山西省忻州一中等四校高三第四次联考理科数学试题及答案

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1、试题类型：A2015届高三年级第四次四校联考数学试题（理）命题：忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中 （满分150分，考试时间120分）第卷（选择题 60分）一、选择题(51260分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集集合，则A . B . C . D. 2. 复数为纯虚数，若(为虚数单位)，则实数的值为 A . B . 3 C . D. 3. 已知双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.1 B.2 C.3 D.45. 把函数的图象向左平移个单位

2、，得到函数的图象，若的图象关于对称，则A. B. C. D. 6. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，面,则三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D. 8. 已知，则有 A. B. C. D. 9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中 长度最长的是A. B. C. D. 10. 设椭圆的左右焦点分别为，点， 设直线与椭圆交于M、N两点，若=16，则椭圆的方程为A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，当时， ，设在上的最大值为,且的前 项和为，则=A. B

3、. C. D. 12. 设函数，若存在,使得成立（其中为自然对数的底数），则正实数的取值范围是A . B . C . D. 第卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 的展开式中的系数是 .14. 已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为 . 15. 已知M为线段BC上一点，且, 则的最大值为 .16. 在中，角的对边分别为， 则的最小值为 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.（本题满分12分） 已知等差数列的公差，；等比数列满足：， （1）求数

4、列和的通项公式； （2）设的前项和为，令，求.18.（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且分别是的中点（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值. 19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：日产量400500批发价810概 率0.40.6概 率0.50.5（1）设随机变量X表示生产这种零件的日利润，求X的分布列及期望； （2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (

5、注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线 ，过焦点且斜率为1的直线交抛物线C于两点，以线段为直径的圆在轴上截得的弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线C于F、G两点，交轴于点D，设试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. (本题满分12分)已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若对任意实数，当时，函数的最小值为，求实数a的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22. (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

6、如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点BC，的平分线分别交ABAC于点DE（1）证明：.（2）若AC=AP,求的值. 23. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线的参数方程为.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线的极坐标方程；（2）若为曲线C上的动点，求点P到直线的距离d的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知关于的不等式的解集是（1）求的值；（2）若均为正实数，且，求的最小值.2015届高三年级第四次四校联考数学试题答案（理）A卷一、选

7、择题 1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA二、填空题:13-20 149 15 1617解：（1）公差， 2分 4分 设等比数列的公比为 即 即 6分（2）由 得： 即 8分= 10分 = = 12分18.（1）连结，是等腰直角三角形斜边的中点，.又三棱柱为直三棱柱，面面，面，. 2分设，则.，. 4分又， 平面. 6分（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，.8分由（）知，平面，可取平面的法向量.设平面的法向量为，由可取. 10分设锐二面角的大小为，则.所求锐二面角的余弦值为. 12分19解：（1）50010-1000=4000,40010-100

8、0=5008-1000=3000，4008-1000=2200随机变量X可以取：4000,3000.，2200 1分 P(X=4000)=0.60.5=0.3 P(X=2200)=0.40.5=0.2 P(X=3000)=0.60.5+0.40.5=0.5 4分X400030002200P0.30.50.2 X的分布列为: EX=40000.3+30000.5+22000.2=3140 6分(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8 8分EY=3=2.4 DY=30.80.2=0.48 10分至少有2天利润不少于3000的概率为： 12分20. 解：（1）由已知:直

9、线的方程为，代入得： 设， 则 且线段的中点为， 3分由已知，解得或（舍去）所以抛物线的方程为： 6分（2） 设直线：y=kx+2(k0)，则，与联立得 由得,设则 8分所以 10分则将代入上式得即为定值 12分21.解：（1）由已知，则 1分所以当和时，单调递减；当时，单调递增； 2分所以当时，有极小值为，当时，有极大值为. 4分（2）由已知.当时， ，于是和时，单调递减；时，单调递增；又因为，要对任意实数，当时，函数的最小值为，只需要，即，解得，因为所以 7分当时，在上，恒有，且仅有，故在上单调递减.显然成立. 8分当时， ，于是和时，单调递减；时，单调递增；要对任意实数，当时，函数的最小

10、值为，只需要，即 10分令，所以在上单调递减，所以此时综上所述： 12分22解：(1) PA是切线，AB是弦， BAP=C， 2分又 APD=CPE, BAP+APD=C+CPE, ADE=BAP+APD, AED=C+CPE, ADE=AED 5分(2)由(1)知BAP=C, 又 APC=BPA, APCBPA, , 7分 AC=AP, APC=C=BAP,由三角形内角和定理可知，APC+C+CAP=180, BC是圆O的直径， BAC=90, APC+C+BAP=180-90=90, C=APC=BAP=90=30 在RtABC中，=, = 10分23解：(1)曲线C的直角坐标方程为 2分 直线的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为 5分(2)则所以最大值为，最小值为。 10分24解：（1）不等式可化为 1分所以，即 2分又因为原不等式解集为，所以，解得. 5分（2）由（1）可知（方法一：利用基本不等式）因为，所以 8分所以当且仅当时，的最小值是. 10分 （方法二：利用柯西不等式）因为，所以 10分（方法三：消元法求二次函数的最值）因为，所以，8分所以当且仅当时，的最小值是. 10分 16