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1、专题15 基本不等式 一、基础过关题1.（2018高考天津卷）已知a，且，则的最小值为_【答案】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值考查计算能力2已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是( )Aab2 B.2C|2 Da2b22ab【答案】 C【解析】 因为和同号，所以|2.3下列不等式一定成立的是( )Alg(x2)lg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【答案】 C【解析】 当x0时，x22xx，所以lg(x2)lg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需
2、保证“一正”“二定“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确4当x0时，函数f(x)有( )A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2【答案】 B【解析】 f(x)1，当且仅当x1时取等号5已知a0，b0，ab2，则y的最小值是( )A. B4 C. D5【答案】 C 6(2016平顶山至阳中学期中)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于( )A1 B1C3 D4【答案】 C【解析】 当x2时，x20，f (x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x
3、3，即a3，故选C.7已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为( )A. B2 C. D2【答案】 D 8(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则的取值范围是_【答案】 (0，)【解析】 xya0与圆(xb)2(y1)22相切，d，ab12，即ab1，(b1)4240.又a，b为正实数，的取值范围是(0，)9设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_【答案】 4【解析】 由题意知3a3b3，即3ab3，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立10（2018高考江苏卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b
4、，c，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为_【答案】9根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值【答案】(1)最大值为1；(2) 的最小值为.【解析】(1)x0，y0，由基本不等式，得2 x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由
5、解得10的最小值为.12经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN *)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值【答案】(1) W(t)；(2) 所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元 二、能力提高题1.(2016吉林九校第二次联考)若正数a，b满足1，则的最小值是( )A1 B6 C9 D16【答案】 B【解析】 正数a，
6、b满足1，b0，解得a1.同理可得b1，所以9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，所以最小值为6.故选B.2(2016唐山一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_【答案】 4,12 3.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为_【答案】 8【解析】 yloga(x3)1恒过定点A(2，1)，由A在直线mxny10上则2mn10，即2mn1.4248(当且仅当，即m，n时等号成立)4.如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，
7、单位长度为1 km，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】(1) 最大射程为10 km；(2) a不超过6 km时，可击中目标 (2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根(20a)24a2(a264)00a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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