基于展成法椭圆齿轮加工的数学模型

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1、精品论文推荐基于展成法椭圆齿轮加工的数学模型曹远国，欧翠夏，毕世书 河海大学机电工程学院，江苏常州(213022) E-mail:oucaoson摘要：在用数控机床加工椭圆齿轮的工艺中，一个能很好体现加工工艺的数学模型仍然是 控制椭圆齿轮加工难易程度和齿轮精度的重要关键所在。在加工领域，重点需要考虑的是机床的响应能力。在数学建模领域，重点考虑的是算法所产生的误差。这个由于领域不同而产 生的矛盾就是著名的“设计沟”问题。本文给出了一种基于数控机床，同时充分体现机床性能 和加工工艺的数学模型。它很好地解决了在使用不同机床或加工不同参数椭圆齿轮时，加工工艺参数需要频繁变换的要求。它的一个重要的价值就

2、是，使使用普通的三轴数控齿轮来加 工椭圆齿轮成为可能。对于普通的三轴数控齿轮机床而言，是能力上的一次挖掘。关键词：数控机床，椭圆齿轮，加工工艺参数，数学模型1.引言椭圆齿轮是非圆齿轮中最典型、最常见的一种齿轮形式，也是较难加工的一种齿轮。当 一对椭圆齿轮在啮合传动时，其传动比函数曲线具有周期性1。即，相对于匀速输入，能够 实现可预定的非匀速输出。基于椭圆齿轮的这一特性，椭圆齿轮在制造、国防等领域都发挥 着巨大的作用。展成法是目前齿轮加工中，最常用的一种方法。随着 CNC（Computer Numerical Control） 技术的日趋成熟以及运动控制的深度发展，国外用数控齿轮加工机床结合展成

3、法来加工椭圆 齿轮的技术也日臻完善，但国内在这方面仍然还是空白2。建立准确，与机床性能完美匹配 的椭圆齿轮加工的数学模型仍然是控制椭圆齿轮加工难易程度和齿轮精度的重要关键所在。 鉴于椭圆齿轮加工的特殊性，本文以数控插齿机为加工设备，以展成法3为具体加工方法， 建立以加工出椭圆齿轮为目的的数学模型。2.数学模型2.1 加工所使用的设备介绍三轴数控插齿机，X 轴：径向进给，B 轴：刀具旋转，C 轴：工作台旋转。2.2 数学模型2.2.1 基于展成法椭圆齿轮加工的数学模型 插齿刀的瞬心曲线与齿胚的瞬心曲线在相切时保持纯滚动。这里关键是两个物理量的控制，即，插齿刀与齿胚中心距的控制，这里由机床的 X

4、轴控制；插齿刀与齿胚在任意相切点处作纯滚动，这等效于插齿刀与齿胚的任意两个相切点在瞬心曲线上扫过的弧长相等，这 里由机床的 B 轴和 C 轴控制。2.2.2 直角坐标系下的运动方程以椭圆的几何中心为坐标原点，以椭圆的长轴方向为 x 轴的正方向，建立直角坐标系。 如图 1 所示。- 1 -1- 2 -2椭圆的普通方程：图 1 加工示意图2xy 2+= 1a 2b 2(1)其中： a 齿胚瞬心椭圆曲线方程的长半轴b 齿胚瞬心椭圆曲线方程的短半轴 椭圆的参数方程：x = a cos(t )y = b sin(t)(2)其中： t 椭圆上点 ( x, y) 在同一象限内，分别在以长轴，短轴为半径的圆上

5、的两投影 点的连线与 x 轴正方向的夹角2.2.3 插齿刀与齿胚中心距的控制x = a sin(t)ty = b cos(t )t(3)椭圆上任意一点（x,y）的切线与 x 轴的交角的正切值是：tg ( ) = dy dxy= t x所以可得： = arcctg ( b ctg (t)a = arcctg ( b ctg (t ) + tg ( ) =b cos(t ) a sin(t )t= b ctg (t)a(4) (5)a2其中： 椭圆上过点 (xt , yt )的切线与 x 轴的交角 椭圆上过点 (xt , yt )的法线与 x 轴的交角- 3 -3插齿刀几何中心点在其过切点的法线上

6、xt = sign( x)(abs( x) + abs(rT cos()yt = sign( y)(abs( y) + abs(rT sin( )将(2)式代入,有：xt = asign(cos(t )(abs(a cos(t) + abs(rT cos( )yt = bsign(sin(t )(abs(b sin(t ) + abs(rT sin( )其中： sign() 取符号运算abs() 绝对值运算rT 插齿刀瞬心圆曲线半径(xt , yt )插齿刀几何中心点坐标(6)(7)需要补充说明的是，如果把 rT 理解成齿顶圆半径，则，这里就得出了一种椭圆齿胚的加 工参数。2.2.4 椭圆上任

7、意两点间弧长的计算椭圆上，点 (a cos(t s ), b sin(t s ) 到点 (a cos(te ), b sin(te ) 的弧长 l 有：tel = tsa 2 sin 2 (t ) + b 2 cos 2 (t)dt(8)其中： t s 起点 (a cos(t s ), b sin(t s ) 的 t 值te 终点 (a cos(te ), b sin(te ) 的 t 值令： zn =0a 2 sin 2 (t ) + b 2 cos 2 (t ) ，将其在 cos(2t) =0 处用泰勒(Taylor)公式展开：2nz =a+ b 2n2(1 + 0.5(0.5 1) (0

8、.5 i + 1) * ( b a 2) i cos i (2t) + R(t)2ii!a 2 + b 2n其中： Rn (t) 泰勒中值定理中的余项i 1,2,3, 令： sn2= 1 + 0.5(0.5 1) (0.5 i + 1) * ( b a 2) i cos i (2t) + R(t) ,i 1,2,3, nce =ii!a 2 + b 22a 2 + b 2n除了首项 a0 = 1 外，其余项的通项式是：n2ia = 0.5(0.5 1) (0.5 i + 1) * ( b a 2) i cosi (2t)i 1,2,3, ii!（9） 所以有：tena 2 + b 2 l =

9、ce (d (2t) + 0.5(0.5 1) (0.5 i + 1) ( b a)i cos i (2t)d (2t) （10）2tsi2i!a 2 + b 2tste1(i 1)其中： cos i (2t )d (2t ) =cos (i 1) ( x) sin( x) + tecos (i 2) (2t )d (2t )tsiits（11）这个积分可以由递归的算法求出。需要说明的是由于递归算法中的输入参数i 的步长是 2， 所以已知项必须是两项，且满足条件：i1 2 j + 1 j = 0,1,2, i2 2 j j = 0,1,2, 其中： i1 ， i2 分别是两项已知项的i 值。这

10、里可以令 i1 = 0 ，则可以直接用 an 的首项 a0 = 1 ，则：- 4 -4tete a0 d (2t) = 1d (2t ) = 2(te t s )tsts（12）i2 = 1 时，则：22teteb a1tsa1d (2t) =ts0.5(a 2 + a 2) * cos (2t)d (2t)= 0.5(b 2 a 2a 2 + a 2te) sin(2t ) =ts0.5(b 2 a 2)a 2 + a 2( sin(2te ) -sin(2t s ) )（13）这里需要说明的是， n 取何值时， l 是在精度要求范围内的，这取决于椭圆弧上曲率 半径的分布情况。曲率半径越小，

11、则 n 越大。t s ，te 的值可任意取。te = t s + step ，step 就 是加工步长。简单情况下可以是一个常数。如果赋予了很复杂的工艺成分，也可以是一个函数。在计算一个加工周期时，t 的取值范围是（0，2 ），而不是 4 (0, ) 。如果将 4 个（0，2）联立成一个加工周期，则存在一个隐含的加工误差扩大的错误。因为结合设备的响应2性能，t j2j = 0,1,2, 时，可能是加工误差最大的时候，因为此时曲率半径最小或最大。取值范围是（0，2 ）就为工艺人员设置加工参数留下了更大的空间。3.结论一个工程项目通常是多个影响因素决定的。在加工内齿时还应考虑插齿刀的曲率半径应 不

12、大于椭圆上所有点中最小的曲率半径。在实际的工程制造中，通常是先设计出齿轮。给定 齿轮模数 m ，齿数 z 和偏心率 e 。这样瞬心椭圆曲线周长 p = * m * z ，然后反算出椭圆 的长，短轴。如果设计的是一对椭圆齿轮啮合。通常齿轮齿数 z 取奇数。本文给出了保持插 齿刀的瞬心圆曲线与齿胚的瞬心椭圆曲线在相切时保持纯滚动时的数学模型(7)，(10)式。当 具体使用某一软件工具将其转变成可用的应用产品时，还应考虑计算机的舍入误差。在椭圆 的偏心率特别大时，这种误差是不可忽略的。此外一些原始的输入参数，如两相邻点的步长 的选取。从数学模型的角度而言，越小越好，但小到一定程度，就有可能超过加工设

13、备的响应能力，造成误差的积聚扩大，影响加工精度。这就需要运动控制技术的同步发展。同时依 据设备的性能选取与设备匹配的加工参数。参考文献1 吴序堂，王贵海编著M。非圆齿轮及非匀速比传动，北京：机械工业出版社，1997.82 李福生，尹种芳等编著M。非圆齿轮与特种齿轮传动设计，北京：机械工业出版社,1983.103 齿轮手册S，北京： 机械工业出版社,2001Mathematical Mode of Manufacture for A Gear WhoseCentrode is an ellipseCao Guoyuan，Ou Cuixia，Bi ShishuHohai University,Ch

14、angzhou,Jiangsu(213022)AbstractIn the study of manufacture for a gear whose centrode is an ellipse, one of the first and important problems is always, what mathematical mode which describes the trajectory of cutter according tothe position of the part is capable of being performed. Different fields

15、dig and delve a gap called“design gap”, which separates manufacturing processes from mathematical modes. This paper presented a novel mathematical mode which can be performed by a computer freely, and which depicts progress of the calculation of two physical characters, which are distance between cu

16、tter and part, and length of arc that is on the centrode. The notion of design gap is discussed which exists between the complex mathematical mode and the program designed by technologists, which plays a living role when the eccentricity of the ellipse is large enough. One of the greatest values of this paper is to make it possible that a gear whose centrode is an ellipse can be made by a common CNC machine tool only for gear.Keywords: ellipse，mathematical mode，manufacture- 5 -5