初一数学讲义第1部分有理数

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1、初一数学讲义 第一部分有理数一从整数到分数（一）整数、整数的概念1、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这些数是整数，我们最先学的数就是它们，大概因为这是很自然的事情，把这些数称为自然数。 自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 想一想：0一定代表没有吗？如果不是，请举几例：_2、自然数的意义（1）基数：用来表示事物_的自然数叫做基数。这时，1表示_,5表示_,0表示_。（2）序数：用来表示事物_的自然数叫做序数。这时，1表示_,5表示_,、整数的运算1、 加法：一个数与另一个数合起来，用加法。两个数相加经常叫做两个数的和。加数+加数=和任何两个自然数的和仍是自然数。也就是说，两个自

2、然数的加法都可以运算。2、 减法：求两个数相差多少，用减法。两个数相减经常叫做两个数的差。被减数-减数=差 （1）减法是加法的逆运算。 加数+加数=和 和加数=另一个加数 被减数差=减数 被减数-减数=差 减数+差=被减数 （2）两个自然数的减法并不是都可以运算。 两个自然数m和n 如果mn，mn可以运算，其差还是自然数。 如果mn，mn不可以运算。这要等到把数扩充正负数3、乘法：相同的数的加法的快捷方式。两个数相乘经常叫做两个数的乘积。乘数乘数=积 因数因数=积任何两个自然数的积仍是自然数。也就是说，两个自然数的乘法都可以运算。4、 除法：把一个数平均分成几份的运算。被除数除数=商 （1）除

3、法是乘法的逆运算。 因数因数=积 积因数=另一个因数 被除数商=除数 被除数除数=商 除数商=被除数 （2）两个自然数的除法并不是都可以在自然数范围内运算。也就是说，商不一定是自然数。这说明自然数不够用了，需要把数的范围扩充，引进分数、小数。（二）分数1. 一个物体，一群物体,一个计量单位，一段时间等都可以看作一个整体,用_来表示。2. 分数的意义：把单位“1”_，表示这样的_的数，叫分数。3. 分数的分母不能为_。分母等于_，分数没有意义。（一件东西分0份是没有意义的）4. 分数的基本性质：_5. 真分数：_的分数叫做真分数。真分数_1。 假分数：_的分数，叫做假分数。假分数_1 带分数：假

4、分数可以写成_与_合成的数，通常叫做带分数。 想一想：2x=2x （两个方框中均填或）6.分数和整数 分子是分母的倍数的假分数，都可以写成是整数。例如 任何一个整数，都可以写成分母为1的假分数。例如：（三）小数、小数的意义 把整数1平均分成_份、_份、_份，得到的十分之几、百分之几、千分之几,可以用小数表示。 一个小数由_部分、_部分和_组成。数中的圆点叫做_，小数点左边的数叫做_，小数点右边的数叫做_。、小数的分类 有限小数 小数 无限循环小数 无限小数 无限不循环小数1. 有限小数：_的小数，叫做有限小数。 例如：_都是有限小数。 2. 无限小数：_的小数，叫做无限小数。 例如：_都是无限

5、小数。3.无限循环小数：像_这样的数叫做循环小数。4.无限不循环小数：_叫做无限不循环小数。 例如：_ _（四）小数和分数1所有的分数都可以化成小数。例如：= =2有限小数都可以化成分数例如：3.23564=3无限循环小数都可以化成分数例如：0.33 0.99=4无限不循环小数不能化为分数。除了无限不循环小数外，其他小数都等同于分数。有了分数（包括有限小数和无限循环小数），除法运算都能够进行了。二正数和负数（一）相反意义的量1、在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。例2：温度是零上10和零下5。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2

6、米和下降0.7米。例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。 这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？ _2、还有哪些具有相反意义的量？_（二）正数和负数 能用我们已经学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5用5来表示，零下5呢？也用5来表示，行吗？为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了一种新数，叫做负数。过去学过的那些除零以外的数，叫做正数。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。 具有相反意义的量，一个规定为_数，另一个就是_数。在一个数前加一个_（也可以不加）,这个数叫_；在一个数前加一个_，这个数叫_。0既不是_，也不是_写出一些正负数：正数_负

7、数_小结正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。三、有理数的概念（一）有理数的定义与分类、 整数和分数统称为有理数。目前学过的数，除了_外，都是有理数。 无限不循环小数的类型1：:和包含的算式，例如：3，+2 无限不循环小数的类型2：2.010010001，0.415115111511115、有理数的分类：第一种分法：先将有理数按“整”和“分”的属性分， 再按每类数的“正”、“负”的属性分，第二种分法：先将有理数按“正”和“负”的

8、属性分， 再按每类数的“整”、“分”的属性分，想一想： “0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ “2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ 自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？、把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。例如： 所有正数组成的集合，叫做正数集合； 所有负数组成的集合叫做负数集合； 所有整数组成的集合叫整数集合； 所有分数组成的集合叫分数集合； 所有有理数组成的集合叫有理数集合； 所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。 非正数， 非负数， 非正整数， 非负整数（二）数轴1._叫数轴。数轴的方向通常习惯指向_方或上方。2. 整数与数轴（1）任何一个整数都可以用_表示。 0用_

9、表示。 正整数在_，负整数在_。 越往右，表示的数_；越往左，表示的数_（2）并不是数轴上的任何一个点都表示一个整数。3.分数与数轴（1）任何一个分数都可以_表示。 正分数在_，负分数在_。 越往_，表示的数越大;越往_，表示的数越小。（2） 在之间有多少个有理数？_。 在1和2之间有多少个有理数？_；在EF之间有多少个点？_。 在1和之间有多少个有理数？_；在NE之间有多少个点？_。 在1和之间有多少个有理数？_。 任何两个有理数之间有_个有理数；在任何两个点之间有_个点。（3）是不是数轴上的任何一个点都表示一个有理数？为什么？_（三）相反数1.相反数：只有_不同的两个数称互为相反数。其中任

10、意一个是另一个的_。0的相反数是_。想一想：1和_互为相反数。 3的相反数是_2.在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的_侧，并且到原点的距离_。3. 求一个数的相反数，在这个数的前边加一个“”就可以了。想一想：4.6的相反数是_，a的相反数是_，5.4相反数是_。4. 一个数前面有一个“”，可以认为是求这个数的相反数。想一想：（+3）= （5）=（四）绝对值：1.数轴上，表示_叫做这个数的绝对值。 5的绝对值记作：|5|；2.绝对值法则： 正数的绝对值是_； 0的绝对值是_； 负数的绝对值是_。想一想： （五）有理数的大小比较1.在数轴上，越在右方的数_(1) 负数小于_，0小于_，负数

11、小于_数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较（绝对值大数大）；(3) 两个负数，绝对值大的_.2 有没有最小的正整数？_ 有没有最小的正分数？_ 有没有最小的正有理数？_ 有没有最小的非负数？_ 有没有最大的负整数？_ 有没有最大的负分数？_ 有没有最小的负有理数？_ 有没有最大的非正数？_四、有理数的运算（一）有理数的加法1、两个正数相加5+8= +12+3.2= +3.5+(+7)=2、两个负数相加 规定向东走为正。第一次向西走15米，第二次向西走7米，两次共走多少米？ 15+(7)= 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”。学校足球

12、队在一场比赛中：（1）上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了几球(2)+(1)=同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 (6)+(35)= 7.2+(54)=3、 异号两数相加（1）学校足球队在一场比赛中，上半场赢了3球，下半场输了4球，那么全场共赢了几球 (+3)+(4)= （2）上半场输了3球，下半场赢了4球，那么全场共赢了几球(3)+(+4)= （3）上半场输了3球，下半场赢了3球，那么全场共赢了几球 (3)+(+3)=异号两个数相加，如果两数的绝对值相等，则和为0 或者说：互为相反数的两个数相加得0绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号， 并且用较大的绝对值减

13、去较小的绝对值 150250 (1.15)+(+1.12)= 15（+23） 3+(6)= =4、0和一个数相加0+2= 8+0= 0+0=一个数同0相加，仍得这个数总结：（1）有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两数相加和为0 一个数同0相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算步骤先判断属于法则中的哪种类型；再依法则判断和的符号；判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算上述步骤可以概括为：“一定二求三加减”（3）有理数加法的运算定律加法交换律：两个数相加，交换加数的

14、位置，和不变 a+b=b+a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 （a+b)+c=a+(b+c)（二）有理数的减法规定：向东走为正。甲乙两人原在同一地点。甲向东走10米，乙向东走8米，甲乙两人相距多少米？_甲向东走10米，乙原地不动，甲乙两人相距多少米_甲向东走10米，乙向西走8米，甲乙两人相距多少米？_甲向西走10米，乙向西走8米，甲乙两人相距多少米？_ 19 8 0 10 29 D C O A B A、B两地相距：_；A、O两地相距：_ A、C两地相距：_；C、D两地相距：_所以：减去一个数，等于加上这个数的相反数。再看：减法是加法的逆运算，如果a+b=c

15、，那么ca=b 因为8+(3)=5，所以5(3)=8=5+3所以：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（三）有理数的乘法1、两个正数相乘：规定：向东为正。23，2看作向东运动2米，3看作向原方向运动3次23=2、异号两数相乘： （2）3，2看作向西运动2米，3看作向原方向运动3次（2）3=也可以这样看：(2)3=(2)(2)(2)=6 2（3），2看作向东运动2米，（3）看作向反方向运动3次2（3）=3、两个负数相乘：（2）（3），2看作向西运动2米，（3）看作向反方向运动3次（2）（3）=4、0乘以任何数、任何数乘以0 0a，0看作运动0米，a看作向某方向运动次0a= a0，a看作向某方向运

16、动米，0看作运动0次a0= 有理数乘法法则： 同号两数相乘得正，并把绝对值相乘。（两个负数相乘简称：负负得正） 异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。 0乘以任何数还得0。多个有理数连乘， 如果奇数个负数，积得负； 如果偶数个负数，积得正。（四）有理数的除法因为：除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样。（五）有理数的乘方，读作的平方（或二次方），读作的立方（或三次方），读作的四次方一般地，个相同的因数相乘：记作：读作的次方，或者读作的次幂求个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，（指数1通常省略不写）练一练(1)：= = =练一练(2)，注意括号位置的不同：= = = 练一练(3)：= = =负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数练一练(3)11= 12= 13= 14= 1n= 0n= = = = = （六）有理数的混合运算到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有：加、减、乘、除、乘方；运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。如果右括号，先算括号里面的。（七）科学计数法 一般地，一个大于10的数可以写成a10n的形式，其中1a10，n是正整数。这种记数方法叫做科学计数法。练一练500000000= 135600000= 可以看出n比该数的位数小1。12