线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法

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1、用可逆（或正交）变换化二次型为标准形用可逆（或正交）变换化二次型为标准形目标：目标：AXXfT 二次型二次型 CY X 非退化线性变换非退化线性变换YACCYfTT)( 标准形标准形2222211nnykykyk YYT 问题转化为：问题转化为： 为为对对角角矩矩阵阵，使使得得求求可可逆逆矩矩阵阵ACCCT),(1nkkdiag 定理定理 3 对任意对任意n元实二次型元实二次型f（x1,x2，,xn)=XTAX( A 为为 n 阶对称矩阵阶对称矩阵)，则，则必有正交矩阵必有正交矩阵 P ,使使 221121),(nnPYXnyyxxxf得。以由正交变换对角化即证明：由实对称矩阵可)(21nTd

2、iagAPP，的全部特征值。是二次型的矩阵，An21正交变换的特征是保持向量的长度不变正交变换的特征是保持向量的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT则有为正交变换设定义定义若为正交矩阵，则线性变换若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换称为正交变换PPxy 在在几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果要求保持图形的几何性质（如保持图形的形状不变）要求保持图形的几何性质（如保持图形的形状不变）,就要使用就要使用正交变换等方法。正交变换等方法。次次型，使变换保持尺度不变。型，使变换保持尺度不变。在在统计等方面的应用中，也常常使用正交

3、变换的方法处理二统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 与上一与上一章化相章化相似标准似标准型的做型的做法基本法基本一致，一致，也可以也可以作组内作组

4、内正交化正交化例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型32312123222184422xxxxxxxxxf 化为标准形,并指出方程f =1表示何种二次曲面.用正交变换将二次型化为标准形的方法 242422221A由 ,0)7()2(2 AE解 写出 的系数矩阵A，求出A的特征值和特征向量f, 71 . 232 得得基础解系当 时,解方程组71 07 xAE)(T)2, 2 , 1 (1得基础解系当 时,解方程组232 02 xAE)(T)0 , 1, 2(2T) 1 , 0 , 2(3将特征向量正交化、单位化22 3222323TT3254 T)5 , 4 , 2(51再对1,2, 3单位化,

5、得Te)2, 2 , 1 (31111Te)0 , 1, 2(55222Te)5 , 4 , 2(155333写出正交变换的矩阵由 构成正交矩阵321eee, 3503215545532155255231T显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面.注意：化f为标准形的正交变换不唯一.则二次型经正交变换x=Ty化为标准形232221227yyyf 解解例例2 2.22 2222 , 434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二二次次型型的的矩矩阵阵为为,0111101111011110 A它它的的特特征征多多项项式式为为.111111111111 E

6、A有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1( EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的特征值为的特征值为于是于是A, 0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当 ,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得

7、21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交变变换换为为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有拉格朗日配方法的具体步骤拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法用用正交变换能够化

8、实二次型为标准型，这种方法是根据实正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实对称矩阵的性质，求出二次型对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量，的特征值和规范正交的特征向量，条件要求较强，当研究一般数域条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型上的二次型(包括实二次型包括实二次型)的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征值问题，只需反复利用以下两个初等公式值问题，只需反复利用以下两个初等公式就能将就能将二次型化为平方和。下面首先举例说明，再给出理论证明二次型化为平方和。下面首先举例说明，再给出理论证明。

9、)(,2)(22222babababababa1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化

10、二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例3 331212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 33322

11、32112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC例例4 用配方法化二次型用配方法化二次型32222121321322),(xxxxxxxxxf为为标准型，并求出所用的可逆线性变换标准型，并求出所用的可逆线性变换。解解 32222121321322),(xxxxxxxxxf322222212132xxxxxxx2323322222149493)(xxxxxxx2323222149)23()(xxxxx令令3332322211xyxxyxxy

12、(1)则则3332322323211yxyyxyyyx(2)(2)是可逆线性变换，使是可逆线性变换，使23492221321),(yyyxxxf,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例5 5由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即记记X=BY得323122218422yyyyyyf 再把所有含y1的项集中,配平方;同样地把含有y2的项集中,配平方,就得到)()()()

13、()(23232231232332222312332222331213223442422yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyf 即：即： .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即求逆求逆矩阵矩阵记记Y=DZ所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 CBDZBYX定理定理4 对于任一对于任一n元元二次型二次型),(),(21TTnAAAXXxxxf都都存在非退化的线性变换存在非

14、退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）使之成为标准型（平方和）.),(222221121nnnydydydxxxf证明证明 对变量个数进行归纳。对变量个数进行归纳。11,)(121111时，情形结论成立。当为时结论成立。设时，nnxaxfn平方项的系数不全为零，不妨设平方项的系数不全为零，不妨设nijiijnjnjjjnxxaxaxxaxxxfa22211211121112),(, 0ninjjiijnjjjanjjjaxxaxaxaxa2222112211111,1111ninjjiijnjjjannnnnjjjayyayayyygyyygyafxyxyxaxy2222113232

15、211122211111111),(),(,其中则令是是n-1元元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换;),(1,22332223222nnnnnzdzdzdyyygnQzzQyy阶可逆矩阵，使得为,100001000010111111311112111naaaaaaP记则非则非退化线性变换为退化线性变换为2222211121111),(001nnnnnnzdzdzaxxxfzzQPyyPxx使得情形情形2),(21nxxxf, 0jiaij不含不含平方项，必有平方项，必有jiknkyxyyxyyxkkjijjii,1 ,则是非退化的

16、线性变换，使得是非退化的线性变换，使得),(),(212221njijiijnyyyhyayayyygf或是为不含平方项的二次型其中),(21nyyyh零零多项式，故多项式，故),(21nyyyg含有平方项，这归结为情形含有平方项，这归结为情形1，可可化为标准型化为标准型.推论推论1 任意任意n阶对称矩阵阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同都与对角形矩阵合同.证明证明 由定理由定理4，存在非退化线性变换，存在非退化线性变换X=CY，使得使得2222211nnTydydydAXX右端右端标准型的矩阵为标准型的矩阵为,21ndddB新旧新旧变量二次型的矩阵变量二次型的矩阵A与与B满足满足CTAC=B，即

17、，即A与与对角形矩阵对角形矩阵B合同合同.3 3 初等变换法初等变换法根据实对称矩阵及合同变换的特征得到根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.是可逆矩阵。其中，作合同变换：实对称矩阵CACCAT）为初等矩阵。，（niPPPPCin121TTnTnTPPPC11APPPACCTTnTnT11nPPP21，称为一次合同变换。的初等列变换作同样，再对作初等行变换：对iTiiTiPAPAAPPECACCEATCACCT只作列只作列变换变换C为所为所求求准型。，用初等变换法化为标例：1111101211221221A10000100001000011112101211221221EA10000100001

18、012210110143013200001100001002123100121212100212100002000011000110012310112100000210000200001CYXC，令10001100123101121232221212yyyAXXXfT）（换行、列，其余同上。）中无平方项，则先交（若Xf1、化二次型为标准形的正交变换是否唯一？2、二次型的标准形是否唯一？3、二次型的平方和和标准形主要区别是什么？4、在实数域里考虑，正交变换法和配平方法没有改变二次型的那些特征？思考1、正交变换不唯一；2、标准形不计顺序的话是唯一的；3、标准形的系数为其特征值，而平方和的系数则不是特征值，可以任意变动.4、没有改变二次型的秩，事实上，二次型的系数中正负项的个数也没有被正交变换改变。思考题解答