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1、2019届数学中考复习资料难题突破专题八类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用类比模仿是解决此类问题的重要手段1 2016·湖州 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(BAD120°)进行探究：将一块含60°的直角三角板如图Z81放置在平
2、行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F(不包括线段的端点)(1)初步尝试如图，若ADAB，求证：BCEACF，AEAFAC；(2)类比发现如图，若AD2AB，过点C作CHAD于点H，求证：AE2FH；(3)深入探究如图，若AD3AB，探究得的值为常数t，则t_图Z81 例题分层分析 (1)先证明ABC，ACD都是_三角形，再证明BCE_，即可解决问题根据的结论得到_，由此可证明(2)设DHx，由题意，可得CD_，CH_(用含x的代数式表示)，由ACEHCF，得，由此即可证明(3)如图，过点C作CNA
3、D于N，CMBA，交BA的延长线于点M，CM与AD交于点H.先证明CFNCEM，得，由AB·CMAD·CN，AD3AB，推出CM3CN，所以，设CNa，FNb，则CM3a，EM3b，想办法求出AC，AE3AF即可解决问题2 2016·舟山 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究如图Z82，在等邻角四边形ABCD中，DABABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展 如图，在RtABC与RtABD中，CD9
4、0°，BCBD3，AB5，将RtABD绕着点A顺时针旋转角(0°BAC)得到RtABD(如图)，当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积图Z82 例题分层分析 (1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA_，PB_，DAP_ABC_，从而可得APCDPB，利用SAS可证得APCDPB，即可得到ACBD.(3)分两种情况考虑：(i)当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，由S四边形ACBDSACESBED，求出四边形ACBD的面积；(ii)当DBCACB90°时，过点D
5、作DEAC于点E，由S四边形ACBDSAEDS矩形ECBD，求出四边形ACBD的面积即可专 题 训 练12017·淮安 【操作发现】如图Z83，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上图Z83(1)请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连结BB；(2)在(1)所画图形中，ABB_【问题解决】如图Z84，在等边三角形ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90°，BPC120°，求APC的面积图Z84小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC绕点
6、A按顺时针方向旋转60°，得到APB，连结PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到APC，连结PP，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程(种方法即可)【灵活运用】如图Z85，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAEADC，BECE2，CD5，ADkAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)图Z8522017·连云港 问题呈现：如图Z86，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AEDG.求证：2S四边形EFGHS矩形ABC
7、D.(S表示面积)图Z86实验探究：某数学实验小组发现：若图中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图，当AHBF时，若将点G向点C靠近(DG>AE)，经过探索，发现：2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1.如图，当AHBF时，若将点G向点D靠近(DG<AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题(1)如图Z87
8、，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF，AE>DG，S四边形EFGH11，HF，求EG的长图Z87(2)如图Z88，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E，H分别在边AB，AD上，BE1，DH2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值图Z883.2017·盐城【探索发现】如图Z89是一张直角三角形纸片，B90°，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形
9、的最大面积与原三角形面积的比值为_图Z89【拓展应用】如图，在ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积【实际应用】如图Z810，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB50 cm，BC108 cm，CD60 cm，且tanBtanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩
10、形的面积图Z810参考答案例1【例题分层分析】(1)等边ACFBEAF(2)2xx解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD120°，DB60°.ADAB，ABCD是菱形，ABC，ACD都是等边三角形，BCAD60°，ACB60°，BCAC.ECF60°，BCEACEACFACE60°，BCEACF.在BCE和ACF中，BCEACF.BCEACF，BEAF，AEAFAEBEABAC.(2)证明：设DHx，由题意，CD2x，CHx，AD2AB4x，AHADDH3x.CHAD，AC2 x，AC2CD2AD2，ACD90°
11、，BACACD90°，CAD30°，ACH60°，ECF60°，HCFACE，ACEHCF，2，AE2FH.(3)如图，过点C作CNAD于N，CMBA，交BA的延长线于M，CM与AD交于点H.ECFEAF180°，AECAFC180°.AFCCFN180°，CFNAEC.MCNF90°，CFNCEM，.AB·CMAD·CN，AD3AB，CM3CN，.设CNa，FNb，则CM3a，EM3b，MAH60°，M90°，AHMCHN30°，HC2a，HMa，HNa，AMa，
12、AHa，ACa，AE3AF(EMAM)3(AHHNFN)EMAM3AH3HN3FN3AH3HNAMa，.故答案为.例2【例题分层分析】(2)PDPCADPBCP解：(1)矩形或正方形(2)ACBD，理由如下：连结PD，PC，如图所示：PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，PAPD，PCPB，PADPDA，PBCPCB，DPB2PAD，APC2PBC，又PADPBC，APCDPB，APCDPB(SAS)，ACBD.(3)分两种情况考虑：(i)当ADBDBC时，延长AD，CB交于点E，如图所示，EDBEBD，EBED.BCBD3，ABAB5，ACAD4.设EBEDx，由勾股定理得42(3
13、x)2(4x)2，解得x4.5.过点D作DFCE于F，DFAC，EDFEAC，即，解得DF，SACEAC×EC×4×(34.5)15，SBEDBE×DF×4.5×，S四边形ACBDSACESBED1510.(ii)当DBCACB90°时，过点D作DEAC于点E，如图所示，四边形ECBD是矩形，EDBC3.在RtAED中，根据勾股定理得AE，SAEDAE×ED××3，S矩形ECBDCE×CB(4)×3123 ，则S四边形ACBDSAEDS矩形ECBD123 12.专题训练1解：
14、【操作发现】(1)如图所示(2)45°.【问题解决】如图，将APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到APB，连结PP，则APAP，PAP60°，APBAPC.APP是等边三角形APPAPP60°.APPC，APC90°.又BPC120°，APB360°APCBPC360°90°120°150°.BPPAPBAPP150°60°90°.BPPAPBAPPAPCAPP90°60°30°.设BPa.在RtBPP中，BPP30
15、6;，PB2a，PPa，APa，PC2a.在RtAPC中，由勾股定理得AP2PC2AC2，(a)2(2a)272.解得a.AP，PC2 .SAPCAP·PC××2 7 .【灵活运用】连结AC.AEBC，BECE，ABAC.又AEBC，BAECAE.设BAE，则CAE，ABE90°，ADC.如图，将ACD绕点A顺时针旋转2，得到ABD，则BDCD5，ADAD，DAD2，BDA.过点A作AFDD，垂足为点F，则DAF，ADF90°，DD2DF，BDDBDAADF90°90°.在RtADF中，DFAD·cosADFAD&
16、#183;cos(90°)kAB·cos(90°)k·BE2k.DD4k.在RtBDD中，由勾股定理得BD.2解：问题呈现：证明：因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，A90°，又因为AEDG，所以四边形AEGD是矩形，所以SHEGEG·AES矩形AEGD，同理可得SFEGS矩形BCGE.因为S四边形EFGHSHEGSFEG，所以2S四边形EFGHS矩形ABCD.实验探究：由题意得，当点G向点D靠近(DG<AE)时，如图所示，SHEC1S矩形HAEC1，SEFB1S矩形EBFB1，SFGA1S矩形FCGA1，SGHD1S矩形G
17、DHD1，所以S四边形EFGHSHEC1SEFB1SFGA1SGHD1S矩形A1B1C1D1，所以2S四边形EFGHS矩形HAEC1S矩形EBFB1S矩形FCGA1S矩形GDHD12S矩形A1B1C1D1，即2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1.迁移应用：(1)如图所示，由“实验探究”的结论可知2S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1，所以S矩形A1B1C1D1S矩形ABCD2S四边形EFGH252×113A1B1·A1D1.因为正方形面积是25，所以边长为5，又A1D12HF25229254，所以A1D12，A1B1，所以EG2A1B125
18、225，所以EG.(2)四边形EFGH面积的最大值为.3解：【探索发现】.【拓展应用】ah.【灵活应用】如图，设四边形BFGK是从“缺角矩形”中剪出的一个矩形，显然，当顶点G在线段DE上时，矩形的面积才可取最大值作直线DE，分别交线段BA，BC的延长线于点P，Q，过点E作EHBC于点H.四边形ABCM是矩形，AMBC，DEMDQC，.CD16，CMAB32，MDCD16，1，即CQEM.AE20，AMBC40，EMAE20.AECQ.同理PAMDCD16.当BKPB24，即当顶点G在DE中点处时，矩形的面积最大，最大面积为×60×48720.【实际应用】分三种情形：()如图
19、，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边AB，CD上时，延长BA，CD相交于点E.EBCDCG，EBEC.过点E作EHBC于点H，BHBC×10854(cm)在RtEBH中，EHBH·tanB54×72(cm)，EB90 cm.由结论知，当PBEB45 cmAB时，矩形面积有最大值为×108×721944(cm2)()如图，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边AD，CD上时，延长BA，CD相交于点E，延长QP交AE于点F，过点F作FGBC于点G，则矩形PQMN的面积小于矩形FQMG的面积由()知，矩形FQMG的面积1944 cm2.()当矩形另两个顶点P，Q分别在边AB，AD上时，此时不能裁出矩形综上所述，矩形面积的最大值为1944 cm2.
【浙教版】中考数学难题突破：专题八类比、拓展探究题含答案
