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1、最新版教学资料数学第六节空间图形的垂直关系1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识梳理来源:数理化网一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直三、直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面2直线与平面垂直的判定类别语言表述 应用 判定来源:(定义)如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，
2、那么这条直线和这个平面垂直来源:证直线和平面垂直 (定理)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面证直线和平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 证直线和平面垂直 3.直线与平面垂直的性质.类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直 ab证两条直线垂直如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab证两条直线平行四、二面角1定义：从一条直线AB出发的两个半平面(和)所组成的图形叫做二面角记作二面角AB，AB叫做二面角的棱，两个半平面(和)叫做二面角的面2二面角的
3、平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面，内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把MON叫做二面角AB的平面角，用它来度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做直二面角五、两个平面垂直的判定和性质1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图示字母表示应用判定根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角AOB是二面角a的平面角，且AOB90°，则证两个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直aa 性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角，AOB是二面角a的平面角，
4、则AOB90°证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面laal a证直线和平面垂直基础自测1已知直线m，n和平面，若，m，n，要使n，则应增加的条件是()AmnBnmCn Dn解析：已知直线m，n和平面，若，m，n，根据面面垂直的性质定理，应增加条件nm，才能使得n.答案：B2(2013·珠海二模)设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A若l，则l B若l，则lC若l，则lD若l，则l解析：A选项中，还可能l；B选项中，也可能l；D中，也可能l.故选C.答案：C3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，
5、且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：底面四边相等，BDAC.PA平面ABCD，BDPA.PAACA，BD平面PAC.BDPC.故当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD，从而有平面PCD平面MBD.4设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的是_若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，mn，l，则n；若lm，m，n，则ln.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题不正确；根据平行线的传递性，ln，故当l
6、时，一定有n，命题正确；m，n，则mn，又lm，即ln，命题正确答案：1(2013·新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：显然与相交，不然由mn，与m，n为异面矛盾，排除选项A；当与相交时，设交线为l，由m平面，n平面知，lm，ln，而lm，ln，于是易知ll.故选D.答案：D2(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥AB
7、CF，其中BC.(1)证明：DE/平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.(1)证明：在等边三角形ABC中，ADAE.，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBC，DE平面BCF, BC平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，BFCF. 在三棱锥ABCF中，BC，BC2BF2CF2，CFBF， BFCFF，CF平面ABF.(3)解析：由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG. VFDEGVEDFG×·DG·FG·GE××&#
8、215;×.1(2013·惠州一模)已知集合A、B、C，A直线，B平面，CAB.若aA，bB，cC，给出下列四个命题：ac，ac，ac，ac.其中所有正确命题的序号是_解析：对于，当c表示平面时，根据ab且cb，不一定有ac成立，可能ac，故不正确；对于，以正方体过同一个顶点的三条棱为a，b，c，可得ab，cb，但是a，c是相交直线，故不正确；对于，当c表示平面时，由ab且cb不能推出ac成立，故不正确；对于，用与相同的方法，可证出ac成立，故正确综上，正确命题的序号为.答案：2(2013·惠州二模)正方体ABCDA1B1C1D1，AA12，E为棱CC1的中点(1
9、) 求证：B1D1AE；(2) 求证：AC平面B1DE；(3) 求三棱锥ABDE的体积(1)证明：连接BD，则BDB1D1，ABCD是正方形，ACBD.CE面ABCD，CEBD.又ACCEC，BD面ACE.AE平面ACE，BDAE，B1D1AE.(2)证明：连接AF、CF、EF.E、F是CC1、BB1的中点，CE綊B1F，四边形B1FCE是平行四边形，CFB1E，CF平面B1DE，B1E平面B1DE，CF平面B1DE，E，F是CC1、BB1的中点，EF綊BC，又BC綊AD，EF綊AD.四边形ADEF是平行四边形，AFED，AF平面B1DE，ED平面B1DE，AF平面B1DE，AFCFF，平面ACF平面B1DE.又AC平面ACF，AC平面B1DE .(3)解析：三棱锥ABDE的体积，即为三棱锥EABD的体积，V××AD·AB·EC××2×2×1.
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