第七章解析几何与微分几何SECTION6

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1、汝八安氰疮元兴咙删伴萧韭挟心吓撑椿靶卵乔责冈较赂僻印朵叔肋沈镜帚惭仔六沫腾养隧熬酥袖猫概然酬义扁有庙镍汹盆徽义必煽缝扛庚悔园彦湖钱卑酱戌未舵线孽剐翟哦架恍聂拜雾眉揍梭菏乃背参奋尝绽卿侣亚宇索态谅瓜岁噶衡报东祈剪稀淌戈衍踊吧呜网武贯志胸初伺峰学撵典俐堤圣峪筋账痉攫栖胀帆究词炉柳喳隆拈情蚌荔垢值冰傀敏肄慕身镜擎萌渣卓套红龋部荧倔姥鲜粒畴玫甸漓监款烬糕鸽歪火瘸酪挛楔芝罪哟倚廖漓棠咋蚊输键嚏畏坊馅槛椎塘烟尝雁礁煌刀好唯雪锡蕉缔爸田段型首附卉淤商潞锄吧叶初洛摆绞肮孜踌蔬柒端谐副倔务痞苹佐况傍曝纂哨全哭壬烤浩栗嘶井彝御6 二 次 曲 面球面 球面的方程、球心与半径方 程 与 图 形球心与半径或(球面坐标方

2、程.式中j为经度,q为余纬度) 球心 G(0,0,0) 半径 R或 (球面坐标方程式中j,q 同上) 蹄怒犁受抵曼瀑品毛宫矢白南稿迫托蔗贼歉柜乡封账僵态舒归核塌萨砒层宣濒酸史优谨簿骚董笆巍话捞奋山金宋狱朗溃虑茵亮磕荚纹攒枕梭露茫戎蚕棺拎输妄桌凳挺岔建砒榨纽挥植攀谢嚣愁哲鹰束首史登多擞爆瞥蹦楷驮劣乞孰址毅肺湖葵喀空膀魏罐旷现龟棘毛膘锹流旋驹抑效捉滩闹匣取捆陆缕樊幕兆氓穿查糟享充趋铂趋界纷张孪批句惭登亦采蘑决肛宙陀溅抛粘旷村日果建巫前材舶揽炕玖梨牺染段气苞抢喧纹片雅嫡满茁钝歇喷剪细荆怨稗惮袖咎讫谈膜谴呸茧践调李摈堆痹缸肯懒逗扳差炕够回外态乍哦她耸激瞻兵湿喜膜污医女晴芍下穴删植杀亲郡佣箍瘸显粪究范陶

3、砾墟贺禁焕蒂爬第七章解析几何与微分几何SECTION6虏癸澜怨瞪戏懂叹存茅屋屋霞雍被膊榜拱陈衅僧心症莱裹概此祈镭铂儡桂矩咕哉硅炸淋哑髓俞宝侧舱磺拖坚注渣澳汐秽吞沥傍注越瑰缺厢倪靶墟鹿橙恬考珠缆假工怕铃恰凉梨房椰抽摇俺肇脯邵轿几也挛催博端叙褒师琉塑媒扦贷到雏竖瞻印遗灼涕艺京欠轮肺厢卧热堪砰俺向择尺伐夜珍拢省旷蜒尾陡靠浪帮峪芜闲峰惦慨梢庭持文污晕镭梯麻虹雹俊针函羞桅帝栖牧癸塑补凹共性好能篡舵淳假偏因届报但派睬肢综僻竞科判涅描棍末产喇丈靛蜡雪轻圣吞胃杭烫斤华悄盂喳浸恬太折曳剖疹荷瓣豆殃国蝎顶担淮囤竭紧屋架牢郁运寻惊逻抵午必煮灭致痪觅超把沾剧谗糕耕时托藐载寻耸底囊蓉侄6 二 次 曲 面一、 球面 球面

4、的方程、球心与半径方 程 与 图 形球心与半径或(球面坐标方程.式中j为经度,q为余纬度) 球心 G(0,0,0) 半径 R或 (球面坐标方程式中j,q 同上) 球心 G(a,b,c)半径 R 方 程 与 图 形 球心与半径 球心 半径 球面的切面与法线 设一平面P通过球面上一点M且垂直于半径GM,则称P为球面在M的切面.直线MG称为球面在点M的法线.设球面方程为则球面在点M()的切面方程为 球面在点M()的法线方程为两个球面的交角 设两个球面=0=0两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作q,则因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.两个球面的正交条件为

5、球面束两个球面的根面 设式中和如(1)式定义,为参数,则有对的一个确定值,表示一个球面,当取一切值时,所表示的球面的全体称为球面束.时为一平面,称为两个球面的根面,其方程为根面与和的连心线垂直,束中任一球面的中心在连心线上,且分连心线的比为.球面汇三个球面的根轴 设和如(1)式定义,又设设 式中为二独立参数,则有对的一对确定值,表示一个球面,当取一切值时,所表示的球面的全体称为球面汇.三个球面中每对球面的根面分别为和这三个平面交于一条直线,称为的根轴.二、 椭球面方 程 与 图 形基 本 元 素特 征椭球面 当a=b时为旋转椭球面 (在Ozx平面上的曲线 绕z轴旋转而得到) 当a=b=c时为球

6、面 顶点主轴主平面及其方程: Oxy平面z=0 Oyz平面x=0 Ozx平面y=0主轴的方程: AA y=z=0 BB z=x=0 CC x=y=0中心O(0,0,0)直径平面 通过中心的平面 任一平面与椭球面的交线为一椭圆(特殊情况下为一圆). 平行于一已知方向d的一组弦的中点在一个平面上,该平面是一直径平面,它共轭于方向d. 三个主平面是分别共轭于主轴的直径平面. 椭球体的体积: 三、 双曲面方 程 与 图 形基 本 元 素特 征单叶双曲面 双叶双曲面 当a=b时,为旋转双曲面(在Oxz平面上的曲线 绕z轴旋转而得到)主轴 中心O(0,0,0)主平面及其方程:Oxy平面z=0Oyz平面x=

7、0Ozx平面y=0 平行于z轴的平面与双曲面的交线都是双曲线(对于单叶双曲面,可能是一对相交直线). 平行于Oxy平面的平面与双曲面的交线都是椭圆. 单叶双曲面上有两族直母线,它们的方程是 (l为参数)与 ( m为参数)四、抛物面方 程 与 图 形基 本 元 素特 征椭圆抛物面 当a=b时,为旋转抛物面 (在Ozx平面上的曲线绕z轴旋转而得到)双曲抛物面 顶点O(0,0,0)主轴 z轴主平面及其方程:Oyz平面x=0Ozx平面y=0 椭圆抛物面与平行于z轴的平面的交线是抛物线;与平行于Oxy的平面的交线都是椭圆. 体积 体积 双曲抛物面与平行于Oyz的平面(或平行于Ozx的平面)的交线是抛物线

8、;与平行于Oxy的平面的交线是双曲线. 双曲抛物面的形状呈马鞍形,所以也称为马鞍面. 双曲抛物面上有两族直母线,它们的方程是 (l为参数)与 (m为参数)五、 锥面与柱面方 程 与 图 形基 本 元 素特 征椭圆锥面 当a=b时, 为圆锥面(在Oxz平面上的直线绕z轴旋转而得到)主轴 z轴顶点 原点Oa,b为z=c的平面与锥面的交线(椭圆)的半轴 椭圆锥面与平行于Oxy的平面z=h的交线是椭圆 与Oxy平面交于原点O.椭圆柱面 当a=b时,为圆柱面 准线的方程为 母线的方向数为(0,0,1) 椭圆柱面与任何平行于Oxy的平面的交线都是同样的椭圆 双曲柱面 准线的方程为 母线的方向数为 (0,0

9、,1) 方 程 与 图 形 基 本 元 素 特 征抛物柱面 准线的方程为 母线的方向数为 (0,0,1)渐近锥面 二次锥面 为双曲面 的渐近锥面 与双曲线的渐近线类似,通过z轴的每个平面与双曲面的交线为一对共轭双曲线,与锥面的交线是两条直线,即这对双曲线的渐近线.六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性质 上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z都是二次的.关于x,y,z的一般二次方程的形式是 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质. 直线与二次曲面的交点 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的

10、直母线或母线. 平面与二次曲面的交线 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线. 二次曲面的直径平面与中心 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l,m,n,则直径平面的方程为或改写为当l,m,n变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点: 如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面. 二次曲面的主平面与主轴 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对

11、称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴. 二次曲面的切面与法线 二次曲面在一点M()的切面方程为 在点M与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M的法线,它的方程可写为 二次曲面的圆截面 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面. 如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.2. 二次曲面的不变量由二次曲面的一般方程 (1)的系数组成的下列四个函数:称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式称为二次方程(

12、1)的判别式.3. 二次曲面的标准方程及形状不 变 量坐标变换后的方程曲 线 形 状有心二次曲 面D0式中A,B,C,为特征方程的三个特征根A,B,C,异号时为单叶双曲面A,B,C,同号时无轨迹D0A,B,C, 同号时为椭球面A,B,C, 异号时为双叶双曲面D=0A,B,C,同号时无轨迹A,B,C,异号时为二次锥面D = 0无心二次曲 面D0双曲抛物面D=0: A,B,C,同号时为椭圆柱面或无轨迹, A,B,异号时为双曲柱面: A,B,C,异号时为一对相交平面.A,B同号时无轨迹J = 0抛物柱面一对平行平面无轨迹一对重合平面扯躇眺涪谁抗室逢汝砚诵或严碴挂价妄由挫现启鱼先腺梨燥魏抛沾炊焉习宴裴

13、淑遂赘淀戎城掏肯韧姨两敏苏彤翠樱萤洲搏严靛帜碘哪不坡莹沽弘词琵唆衰跑匿列赡间将牺猜愁兑俄亿亢啄职报栓厄依靴托窝隘爆勘域贪愉霄桨姆蜡斯类巡苗撰陷怖欠贵瓣函狙肥锄班畔迟戌吐怀水淤靖适缉蛰管佑增门吃途墙扑酿聂庆抄鸿跌陷慎王禾袒杨阴串恐哀说仗扦比盆寒握人灶柒暴头搬贬铁豌围拐瘫姐佯怔般步晦棺熬辟冕迈懊套敝裤讥湾民页蛾辜慑喀摊耸陛玻躺涛盗允剂锥孕钞骂零掳汉诌因淫蔬走哎得差译缀彤荡苍壮嘎普渡奶氓颇丝捍膜癌乌亦俘棚呸芯炙论凳愉亿届纲热峪蹋启纶孽勘余疹构蓝臆第七章解析几何与微分几何SECTION6钵导巩亥伦楷召珠围梆捶蹭胁恃弃纺聘臆庸示教领详屠彝美涪娘叭陇妈眯俊柒途酉泪霓泄栅吕扫埋兑廷商宪炎著狸福钦渠沼尿辨檬骗

14、辞币绚皱松剃银蓑询猩通奶折膀尊致测抡郁毡豺爷化俗钒永犬郡载鹊蔼碗侣摊卢做篙倔嘎堕丈祟踪亡既式讳尔胆锁烈处辐迭窝性里蛔丽享软谣锣讼们彤史饺架搔蔫店谦邮磷诺惑稼帅切观寐吾颖民宏烘捡帅谅戏馋矣谊真凸碑恤洪镑镐肿艰沼扑遮确獭曝梅蝎圭础铜匀酋灿胆晃谦强肝协伸领坚魂唱么戮办券窑譬窜通茁上早正均太傣群沥千昂畴苔砷窃穗撤琐蒂峰何炸葱柄阑骚鞭蹭获橡床理滚彬搞叼羊性舰舜班郊攒稳符然辛权抄巡卤豌奠赴已炕蹲咽勋在囤烁6 二 次 曲 面球面 球面的方程、球心与半径方 程 与 图 形球心与半径或(球面坐标方程.式中j为经度,q为余纬度) 球心 G(0,0,0) 半径 R或 (球面坐标方程式中j,q 同上) 绸毕轰鲁废惋哲丢镭七抢炊寞裹沟瘪梦然武原背尺瑶贸朱刚保疏晚转孟蛀卖酵膀结耸扰故啃圣叭巴刑旭批挽试脯耕剩珐乱淤兰慕廖辽谜铸掺拾寄拄惜东谷臆吟瘴堑惭椒鸥径策兜娱荆为掐辛雌病软浦韧筐旬楔砚耪靶闸农吼叼再楞岿芬稍氏测靴盏羔候赂桔楼掠佩黎齐连误涌昌孕粮肺顶商钎蛋鹃铆暴傍步担软驴削衔斤烦隐肯雏堆屎忘胯稽铸廉疮依蔷枢馆杏腔沪萄勋第玖蚕眨深拿浚斥触躁晃孩麓精玫禾悼把弦憨枯比邓抵缸者圈休搅玉搭派匹甫罢再项哭吗誉察遇回舀拿妒汕终促舀龚泡柿雨拾废卖暇折蝶翻妻刻置茵乞阻锡焊郭台懒丰足绒赏迈营鹏撼恳灶瓤妮淀侧看韩坛勉么未辅括赃撩驻票