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1、 一、选择题(每小题5分,共60分)1.(20xx济南模拟)函数y=ln(2-x-x2)的定义域是(C)(A)(-1,2)(B)(-,-2)(1,+)(C)(-2,1)(D)-2,1)解析:由题意得2-x-x20,即x2+x-20,解得-2x1.故选C.2.(20xx年高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(D)(A)y=x+1(B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.故选D.3.已知f(x)=,则f(f(1)等于(D)(A)0(B)1(C)2(D)
2、3解析:因为f(x)=所以f(1)=0,f(f(1)=3.故选D.4.(20xx西安一模)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(ln x)-ln x的零点个数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:依题意得f(x)=sgn(ln x)-ln x=令f(x)=0得x=e,1,所以函数有3个零点,故选C.5.(20xx吉林模拟)当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则实数a的取值范围为(C)(A)(2,3(B)4,+)(C)(1,2(D)2,4)解析:令y1=(x-1)2,y2=logax,x(1,2)时,y1(0,1),要使(x-1)2logax恒成立,则10且
3、4-+2a1,解得4a0),若对任意两个不等的正实数x1、x2都有2恒成立,则a的取值范围是(A)(A)1,+)(B)(1,+)(C)(0,1) (D)(0,1解析:由于=k2恒成立,所以f(x)2恒成立.又f(x)=+x,故+x2,又x0,所以a-x2+2x,而g(x)=-x2+2x在(0,+)上的最大值为1,所以a1.故选A.12.(20xx年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(D)(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x
4、)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由图象可知,当x0,1-x0,所以f(x)0,当-2x1时,y0,所以f(x)0,当1x0,1-x0,所以f(x)2时,y0,1-x0.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)13.(20xx浙江嘉兴模拟)若f(x)=则f(f(-2)=.解析:f(-2)=|-2-1|=3,f(3)=log33=1,即f(f(-2)=1.答案:114.设函数f(x)的图象关于y轴对称,又已知f(x)在(0,+)上为减函数,且f(1)=0,则不等式0的解集为.解析:因
5、为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以该函数是偶函数,又f(1)=0,所以f(-1)=0,又已知f(x)在(0,+)上为减函数,所以f(x)在(-,0)上为增函数,0可化为xf(x)0时,解集为x|x1,当x0时,解集为x|-1x0.综上可知,不等式的解集为(-1,0)(1,+).答案:(-1,0)(1,+)15.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:P,Q都在函数f(x)的图象上;P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有个.解析:设x0,则问题转化为关于x的方程(2
6、x2+4x+1)+=0,即ex=-x2-2x-有几个负数解问题.记y1=ex,y2=-(x+1)2+,当x=-1时,所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图),且横坐标均为负数,故所求“友好点对”共有2个.答案:216.(20xx山东日照模拟)已知函数f(x)=,g(x)=lox,记函数h(x)=则不等式h(x)的解集为.解析:记f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为x=x0,而f=0=lo1,x0,得h(x)的图象如图所示,而h=f=,不等式h(x)的解集为.答案:三、解答题(共74分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(x0,常数aR).(1)当a=2时,解不等式f(
7、x)-f(x-1)2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+,f(x-1)=(x-1)2+,由x2+-(x-1)2-2x-1,得-0,x(x-1)0,0x1,所以原不等式的解集为x|0x0,则xln 2,令f(x)0,则0xln 2,f(x)在(-,0,ln 2,+)上单调递增,在(0,ln 2)上单调递减.(2)f(x)=+-a,令ex=t,由于x-1,1,t.令h(t)=+,h(t)=-=,当t时h(t)0,函数h(t)为单调增函数,h(t)e+.函数f(x)在-1,1上为单调函数,若函数在-1,1上单调递增,则a+对t,e恒成立,所以a;
8、若函数f(x)在-1,1上单调递减,则a+对t恒成立,所以ae+,综上可得a或ae+.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=+2=+2,因为|x|0,所以01,即20时满足2x-2=0,整理得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,故2x=1,因为2x0,所以2x=1+,即x=log2(1+).20.(本小题满分12分)(20xx宁化模拟)据预测,某旅游景区游客人数在500至1300人之间,游客人数x(人)与游客的消费总额y(元)之间近似满足关系y=-x2+240
9、0x-1000000.(1)若该景区游客消费总额不低于400000元时,求景区游客人数的范围;(2)当景区游客的人数为多少人时,游客的人均消费额最高?并求出游客的人均最高消费额.解:(1)由题意,得-x2+2400x-1000000400000,x2-2400x+14000000,得1000x1400,又500x1300,所以景区游客人数的范围是1000至1300人.(2)设游客的人均消费额为,则=-(x+)+2400400,当且仅当x=1000时等号成立.即当景区游客的人数为1000人时,游客的人均消费额最高,最高消费额为400元.21.(本小题满分12分)(20xx宜宾市高三考试)设f(x
10、)=aex+b(a0).(1)求f(x)在0,+)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值.解:(1)设t=ex(t1),则y=at+by=a-=.当a1时,y0y=at+b在t1上是增函数,得当t=1(x=0)时,f(x)的最小值为a+b.当0a1,且x2时,恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题易知函数f(x)的定义域为(1,+).f(x)=-=.设g(x)=x2-2ax+2a,=4a2-8a=4a(a-2).当0,即0a2时,g(x)0,所以f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数.当a1时,g(x)g(1) 0,所以f(x)0,f(
11、x)在(1,+)上是增函数.当a2时,设x1,x2(x11,x2=a+.当1xx2时,f(x)0,f(x)在(1,x1),(x2,+)上是增函数.当x1xx2时,f(x)2时,f(x)的单调递增区间为(1,a-),(a+,+),单调递减区间为(a-,a+).(2)可化为0,即f(x)-a0.(*)令h(x)=f(x)-a,由(1)知,当a2时,f(x)在(1,+)上是增函数,所以h(x)在(1,+)上是增函数.因为当1x2时,h(x)2时,h(x)h(2)=0,(*)式成立,所以,当a2时,(*)式成立.当a2时,因为f(x)在(x1,2)上是减函数,所以h(x)在(x1,2)上是减函数,所以当x1xh(2)=0,(*)式不成立.综上,a的取值范围为(-,2.
高三数学 一轮复习：函数、导数及其应用含解析
