意期望与方差的性质注意期望与方差的性质(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型

17、来表达实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达典例典例(全国乙卷全国乙卷)某公司计划购买某公司计划购买 2 台机器台机器，该种机器使用三年后即被淘汰该种机器使用三年后即被淘汰机器有机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数

18、，得下面柱状台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图：以这以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概台机器更换的易损零件数发生的概率率，记记 X 表示表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买表示购买 2 台机器的同时购买的台机器的同时购买的易损零件数易损零件数(1)求求 X 的分布列；的分布列；(2)若要求若要求 P(Xn)05，确定，确定 n 的最小值；的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在

19、 n19 与与 n20 之中选其一，应之中选其一，应选用哪个？选用哪个？解解(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为为8,9,10,11 的概率分别为的概率分别为 02,04,02,02从而从而 P(X16)0202004；P(X17)20204016；P(X18)202020404024；P(X19)2020220402024；P(X20)20204020202；P(X21)20202008；P(X22)0202004所以所以 X 的分布列为的分布列为X16171819202122P0040160

20、2402402008004(2)由由(1)知知 P(X18)044，P(X19)068，故故 n 的最小值为的最小值为 19(3)记记 Y 表示表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元单位：元)当当 n19 时，时，E(Y)19200068(19200500)02(192002500)008(192003500)0044 040；当当 n20 时，时，E(Y)20200088(20200500)008(202002500)0044 080可知当可知当 n19 时所需费用的期望值小于当时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选时所需费

21、用的期望值，故应选 n19类题通法类题通法求离散型随机变量求离散型随机变量 X 的期望与方差的步骤的期望与方差的步骤(1)理解理解 X 的意义，写出的意义，写出 X 可能的全部取值；可能的全部取值；(2)求求 X 取每个值的概率或求出函数取每个值的概率或求出函数 P(Xk)；(3)写出写出 X 的分布列；的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出由分布列和期望的定义求出 E(X)；(5)由方差的定义，由方差的定义， 求求 D(X), 若若 XB(n，p), 则可直接利用公式求，则可直接利用公式求，E(X)np，D(X)np(1p)题组训练题组训练1一袋中装有分别标记着一袋中装有分别标记着 1,2

22、,3 数字的数字的 3 个小球，每次从袋中取出一个球个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被每只小球被取到的可能性相同取到的可能性相同)，现连续取，现连续取 3 次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次球，若每次取出一个球后放回袋中，记 3 次取出的球中次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为标号最小的数字与最大的数字分别为 X，Y，设，设YX，则，则 E()_解析：解析：由题意知由题意知的取值为的取值为 0,1,2，0，表示，表示 XY，1 表示表示 X1，Y2 或或 X2，Y3；2 表示表示 X1，Y3 P(0)33319，P(1)2233349，P(2)23A333349，E()019

23、14924943答案：答案：432一次同时投掷两枚相同的正方体骰子一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀骰子质地均匀，且各面分别刻有且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六六个数字个数字)(1)设随机变量设随机变量表示一次掷得的点数和，求表示一次掷得的点数和，求的分布列的分布列(2)若连续投掷若连续投掷 10 次次， 设随机变量设随机变量表示一次掷得的点数和大于表示一次掷得的点数和大于 5 的次数的次数， 求求 E()， D()解：解：(1)由已知，随机变量由已知，随机变量的取值为：的取值为：2,3,4,5,6投掷一次正方体骰子所得点数为投掷一次正方体骰子所得点数为 X，则，则P(X

24、1)16，P(X2)13，P(X3)12，即即 P(2)1616136，P(3)2161319，P(4)216121313518，P(5)2131213，P(6)121214故故的分布列为的分布列为P23456136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生的概率为，设其发生的概率为 p，由，由(1)知，知，p14，因为随机变量因为随机变量B10，14 ，所以所以 E()np101452，D()np(1p)101434158正态分布正态分布(1)高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条高

25、考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档件或一问呈现，难度中档(2)注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题考点精要考点精要正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)0682 6(2)P(2X2)0954 4(3)P(31)p，则，则 P(10)等于等于()A12pB1pC12p

26、D12p解析解析： 选选 D由于随机变量服从正态分布由于随机变量服从正态分布 N(0,1)， 由标准正态分布图象可得由标准正态分布图象可得 P(11)12p 故故 P(10)12P(11)12p2已知已知 XN(，2)，且，且 P(X0)P(X4)1，则，则_解析：解析：P(X0)P(X4)1，又，又P(X4)P(X4)1，P(X0)P(X4)，又，又 0 与与4 关于关于 x2 对称，对称，曲线关于曲线关于 x2 对称，即对称，即2答案：答案：21某人进行射击，共有某人进行射击，共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则则

27、“5” 表示的试验结果是表示的试验结果是()A第第 5 次击中目标次击中目标B第第 5 次未击中目标次未击中目标C前前 4 次未击中目标次未击中目标D第第 4 次击中目标次击中目标解析：解析：选选 C击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5，则说明前，则说明前 4 次均未次均未击中目标，故选击中目标，故选 C2甲击中目标的概率是甲击中目标的概率是12，如果击中赢，如果击中赢 10 分，否则输分，否则输 11 分，用分，用 X 表示他的得分，计表示他的得分，计算算 X 的均值为的均值为()A05 分分B05 分分C1 分分D5 分分解析：解析：选选 BE

28、(X)1012(11)12123甲甲、乙两个工人在同样的条件下生产乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等日产量相等，每天出废品的情况如下表所列每天出废品的情况如下表所列，则有结论则有结论()工人工人甲甲乙乙废品数废品数01230123概率概率040302010305020A甲的产品质量比乙的产品质量好一些甲的产品质量比乙的产品质量好一些B乙的产品质量比甲的质量好一些乙的产品质量比甲的质量好一些C两人的产品质量一样好两人的产品质量一样好D无法判断谁的质量好一些无法判断谁的质量好一些解析：解析：选选 BE(X甲甲)0041032023011，E(X乙乙)0031052023009E(X甲甲)E(

29、X乙乙)，乙的产品质量比甲的产品质量好乙的产品质量比甲的产品质量好一些一些4抛掷红抛掷红、蓝两颗骰子蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为若已知蓝骰子的点数为 3 或或 6 时时，则两颗骰子点数之和大则两颗骰子点数之和大于于8 的概率为的概率为()A13B12C536D512解析：解析：选选 D记事件记事件 A 为为“ 蓝骰子的点数为蓝骰子的点数为 3 或或 6”，A 发生时红骰子的点数可以发生时红骰子的点数可以为为1 到到 6 中任意一个中任意一个，n(A)12，记记 B：“两颗骰子点数之和大于两颗骰子点数之和大于 8”，则则 AB 包含包含(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6

30、)5 种情况，所以种情况，所以 P(B|A)n AB n A 5125已知随机变量已知随机变量 X 和和 Y，其中其中 Y12X7，且且 E(Y)34，若若 X 的分布列如下表的分布列如下表，则则 m的值为的值为()X1234P14mn112A13B14C16D18解析解析： 选选 A由由 Y12X7， 得得 E(Y)12E(X)734， 从而从而 E(X)94 E(X)1142m3n411294，即，即 2m3n53，mn11411223，解得，解得 m136甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为 06,05，现已知目，现已知

31、目标被击中，则它是被甲击中的概率是标被击中，则它是被甲击中的概率是()A045B06C065D075解析解析：选选 D令事件令事件 A，B 分别表示甲分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标乙两人各射击一次击中目标，由题意可知由题意可知 P(A)06，P(B)05，令事件令事件 C 表示目标被击中表示目标被击中，则则 CAB，则则 P(C)1P(A)P(B)1040508，所以，所以 P(A|C)P AC P C 0.60.80757袋中有袋中有 4 只红球只红球 3 只黑球只黑球，从袋中任取从袋中任取 4 只球只球，取到取到 1 只红球得只红球得 1 分分，取到取到 1 只黑只黑球得球得 3 分

32、，设得分为随机变量分，设得分为随机变量 X，则，则 P(X6)_解析：解析：P(X6)P(X4)P(X6)C44C34C13C471335答案：答案：13358某人参加驾照考试某人参加驾照考试，共考共考 6 个科目个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并并且概率都是且概率都是 p若此人未能通过的科目数若此人未能通过的科目数的均值是的均值是 2，则，则 p_解析解析：因为通过各科考试的概率为因为通过各科考试的概率为 p，所以不能通过考试的概率为所以不能通过考试的概率为 1p，易知易知B(6,1p)，所以，所以 E()6(1p)2，解得，解得 p23答案

33、：答案：239从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合，身体关节构造合格的概率为格的概率为14， 从中任挑一儿童从中任挑一儿童， 这两项至少有一项合格的概率是这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响合格与否相互之间没有影响)_解析：解析：设设“儿童体型合格儿童体型合格”为事件为事件 A，“身体关节构造合格身体关节构造合格”为事件为事件 B，则，则 P(A)15，P(B)14又又 A，B 相互独立相互独立，则则A，B也相互独立也相互独立，则则 P(AB

34、)P(A)P(B)453435，故至少有一项合格的概率为，故至少有一项合格的概率为 P1P(AB)25答案：答案：2510某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为 05，06,09，且三门课程考且三门课程考试是否及格相互之间没有影响试是否及格相

35、互之间没有影响(1)求该应聘者用方案一通过的概率；求该应聘者用方案一通过的概率；(2)求该应聘者用方案二通过的概率求该应聘者用方案二通过的概率解解：记记“应聘者对三门考试及格的事件应聘者对三门考试及格的事件”分别为分别为 A，B，CP(A)05，P(B)06，P(C)09(1)该应聘者用方案一通过的概率是该应聘者用方案一通过的概率是 P1P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)050601050609050409050609003027018027075(2)应聘者用方案二通过的概率应聘者用方案二通过的概率P213P(AB)13P(BC)13P(AC)13(050606090509)1

36、312904311为迎接为迎接 2022 年北京冬奥会年北京冬奥会，推广滑雪运动推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪该滑雪场的收费标准是场的收费标准是：滑雪时间不超过滑雪时间不超过 1 小时免费小时免费，超过超过 1 小时的部分每小时收费标准为小时的部分每小时收费标准为 40 元元(不足不足 1 小时的部分按小时的部分按 1 小时计算小时计算)有甲有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲设甲、乙不乙不超过超过 1 小时离开的概率分别为小时离开的概率分别为14，16；1 小时以上且不超过小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为小时

37、离开的概率分别为12，23；两人两人滑雪时间都不会超过滑雪时间都不会超过 3 小时小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求，求的分布列与数学期望的分布列与数学期望 E()解：解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为若两人所付费用相同，则相同的费用可能为 0 元，元，40 元，元，80 元，元，两人都付两人都付 0 元的概率为元的概率为 P11416124，两人都付两人都付 40 元的概率为元的概率为 P2122313，两人都付两人都付 80 元的概率为元的

38、概率为 P311412 11623 1416124，则两人所付费用相同的概率为则两人所付费用相同的概率为 PP1P2P312413124512(2)由题意得，由题意得，所有可能的取值为所有可能的取值为 0,40,80,120,160P(0)1416124，P(40)1423121614，P(80)141612231416512，P(120)1216142314，P(160)1416124，的分布列为的分布列为04080120160P1241451214124E()0124401480512120141601248012从某企业生产的某种产品中抽取从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这

39、些产品的一项质量指标值，由测件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：量结果得如下频率分布直方图：(1)求这求这 500 件产品质量指标值的样本平均数件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差和样本方差 s2(同一组中的数据用该区同一组中的数据用该区间的中点值作代表间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为由直方图可以认为，这种产品的质量指标值这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布服从正态分布 N(，2)，其中其中近似为近似为样本平均数样本平均数x，2近似为样本方差近似为样本方差 s2利用该正态分布，求利用该正态分布，求 P(1878Z2122)；某用户从该企业购买了某用

40、户从该企业购买了 100 件这种产品，记件这种产品，记 X 表示这表示这 100 件产品中质量指标值位于件产品中质量指标值位于区间区间(1878,2122)的产品件数利用的产品件数利用的结果，求的结果，求 EX附：附： 150122若若 ZN(，2)，则，则 P(Z)0682 6，P(2Z2)0954 4解析解析： (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差和样本方差 s2分别为分别为x1700 02180009190022200033210024220008230002200，s2(30)20 02(20)20 09(10)20 2200 331020 242020 08302002150(2)由由(1)知知，ZN(200,150)，从而从而 P(1878Z2122)P(200122Z20012 2)0682 6由由知知，一件产品的质量指标值位于区间一件产品的质量指标值位于区间(1878，2122)的概率为的概率为 0682 6，依题依题意知意知 XB(100,0682 6)，所以，所以 EX1000682 66826