冰山运输的可行性分析

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1、冰山运输的可行性分析摘要从经济角度研究在9600千米以外的南极拖运冰山到波斯湾，将其化成冰水取代淡化的海水作为国民用水的问题，我们通过对建模数据的分析，进行了合理的假设，用微积分的方法建立了冰山运输的数学模型，并通过数学软件Matlab计算，我们得出可以选择合适的船速和冰山初始体积，使获得每立方米水的费用最小。关键词: 冰山运输，数学模型，费用，融化速率 一、问题重述在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩翰的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水01英镑有些专家提出从相距9600 km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法这个模

2、型要从经济角度研究冰山运输的可行性. 为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花费的费用，根据建模的需要，我们收集到有关数据资料。1三种拖船的日租金和最大运量2燃料消耗(英镑千米)主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略3冰山运输过程中的融化速率(即米天)指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故建立模型的目的是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后,可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。二、问题分析因为冰山的运输主要和拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速

3、率有关，为了适当的简化模型，我们可以忽略其他的次要影响，得以下模型结构图：目的地水体积三、模型假设1拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响总航行距离9600km2冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算 3冰山到达目的地后，冰可融化成水四、定义与符号说明r ： 冰山球面融化速率（米/天）u ： 船速（km/h）d ： 拖船与南极的距离（km）t ： 拖船航行的天数R： 冰山初始半径（km）R： 第t天冰山半径(km)V： 冰山初始体积(m)V： 第t天冰山体积(m) ： 燃料消耗（英

4、镑/km）五、模型的建立要建立可行的冰山运输模型，首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后计算航行中的燃料消耗，由此算出到达目的地后的冰山体积和运费，在计算过程中根据收集到的数据拟合出经验公式，所以模型建立可分为以下几步。（1）冰山融化规律根据基本假设2把冰山看成球形，并且忽略接触点的融化问题，则他的各表面的融化速率相同，并且形状始终不变，由此来建立冰山融化的模型记冰山球面半径融化速率为米天，船速为kmh，拖船与南极距离为d=d(t)km根据表5中融化速率的数据，可设是船速u的线性函数，且当0d4000km时r与d成正比，故可设r=d(1+bu),而当d4000 km时r与d无关，可设

5、r=c(1+bu),又由假设船速u不变，所以有 r(t)= （1）其中,b,c为待定参数据表5数据可算得： （2）当拖船从南极出发航行第天时，与南极距离为d=24*u*t （3）将（2），（3）代入(1)式，得 （4）记初始球面半径为，初始体积为，第t天冰山球面半径为，体积为,则 （5） （6）由式（4）、（5）、（6）知，冰山体积是船速u,初始体积，和航行天数t的函数，记作V（u，t），则 （7）（2）燃料消耗费用由表4给出的燃料消耗(英镑千米，记作)的数据可以看出，对船速和冰山体积的对数1g均按线性关系变化，所以可设=c*(u+c)*(lgV+c) (8)其中为待定参数利用表4所给数据可以

6、确定c=0.3 , c=6 , c=-1 (9)由(7)(9)式，可将拖船航行第t天的燃料消耗总费用记作q(u,V,t)(英镑天)，且有q(u,V,t)= =7.2u*(u+6) （10）（3）运送冰山费用费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积决定，记日租金为，显然有又因为当船速为（km/h）时冰山抵达目的地所需天数为，所以租金费用为而整个航程的燃料消耗为，所以可得运送冰山的总费用为S(u,V)=+7.2u*(u+6) （12）（4）冰山运抵目的地后可获得水的体积将代人(7)式知，冰山运抵目的地后的体积为V(u,V,T)=) （13）由假设(3

7、)，则得到水的体积为W(u,V)=() （14）（5）每立方米水所需费用记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为y(u,V)，由(12)，(14)式显然有y(u,V)= (15)六、模型的求解 这个模型归结为选择船速u和冰山初始体积，使(15)式表示的费用最小，其中由(12)式给出，由 (14)式给出由于是分段函数，只能固定一系列值对u求解又因为由调查数据(表4，表5)得到的经验公式是非常粗糙的，对船速u的选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问题表6是通过Matlab对几组值的计算结果，如下V u 3 3.5 4 4.5 5 100.0764 0.07090.06840.06540.

8、0665 5*100.24430.21280.19720.18200.1817 1028.551112.29827.83775.38784.7280由上可知若选取最大的冰山初始体积 (当然要租用大型拖船)，船速kmh，每立方米水的费用约0.066英镑七、结果分析 得到的结果虽然小于海水淡化的费用(每立方米01英镑)，但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体积显著地小于模型中的并且没有计算空船费等其他费用专家们认为，只有当用这个模型计算出来的费用显著地小于海水淡化的费用时(譬如小一个数量级)，才有理由考虑采用冰山运输的办法获得淡水八、模型评价这个模型的思路是

9、简单的，建模方法有两点值得注意：一、是根据有限的数据(表4，表5)建立了经验公式(1)和(8)，为整个计算过程提供了基础。二、是假定冰山呈球形，简化了计算.读者可以考虑，如果假定冰山为其他规定的形状，将如何处理。参考文献：1姜启源.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，20032王文波.数学建模及其基础知识详解（第一版）M.武汉大学出版社，2006 附录functionY=fil(V0,u)T=floor(400/u);R0=(3*V0/4/pi)(1/3);fort=1:Tift=1000/6/ur(t)=0.0018*u*(1+u/3)*t;elser(t)=0.225*(1+u/3);endR(t)=R0-sum(r(1:t);V(t)=4*pi/3*R(t)*R(t)*R(t);q(t)=7.2*u*(u+6)*(log10(V(t)-1);endifV0=5*105S=400*4.0/u+sum(q);elseifV0=106S=400*6.2/u+sum(q);elseifV0=107S=400*8.0/u+sum(q);elseS=0;endW=0.85*V(T);Y=S/W;endclearclcformatlongu=3:0.5:5;v=107,5*106,106;fori=1:3forj=1:5Y(i,j)=fil(v(i),u(j);endendY9