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1、天津市南开中学2015届高三第三次月考数学（理）试题I卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分)1. 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( ).A. B. C. D.2. 已知是两条不同直线,是两个不同平面,给出四个命题:若,则 若,则若,则 若，,则其中正确的命题是 ( ).A. B. C. D.3. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为 ( ).A. B. C. D.4. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为( ).A.2
2、B.1 C. D.来源:5. 已知和分别是双曲线(,)的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则该双曲线的离心率为( ).A. B. C. D. 6. 已知双曲线的离心率为,若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,则抛物线的方程为( ).A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ( ).A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为 ( ).A.B.C. D.II卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效)二、 填空
3、题：(每小题5分，共30分)9. 已知数列的前项和满足，且，则通项公式=_.10. 圆心在直线上的圆与轴交于两点、,则圆的方程为_.11. 在边长为的菱形中,为的中点,则12. 已知,则_.13. 已知函数的图象与轴恰有三个公共点,则实数的取值范围是_.14. 点是椭圆：的左焦点，过点且倾斜角是锐角的直线与椭圆交于、两点，若的面积为，则直线的斜率是 _.三、解答题：(1518每小题13分，1920每小题14分，共80分)15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为的个红球与编号为的个白球,从中任意取出个球.()求取出的个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； ()记为取出的个球中编号的最
4、大值,求的分布列与数学期望.16. 在中，的对边分别为且成等差数列()求的值；()求的范围17. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.() 求证:/平面；() 求证:平面平面； () 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?若存在，求的长度；若不存在，说明理由.18. 已知函数()若求在处的切线方程；()求在区间上的最小值；()若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.19. 已知数列的前n项和（）,数列.（）求证:数列是等差数列，并求数列的通项公式；(）的前n项和为，证明：且时，；（）设数列满足，（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意 ，都有？20. 已
5、知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点（）求椭圆的标准方程；(）若，是椭圆上关轴对称的任意两点，设点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于定点；（）设为坐标原点，在(）的条件下，过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围天津南开中学2015届高三理科数学第三次月考试卷参考答案一、选择题：12345678BABCCDDD二、填空题：91011121314三、解答题： ()的取值为. , 来源:,. 所以的分布列为P 的数学期望.16. 在中，的对边分别为且成等差数列()求B的值；()求的范围解：() 成等差数列， 由正弦定理，得，即：， 又在中， . ()
6、， ， 的范围是 为中点.在中,/ 且平面,平面 ()证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,平面 所以平面. 又,所以是等腰直角三角形, 且，即. ,且、面 面 又面, 面面 () 如图,取的中点, 连结,. , . 侧面底面, , , 而分别为的中点,又是正方形,故. ,. 以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则有,. 若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结 设. 由()知平面的法向量为. 设平面的法向量为., 由可得,令,则, 故,解得,. 所以在线段上存在点,使得二面角的余弦值为，此时.18. 已知函数()若求在处的切线方程;()求在区间上的最小值;()若在区间上恰有两个零点
7、,求的取值范围.解:( I) 在处的切线方程为，即 ()由 由及定义域为,令 若在上,在上单调递增, 因此,在区间的最小值为. 若在上,单调递减;在上,单调递增,因此在区间上的最小值为 若在上,在上单调递减, 因此,在区间上的最小值为. 综上， ()由()可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当时,要使在区间上恰有两个零点,则 即,此时,. 所以,的取值范围为 19. 已知数列的前项和（）,数列.（）求证:数列是等差数列，并求数列的通项公式；(）的前n项和为，证明：且时，；（）设数列满足，（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意 ，都有>.解（I）在中，令n=1
8、，可得，即当时，. . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当时（） （1）当n=2k1，k=1，2，3，时，（1）式即为 （2）依题意，（2）式对k=1，2，3都成立，<1 当n=2k，k=1，2，3，时，（1）式即为 （3）依题意，（3）式对k=1，2，3，都成立， 存在整数=1，使得对任意 ，都有>.20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点（）求椭圆的标准方程；(）若，是椭圆上关轴对称的任意两点，设点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于定点；（）设为坐标原点，在(）的条件下，过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围()解：设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为.由题意，可得，椭圆的标准方程为.(）证明：由题意可知直线存在斜率，设直线的方程为,代入椭圆方程可得由，有.设，则，由韦达定理得， 直线的方程为，令，可得，将，代入上式，整理可得将，代入整理可得直线与轴相交于定点；（）解：当过点的直线的斜率为时，此时.当过点的直线的斜率不为时，设直线的方程为，且设点，.- 16 -
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