高中数学人教A版浙江专版必修4：课时跟踪检测二十二 平面向量数量积的物理背景及其含义 含解析

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1、（人教版）精品数学教学资料 课时跟踪检测（二十二） 平面向量数量积的物理背景及其含义 层级一层级一 学业水平达标学业水平达标 1已知向量已知向量 a，b 满足满足|a|1，|b|4，且，且 a b2，则，则 a 与与 b 的夹角的夹角 为为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析：解析：选选 C 由题意，知由题意，知 a b|a|b|cos 4cos 2，又，又 0，所以，所以 3. 2已知已知|b|3，a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为32，则，则 a b 等于等于( ) A3 B.92 C2 D.12 解析：解析：选选 B 设设 a 与与 b 的夹角为的夹角为 .|a|cos

2、32， a b|a|b|cos 33292. 3已知已知|a|b|1，a 与与 b 的夹角是的夹角是 90，c2a3b，dka4b，c 与与 d 垂直，则垂直，则 k的值为的值为( ) A6 B6 C3 D3 解析：解析：选选 B c d0， (2a3b) (ka4b)0， 2ka28a b3ka b12b20， 2k12，k6. 4已知已知 a，b 满足满足|a|4，|b|3，夹角为，夹角为 60，则，则|ab|( ) A37 B13 C. 37 D. 13 解析解析：选选 C |ab| ab 2 a22a bb2 42243cos 60 32 37. 5在四边形在四边形 ABCD 中中，A

3、BDC，且且ACBD0，则四边形则四边形 ABCD 是是( ) A矩形矩形 B菱形菱形 C直角梯形直角梯形 D等腰梯形等腰梯形 解析：解析：选选 B ABDC，即一组对边，即一组对边BD平行且相等，平行且相等，ACBD0，即对角线互，即对角线互相垂直，相垂直，四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形 6给出以下命题：给出以下命题： 若若 a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量 b 都有都有 a b0； 若若 a b0，则，则 a 与与 b 中至少有一个为中至少有一个为 0； a 与与 b 是两个单位向量，则是两个单位向量，则 a2b2. 其中，正确命题的序号是其中，正确命题的序号是_ 解析：解析

4、：上述三个命题中只有上述三个命题中只有正确，因为正确，因为|a|b|1，所以，所以 a2|a|21，b2|b|21，故，故a2b2.当非零向量当非零向量 a，b 垂直时，有垂直时，有 a b0，显然，显然错误错误 答案：答案： 7设设 e1，e2是两个单位向量，是两个单位向量，它们的夹角为它们的夹角为 60， 则， 则(2e1e2) (3e12e2)_. 解析：解析：(2e1e2) (3e12e2)6e217e1 e22e2267cos 60292. 答案：答案：92 8若若|a|1，|b|2，cab，且，且 ca，则向量，则向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为_ 解析解析：ca，c a0，

5、(ab) a0，即，即 a2a b0. |a|1，|b|2，12cosa，b0， cosa，b12. 又又0a，b180，a，b120. 答案答案：120 9已知已知 e1与与 e2是两个夹角为是两个夹角为 60的单位向量，的单位向量，a2e1e2，b2e23e1，求，求 a 与与 b 的的夹角夹角 解：解：因为因为|e1|e2|1， 所以所以 e1 e211cos 6012， |a|2(2e1e2)2414e1 e27，故，故|a| 7， |b|2(2e23e1)24912e1 e27，故，故|b| 7， 且且 a b6e212e22e1 e2621272， 所以所以 cosa，ba b|a

6、| |b|727 712， 所以所以 a 与与 b 的夹角为的夹角为 120. 10已知已知|a|2|b|2，且向量，且向量 a 在向量在向量 b 方向上的投影为方向上的投影为1. (1)求求 a 与与 b 的夹角的夹角 ； (2)求求(a2b) b； (3)当当 为何值时，向量为何值时，向量 ab 与向量与向量 a3b 互相垂直？互相垂直？ 解：解：(1)|a|2|b|2， |a|2，|b|1. 又又 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为|a|cos 1， a b|a|b|cos 1. cos 12，23. (2)(a2b) ba b2b2123. (3)ab 与与 a3b 互相垂直，

7、互相垂直， (ab) (a3b)a23a bb a3b2 4313740，47. 层级二层级二 应试能力达标应试能力达标 1已知已知|a|2，|b|1，且，且 a 与与 b 的夹角为的夹角为3，则向量，则向量 ma4b 的模为的模为( ) A2 B2 3 C6 D12 解析：解析： 选选 B |m|2|a4b|2a28a b16b24821121612， 所以， 所以|m|2 3. 2在在 RtABC 中，中，C90，AC4，则，则ABAC等于等于( ) A16 B8 C8 D16 解析：解析：选选 D 法一：法一：因为因为 cos AACAB，故，故ABAC|AB| |AC|cos A|AC

8、|216，故选故选 D. 法二：法二：AB在在 AC上的投影为上的投影为|AB|cos A|AC|，故，故ABAC|AC|AB|cos A|AC|216，故选，故选 D. 3已知向量已知向量 a，b 满足满足|a|1，|b|2，且，且 a 在在 b 方向上的投影与方向上的投影与 b 在在 a 方向上的投影相方向上的投影相等，则等，则|ab|( ) A1 B. 3 C. 5 D3 解析：解析：选选 C 由于投影相等，故有由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b ，因为 ，因为|a|1，|b|2，所以所以 cosa，b0，即，即 ab，则，则|ab| |a|2|b|22a b 5.

9、4.如图，在边长为如图，在边长为 2 的菱形的菱形 ABCD 中，中，BAD60，E 为为 BC的中点，则的中点，则AEBD( ) A3 B0 C1 D1 解析：解析：选选 C AEBD AB 12AD (ADAB) 12ABAD|AB|212|AD|2 1222cos 602212221. 5设向量设向量 a，b，c 满足满足 abc0，(ab)c，ab，若，若|a|1，则，则|a|2|b|2|c|2的的值是值是_ 解析：法一：解析：法一：由由 abc0 得得 cab. 又又(ab) c0，(ab) (ab)0，即，即 a2b2. 则则 c2(ab)2a2b22a ba2b22， |a|2|

10、b|2|c|24. 法二：法二：如图，作如图，作ABBDa， BCb，则，则CAc. ab，ABBC， 又又abBDBCCD， (ab)c，CDCA， 所以所以ABC 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， |a|1，|b|1，|c| 2，|a|2|b|2|c|24. 答案：答案：4 6已知向量已知向量 a，b 的夹角为的夹角为 45，且，且|a|4， 12ab (2a3b)12，则，则|b|_；b 在在 a 方向上的投影等于方向上的投影等于_ 解析：解析： 12ab (2a3b)a212a b3b212，即，即 3|b|2 2|b|40，解得，解得|b| 2(舍舍负负)，b 在在 a 方向上的

11、投影是方向上的投影是|b|cos 45 2221. 答案：答案： 2 1 7已知非零向量已知非零向量 a，b，满足，满足|a|1，(ab) (ab)12，且，且 a b12. (1)求向量求向量 a，b 的夹角；的夹角；(2)求求|ab|. 解：解：(1)(ab) (ab)12， a2b212， 即即|a|2|b|212. 又又|a|1， |b|22. a b12， |a| |b|cos 12， cos 22， 向量向量 a，b 的夹角为的夹角为 45. (2)|ab|2(ab)2 |a|22|a|b|cos |b|212， |ab|22. 8设两个向量设两个向量 e1，e2，满足，满足|e1

12、|2，|e2|1，e1与与 e2的夹角为的夹角为3，若向量，若向量 2te17e2与与 e1te2的夹角为钝角，求实数的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围的取值范围 解：解：由向量由向量 2te17e2与与 e1te2的夹角为钝角的夹角为钝角， 得得 2te17e2 e1te2 |2te17e2| |e1te2|0.即即 (2te17e2) (e1te2)0，化简即得，化简即得 2t215t70，解得解得7t12. 当夹角为当夹角为 时时，也有也有(2te17e2) (e1te2)0， 但此时夹角不是钝角但此时夹角不是钝角， 设设 2te17e2(e1te2)，0，可得可得 2t，7t，0， 14，t142. 所求实数所求实数 t 的取值范围是的取值范围是 7，142 142，12.