方向向量与法向量

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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量APta 一、方向向量与法向量 1直线的方向向量直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线直线的方向向量是指和这条直线 的向量的向量平行或共线平行或共线例例1:已知长方体已知长方体ABCDABCD的棱长的棱长AB=2,AD=4,AA=3.建系如图建系如图,求下列直线的一个方求下列直线的一个方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3),

2、 C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).),30,0()1(AA).30 , 0( AAdAA 的的一一个个方方向向向向量量是是直直线线).3 , 0 , 4()2(CBd).3 , 2 , 4()3(CAd).3, 2 , 4()4(DBd例例2:已知所有棱长为已知所有棱长为 的正三棱锥的正三棱锥A-BCD,试建立试建立空间直角坐标系空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量确定各棱所在直线的方向向量.aABCDEFxyz(O)解解:建系如图建系如图,则则B(0,0,0)、).0 ,2,23()0 , 0(aa

3、CaD、),0 ,2,63().0 ,2, 0(.aaFaEBCDFBDE则则的中心的中心是等边是等边的中点，的中点，为为设设 ,3632222aaaCFACAF ).36,2,63(aaaABEFxyz(O).36,2,63(aaaA)0 , 0(aD).0 ,2,23(aaC);0 , 1 , 0(BDd);0 , 1 , 3(BCd);0 , 1 , 3(CDd);22 , 3, 1 (BAd);20 , 1 (ACd).22, 3, 1(ADd2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面

4、叫做平面的的法法向量向量 2平面的法向量平面的法向量 直线直线l，取直线，取直线l的的 a，则，则a叫做平面叫做平面的的法向量法向量. 方向向量方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻画平面的方向？如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：叫做叫做那么向量那么向量垂直，垂直，面面如果它所在的直线与平如果它所在的直线与平对于非零的空间向量对于非零的空间向量nn ,.的的一一个个法法向

5、向量量平平面面 例例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234).1 , 0 , 0(1 n）解：（解：（xyzABCDABCD234则则的的一一个个法法向向量量为为设设平平面面),()2(wvunAACC . 00ACnAAnACnAAn),0 , 2 , 4(),30 , 0( ACAA 020002)4(0)3(00vuwwvuwvu, 21 vu取取).0 , 2 , 1( nAACC的的一一个个法法向向量量平平面面xyzABCDABCD234的的一一个

6、个法法向向量量，是是平平面面设设),()3(ACDwvun 00ADnACnADnACn),3, 0 , 4(),0 , 2 , 4( ADAC.342034024 uwuvwuvu, 4, 6, 3 wvu得得取取).4,6 ,3( nACD 的的一一个个法法向向量量平平面面【答案】 D 解解: :设设平平面面ABC的的一一个个法法向向量量为为( , , )nx y z 求平面向量的法向量 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的

7、示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系. 用向量方法解决立体问题二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法证明平行与垂直证明平行与垂直mlab（一）（一）. 平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u u(1) lm0aba b （二）、垂直关系：（二）、垂直关系：lmab(2) l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 线线面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行关系：四、平行关系：111222(,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;laua ab

8、bc c五、垂直关系：五、垂直关系：111222222,0, /abca b cauabc当时111222(,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc 例例1 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG

9、=(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG 证证 ：如图所示：如图所示, , 建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系. ./ AEFGAEFG几何法呢？几何法呢？ 例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG法法1 几何法几何法ABCDP PE EXYZG法法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连

10、结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( ,( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ法法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/

11、1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn XYZABCDP PE E法法4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(

12、1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例2 2 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 则则， 所以所以1DFADE 平平面面DADE 则则， A1xD1B1ADBCC1yzEF

13、111133ABDCFD FDAE变式：正四棱柱AC中，AA，E为BB中点在上找一点 使得面,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v

14、 平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyz期中22如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SE EC 的值xyzE解:(3)建系如图，设AB=1，则22(0 0)2B， ，2(0 0)2D ， ，6(0 0)2S， ，26(0,)22SESC 设，-2(00)2C，226(,(1)222BEBSSE 则，/ /26(,022BEPACSD 由面，且面PAC的法向量为，）得130(1)022BE SD 2=3故23SESC 故即SE:EC=2：1课后作业课后作业0120,2,(1)(2)ABCDABCE FABCDDFABCDBEDF AEECAECAFCAECF1.如图，四边形为菱形，是平面ABCD同一侧的两点，BE平面平面，证明：平面平面求直线与成角余弦值EABCDF