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1、2019学年人教版高中数学选修精品资料章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面四个推理不是合情推理的是()A由圆的性质类比推出球的有关性质B由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，归纳出所有三角形的内角和都是180C某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不
2、能类比，不是合情推理【答案】C2下列几种推理是演绎推理的是()A在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式B某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D两条直线平行，同旁内角互补如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则AB【解析】A，B为归纳推理，C为类比推理【答案】D3下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2
3、的面积r2，猜出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”以上三段论推理()A完全正确B推理形式不正确C不正确，两个“自然数”概念不一致D不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确【答案】A5用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为()A(5k2k)45k2kB5(5k2k)32kC(52)(5k2k)D2(5k2k)35k【解析】5k12k1
4、5k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.【答案】B6已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立()Ak1Bk2C2k2D2(k2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，nk(k2且k为偶数)的下一个偶数为nk2，故选B.【答案】B7观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123D199【解析】利用归纳法，ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9
5、b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和【答案】C8分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设abc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)bc，且abc0，所以3cabc0，c0.要证明a，只需证明b2ac3a2，只需证明(ac)2ac0，只需证明2ac0(a0，c0)，只需证明ac(bc)0，即证明ab0，这显然成立，故选A.【答案】A9在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n0，则lg ；(2)22. 【导学号：60030068】【证明】(1)当a，b0时，有，lglg，lg lg
6、 ab.(2)要证22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin220cos250sin 20cos 50，sin215cos245sin 15cos 45.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明【解】猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin22sin sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.19(本小题满分12分)等差数
7、列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解】(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列20(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.(1
8、)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明【解】(1)因为PMBB1，PNBB1，又PMPNP，所以BB1平面PMN，所以BB1MN.又CC1BB1，所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .其中为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角证明如下：因为CC1平面PMN，所以上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，因为PM2PN2
9、MN22PNMNcosMNP，所以PM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于SBCC1B1PNCC1，SACC1A1MNCC1，SABB1A1PMBB1PMCC1，所以S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .21(本小题满分12分)(2014江苏高考)如图4，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：图4(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面
10、DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.22(本小题满分12分)在数列an中，a11，a2，且an1(n2)(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；(2)设bn， 求证：对任意的nN*，都有b1b2bn.【解】(1)容易求得：a3，a4.故可以猜想an，nN*.下面利用数学归纳法加以证明：显然当n1,2,3,4时，结论成立，假设当nk(k4，kN*)时，结论也成立，即ak.那么当nk1时，由题设与归纳假设可知：ak1.即当nk1时，结论也成立，综上，对任意nN*，an成立(2)bn()，所以b1b2bn(1)()()()(1)，所以只需要证明(1)13n13n2102(显然成立)，所以对任意的nN*，都有b1b2bn.
人教版 高中数学 选修22章末综合测评2
