伊辛模型及其提出的背景

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1、淮阴师范学院毕业论文（设计）摘 要：本文首先介绍了什么是伊辛模型及其提出的背景，接着介绍了布喇格威廉斯近似方法，它是一种典型的平均场理论。虽然其存在缺陷，但可以说明伊辛模型相变的主要特征。然后又简单介绍了用来讨论临界点性质的临界指数，最后通过对伊辛模型求严格解，得出了一维伊辛模型的局限性。关键词：伊辛模型 平均场 配分函数 相变Abstract: This article first introduced any is the background which the Ising model and proposed, then it introduced the Bragg - Willia

2、ms approximate method, it is one kind of typical average field theory. Although its existence flaw, may explain the Ising model changes main characteristic. Then it simple introduced the critical exponent , which used for to discuss the critical point nature, finally we got the result of the Ising m

3、odels limitations from the Ising models strict solution.Keywords: Ising model ； average field ； partition function ； phase transformation.目 录0引言41伊辛模型411 铁磁体的伊辛模型 412 其它模型的对照 52布喇格威廉斯近似62 布喇格威廉斯假设62 配分函数72 相变7临界指数 9 临界点的性质 10伊辛模型的严格解 10 一维伊辛模型的局限性 11结束语 13 参考文献 14致谢 150 引言从20世纪30年代中叶开始,“从单一的配分函数表达式能

4、否同时描述各项和相的转变”这一问题成为争论对象之一。该问题的解决方法之一是建立包含系统最本质特征的简化模型，严格地导出其在相变点的宏观特性。物理学家经过半个多世纪以来对统计模型的大量研究，已形成统计物理学的一个专门研究领域，其中一个最简单的模型伊辛模型。然而，经过研究和讨论，该模型并非十分完美，仍存在一定的局限性。1 伊辛模型 伊辛在1925年提出一个描述铁磁体的简单模型。模型虽然简单，但是用它讨论铁磁体的相变十分方便。同时，只需对相应的记号稍加改变，这一模型还可以描述二元合金模型、晶体内吸附气体分子的格气模型等以有序无序相变为特征的系统。11 铁磁体的伊辛模型 铁磁体视为个格点组成的维晶格（

5、=1，2，3），每个格点上均有一自旋粒子。粒子的自旋计为（=1，2，,），它只取+1或-1两值，或速俗称自旋向上与自旋向下两个取向。格点上自旋的取值构成分布，每个分布描述铁磁体的一个构形。只考虑最近邻自旋的相互作用，起作用能的取值原则是：当两个相邻自旋相互平行（沿相同取向）时取-，反平行（平行但取向相反）时为+；0对应铁磁性，0为反铁磁性。同时，自旋与外磁场还有相互作用。将自旋磁矩计为B，在外磁场为B，分布为Si时系统的能量则可写为 =- （11）式中求和符号的表示：求和时和中只取一项，而且只取最近邻项，这种规则有时写为.下标I表示给出的是伊辛模型的能量。如果每格点的最近邻格点数为，求和项的总

6、数则为/2。假设：自旋向上总粒子数；：自旋向下总粒子数；：（+）型近邻（即相邻两自旋均向上）总对数；：（-）型近邻（即相邻两自旋均向下）总对数；：（+-）（包括-+）型近邻（即相邻两自旋反向）总对数。根据其内在联系以及（11）式可得到以、为变量表达式 （12）配分函数则为()= （1-3）（1-3）式给出了伊辛模型的配分函数。但是，要利用这个配分函数来研究相变还需进一步给出N+和 N+的值。这归根到底是一个求解伊辛模型的问题。12 其它模型的对照二元合金和晶格气体可用类似于伊辛模型的方法来描述。事实上，只要将上面伊辛模型中的，等的意义加以调整，既可描述二元合金和格气。121 二元合金二元合金的

7、相变是研究最早的有序无序相变。当温度升至（某个临界温度）时，每种原子占“对”位置的几率将为1/2（“错”的几率同时增大到1/2）。那就是说，从开始，包括温度继续上升而超过这个临界温度，两种原子将“无序”的混合。我们说在点发生了从有序到无序的转变，或曰相变。通常又将这一相变点称为居里点。考虑某合金含有两种原子和，我们可将它们类比于自旋向上和向下两种情形。假定原子共占据个格点，每格点近邻数为，近邻型（即原子与原子相邻）的对数为，型对数为，型对数为；再以，表示各种近邻的相互作用能。这样，合金系的总能量可写成（略去原子动能） （1-4）总能量则只是与的函数 （1-5）以上描述的模型与伊辛模型十分相似。

8、事实上，只需将伊辛模型的+、-换为A、B，它就可描述二元合金。122 格气有些晶体的内部或表面可以吸附气体分子，因为被吸附的气体分子占据晶体的格座，所以将形成的体系称为格气。以代表原子，以代表空格点，记格座数为，原子数为，空格点数为，每格点近邻数为，近邻均为原子（型）的近邻对的总对数为，近邻的对数为，近邻是的对数为。因为只有近邻原子之间才有相互作用，所以与对总能量没有贡献。略去原子动能，体系总能量可写为 （1-6）以为各原子吸附能相同，它们对总能量只贡献一个常数，所以这里没有记入。 用上述能量表达式立即可以写出配分函数为= （1-7）式中求和符号中表示对所有被吸附原子的分布方式求和。在计算中还

9、要注意到，原子因为其定域性是可以分辨的。 巨配分函数为 = （1-8）上述两种模型与伊辛模型在统计力学的角度是一样的，其区别在于格点状态的记号不同，互作用能大小各异。以下我们将集中讨论对伊辛模型的求解，并以之为代表研究这类体系的相变问题。2布喇格威廉斯近似运用平均场方法可以简单地得出伊辛模型的相变结果。布喇格(Bragg)威廉斯(Williams)近似方法就是一种典型的平均场理论。这种近似虽然很粗糙，但可以说明相变的主要特征。 布喇格威廉斯假设布喇格和威廉斯提出一个假设，近似地取 （2-1）这一假设的基本思路是：自旋对的总数为1/2，单粒子取正自旋的几率应是，两粒子同时取正的几率便应为，用它代

10、表（+）粒子对在总对数中所占的比例，便可得上述关系。显然，这是一个平均的考虑。再定义长程序参数，它由下式给出 （1+）,或 = （1-）. (-11) （2-2）不难由下式看出的物理意义： = 若以元胞体积作为体积单位，即，磁化强度则为 （2-3）于是，求磁化强度的问题归结为求的平均值的问题。下面将用配分函数计算这一平值。2 2配分函数采用布喇格威廉斯假设，根据L的定义，(5.1.3)可写为= - + - = （2-4）配分函数则为= = （2-5） 对于宏观体系，有，所以求和中可以只保留最大的一项。我们将这一项记为，并用最大项代替配分函数则有 (+) + = (+) - - （2-6）对上式

11、给出的求极值就可以确定配分函数中的最大项。相应的序参数极值应满足如下方程= 0由此得 = +，所以 = （2-7）这个公式给出了序参量的平均值，名为布喇格威廉斯公式。23相变以0,即铁磁性物质为例,考虑情形的相变.这时布喇格威廉斯公式成为 = = （2-8）式中引入的温度满足条件 = （2-9） 1 1 0 图2-1 图解法定综上，方程的解归纳为 = （2-10）由上述解可以看出：时，=0，物体系无磁化；时，在取0时有相同的极小值。这时不加外场仍有磁化，古故称自发磁化。这说明，铁磁系只有在时才出现铁磁性，温度是发生铁磁相变的临界温度。对一般须用数值求解，在极限情况下可以得到近似的解析结果： （

12、2-11） 1 0 1 图2-2 随温度之变化 图2-2给出作为温度的函数曲线，这里我们看到，在相变点，描述相变特征的量和/N都是连续变化的，这是连续相变的共同特征。 严格解 3/2 0 1 图2-3比热随温度的曲线由（2-11）的结果作出比热随温度变化之曲线如图2-3。由图可见，在，比热发生了突变。这反映作为相变点的特征。为比较，图中同时绘出严格解的定性曲线。布喇格威廉斯近似是一种十分简单的近似方法。它成功地获得了相变的结果，但有严重缺欠。例如，由这一理论得到的：“相变与空间维数无关”的结论是不正确的。严格求解可以证明，证明，一维伊辛模型没有相变。3临界指数上节用布喇格威廉斯的平均场近似方法

13、得到了伊辛模型临界点附近的序参量L学函数，给出了相变的一些特征。在临界点T=附近，物体系性质比较特殊，很突出的一个特点是涨落非常大。与次相关的一些物理现象，例如临界乳光现象，早已为实验发现。因此，研究临界点附近重要物理量对外参数变化的响应特征是十分重要的。这些特性常用临界指数来描写。现在，我们用上节的方法讨论伊辛临界点附近的性质，并进一步给出临界指数的概念。 临界点的性质临界磁化强度 （3-1） 临界比热 = （3-2）这里 = = 0313临界磁化率现在考虑磁场的影响。在=0出磁化率由下式给出 = （3-3）由（2-7）及的定义可得 + = tan （3-4）将右端展开为 + = + + +

14、 （3-5）对B求导数并注意的定义可得 = （1 - + + + ） （3-6）伊辛模型的严格解布喇格威廉斯近似虽然简单而且给出了相变，但是过于粗糙，至少在两个方面有两个不足：首先，它给出的相变与维数无关。这一点在定性上就是不正确。本节将证明，一维伊辛模型没有相变。其次，它给出的临界指数与实验值偏离较大。对一些热力学量的计算结果在定性上也有偏差。例如，它虽然给出了比热作为温度的函数在临界点不连续，但具体特征不对，没有给出比热。后来，贝特（Bethe）派尔斯改进了他们的近似，得到了好得出的结果。他们得出的临界温度低于布喇格威廉斯结果，更接近精确解的值，同时给出了接近型的比热。但是，种方法仍然是比

15、较粗略的。对于伊辛模型的严格求解，物理学家进行了长期的努力，但至今还只解决了一维和二维的问题。对高维数（包括三维）的体系仍然只能获得近似结果。 一维伊辛模型的局限性我们用周期边界条件来研究一维伊辛。假定N个自旋组成一维链，其第N个自旋与第一个相接，形成环形链，如图4-1所示。在热力学极限下，边界条件的选择不会影响计算结果，因此用上述特边界条件得到的结果具有普遍性。用开始的描述方法，构型组态相应的能量为 = B （4-1）其周期性边界条件为= （4-2）配分函数则可写为= （4-3） i=1 i=N i=2 i=N-1 i=3 i=N-2 图4-1 一维周期链利用周期性边界条件则有= （4-4）

16、 处理得 （4-5）将的两个本征值写为，由本征值方程不难解出 （4-6）配分函数则可写成 其对数 （4-7） 磁化强度则为 （4-8） 显然，时，无论温度如何，磁化强度总是零，即 （4-9）这就是说，没有出现顺磁铁磁相变。 这里得到的严格解证明：一维伊辛模型没有相变，而平均场理论给出的结论是相变与维数无关，显然是不正确的。结束语通过对伊辛模型的研究，一方面体会到该模型的简单和解决相关问题时的方便；另一方面则发现其存在的局限性。参考文献：1 梁希侠高等统计物理导论M呼和浩特：内蒙古大学出版社，2000.3:132-151.2 汪志诚.热力学.统计物理M.第三版.北京:高等教育出版社,2004.5:380-384.3 北京大学编写组.量子统计物理学M.北京:北京大学出版社,1987:第六章.4 于渌,郝柏林.相变和临界现象M.北京:科学出版社,1984.5 巴扎洛夫.热力学M.第三版.苏联:苏联高等教育出版社,1983:252-278.致 谢: 在论文撰写期间得到了物电学院王之国老师的大力支持和帮助，特在此表示衷心的感谢!14