高等数学复旦大学出版第三版下册课后参考答案1

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1、习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) (x, y)|x0;(2) (x, y)|1x2+y24;(3) (x, y)|yx2;(4) (x, y)|(x-1)2+y21(x, y)|(x+1)2+y21.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：(x, y)|x=0.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：(x, y)|1x2+y24，边界：(x, y)|x2+y2=1(x, y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x, y)|yx2，边界：(x, y)| y=x2.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

2、边界：(x, y)|(x-1)2+y2=1(x, y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan,试求.解：3. 已知,试求解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函数的定义域：解：5. 求下列各极限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋

3、于(0，0)点，则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x,y)=;(2) f (x,y)=;(3) f (x,y)=ln(1x2y2);(4)f (x,y)=解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P(x,y)沿

4、直线y=x趋于O(0,0)时.故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数：(1)z = x2y+;(2)s =;(3)z = xln;(4)z = lntan;(5)z = (1+xy)y;(6)u = zxy;(7)u = arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)两边取对数得故 (6)(7)(8)9.已知，求证：.证明： .由对称性知 .于是 .10.设，求证：.证明： ,由z关于x,y的对称性得故 11.设f (x,y) = x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：则.12.求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x

5、轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z = x4+ y4-4x2y2;(2)z = arctan;(3)z = yx;(4)z = .解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求解：17915.设z = x ln ( x y)，求及.解：16.求下列函数的全微分：(1);(2);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1) (1

6、.02)3(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3y2，则故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)设f(x,y)=,则故取,则(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm, 当a边增

7、加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.解：因为圆锥体的体积为 而 时， 21.解：设水池的长宽深分别为 则有: 精确值为： 近似值为: 22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)求,；(2)z, xuv,yuv, 求,；(3), yx3, 求;(4) ux2y2z2, x, y, z, 求.解：（1）(2)(3)(4).23. 设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.设为可导函数，证明：证明:故

8、25. 设，其中f(u)为可导函数，验证：.证明： ,26. ,其中f具有二阶导数，求解：由对称性知，27. 设f具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：(1)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 试证：利用变量替换,可将方程化简为 .证明：设故29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)解法1 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,则 故 .解法2 方程两边对x求导，得故 (2)设(3)方程两边求全微分，得则 故 (4)设,则 30. 设F(x, y, z)=0可以确定函数x = x(y, z), y = y(x,

9、 z), z = z(x, y),证明：.证明：31. 设确定了函数z = z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g具有连续偏导数函数，求(4) 求解：(1)原方程组变为方程两边对x求导，得当 (2)设故 (3)设则 故 (4)是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得整理得 解得 方程组两边对y求导得整理得 解得 33. 设，试求解：由方程组可确定反函数，方程组两边对x求导，得解得 所以 方程组两边对y求导，得解得 所以 .*34. 求函数在(2，-1)点的泰勒公式.解：故*35. 将函数在(1,1)点展

10、到泰勒公式的二次项.解：习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).解：曲线在点的切向量为当时， 切线方程为.法平面方程为即 .（2）联立方程组它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得解得 在点M0（1，-2，1）处，所以切向量为1，0，-1.故切线方程为法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对

11、x求导，得于是 曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为法平面方程为.2. t (0 t 2)为何值时，曲线L：x = t-sint, y=1-cost, z = 4sin在相应点的切线垂直于平面，并求相应的切线和法平面方程。解：,在t处切向量为,已知平面的法向量为.且,故解得，相应点的坐标为.且故切线方程为法平面方程为即 .3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt的切线与z轴形成定角。证明：螺旋线的切向量为.与z轴同向的单位向量为两向量的夹角余弦为为一定值。故螺旋线的切线与z轴形成定角。4. 指出曲面z = xy上何处的法线垂直于平面x-2y+

12、z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：zx=y, zy=x.曲面法向量为.已知平面法向量为.且，故有解得x=2,y=-1,此时，z=-2.即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为.切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即 x-2y+z-2=0.5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z = x2+y2,点M0(1,2,5);(2)z = arctan,点M0(1,1,);解：（1）故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z -5=2(x-1)+4(y-2).即 2x+4y-z=5.法线方程为（2）故曲面在点M0(1,1,)的切平

13、面方程为z-=- (x-1)+(y-1).法线方程为.6. 证明：曲面xyz = a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F(x,y,z)=xyz-a3.因为 Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为它为一定值。7.解：平面与曲面在的切平面的法向量为 从而平面的方程为： 又的方向向量为 由求得 在上取一点，不妨取求得 由于在平面上，代入

14、平面方程中可求得.8. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。解：9. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：的方向余弦为故10. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为，它是第三象限的角，因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是11.研究下列函数的极值：(1) z = x3+y33(x2+y2);(2) z = e2x(x+y2+2y);(3) z = (6xx2)(4yy2);(4) z = (x2+y2);(5) z = xy(axy),a0.解：（

15、1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x6, zxy=0, zyy=6y6在点（0，0）处，A=6，B=0，C=-6，B2AC=360，且A0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2AC=360,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,所以函数有极小值.(3) 解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4y-

16、y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6xx2)在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B2AC=8180,且A0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2AC0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2AC0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）(0,0)时，恒有z0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-

17、u由，令得u=1,当u1时，；当u1或x2+y21,均有.故函数z在点（x0,y0）取得极大值z=e-1(5)解方程组得驻点为 zxx=-2y, zxy=a-2x-2y, zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为 于是 易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.12. 设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对x,y求导，解得令解得,将它们代入原方程，解得.从而得驻点.在点（-2，0）处，B2-AC0，因此函数有极小值z=1.在点处，B2-AC0，函数有极大值.13. 在平面xOy上求一点

18、，使它到x=0, y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为距离的平方和为由得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。14. 求旋转抛物面z = x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求其在条件z= x2+y2下的最值。设F（x,y,z）=解方程组得故所求最短距离为15. 抛物面z = x2+y2被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P（x,y

19、,z），则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2， x+y+z=1设F（x,y,z）= x2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程组得 由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且.所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.16. 在第I卦限内作椭球面的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：令椭球面上任一点的切平面方程为即 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为即求在约束条件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。设 ,解方程组得.故切点为，此时最小体积为*17. 设

20、空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为解方程组得驻点又在点处Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n20取得最小值.故在点处，S取得最小值.即所求点为.*18. 已知过去几年产量和利润的数据如下：产量x(件)4047557090100利润y(元)323443547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程组把(xi,yi

21、)代入方程组，得解得 a=0.884, b=-5.894即 y=0.884x-5.894,当x=120时，y=100.186(元).习题十1. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域.解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1从而 故有 所以 （2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.图10-2从而 ln(x+y)1故有 所以 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因为当时，有, 因而 .从而 故 即而 （为区域D的

22、面积），由=4得 .(2) 因为，从而故 即而所以（3）因为当时，所以故 即 而 所以 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）（2）解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故4. 设f(x，y)为连续函数，求.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，于是：5. 画出积分区域，把化为累次积分：(1) ;(2) (3) 解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.所以(2) 区域D如图

23、10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为 . 图10-3 图10-4所以（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为图10-5所以.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) .解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为： 所以(2) 相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.图10-7D亦可表示为： 所以(3) 相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.

24、图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：D2：所以.(4) 相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：D2：所以(5) 相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中D1： D2：如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：所以7.解：因为为一常数，不妨设 则有 从而有 而 故8. 计算下列二重积分：(1) (2) D由抛物线y2 = x,直线x=0与y=1所围；(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4) .解：（1）(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示(3

25、) 积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：所以9. 计算下列二次积分：解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D：0y1, yx，如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0x1,x2yx.所以(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中如图10-15所示：图10-15积分区域D亦可表示为：于是：10. 在极坐标系下计算二重积分：(1)(2)D为圆=1所围成的区域；(3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。解：(1)积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐

26、标表示为：r2, 02所以(2)积分区域D可用极坐标表示为：0r1, 02.所以：(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0, 1r2.所以：(4)积分区域D如图10-18所示，图10-18D可用极坐标表示为：所以：11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：解：（1）积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：(2)积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：(3)积分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：(4)积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：于是:*

27、12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1),其中D是由xy=2, xy=4, x=y, y=3x在第一象限所围平面区域；(2)(3)令x=v, x+y=u;(4)(5)(6)解：(1)积分区域D如图10-23所示： 图10-23令xy=u,则于是：(2)积分区域D如图10-24所示。图10-24令x+y=u,x-y=v,则且 -1u1, -1v1.于是：（3）积分区域Dxy: 0x1, 1-xy2-x令x=v, x+y=u, 则y=u-v积分区域Dxy变为Duv:0v1, 1u2.且于是(4)令x=arcos, y=brsin则积分区域D变为Dr： 02, 0r1,于是：(5) 令x=r

28、cos，y=rsin. 即作极坐标变换，则D变为：0r3, 02.于是：（6）积分区域D如图10-25所示：D可分为D1,D2D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。图10-25D1: 0, 0r2sin,D2D3: 0, 2sinr2,D4: 2, 0r2于是：13. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积：(1)曲线所围（a0,b0）;(2)曲线xy=a2, xy=2a2, y=x, y=2x所围（x0,y0）.解：（1）曲线所围的图形D如图10-26所示：图10-26D可以表示为：所求面积为：(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x0,y0)所围图形D如图10-27所示：

29、图10-27所求面积为令xy = u,则于是14. 证明：(1)(2),D为|x|+|y|1;(3),其中D为x2+y21且a2+b20.解：（1）题中所给累次积分的积分区域D为ayb, axy.如图10-28所示：图10-28D也可表示为axb，xyb，于是：(2)令x+y=u,x-y=v，则,且-1u1,-1v1,于是(3)令,则当x2+y21时，于是*15. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：(1)(2),D为全平面；(3)当 时当 时解：（1） 故当m1时，原积分收敛，当m1时发散。（2）由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故由于,故积分当p1时收敛，p1且q1时收敛，其

30、他情形均发散。(3)由0m|(x,y)|M,可知积分与积分同时收敛同时发散。由于被积函数是正的，故由于，当0y1时，有 (若p0), (若p0),故 (若p0),若p0，则有相反的不等式。由于,故积分当时收敛，时发散，而时，由知积分也发散。由此可知：积分，从而积分当时收敛，当时发散。*16. 计算积分解：由于而收敛，故收敛，从而，采用极坐标有：*17. 试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：(1);(2)解：(1)故当m1时，原积分收敛，当m1时，原积分发散。（2）由于x2+xy+y2= (当(x,y)(0,0)时)故 (当(x,y)(0,0)时)再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分与同

31、敛散。由于(当(x,y)(0,0)时)，采用极坐标即得而为常义积分，其值为有限数，而由此可知：原积分当p0)，所围成的第I卦限内的闭区域。解：(1)积分区域如图10-38所示，图10-38可表示为：故 (2)积分区域如图10-39所示。图10-39可表示为：故 (3)由消去z得即，所以在xOy面的投影区域为x2+y21，如图10-40所示。图10-40可表示为：-1x1, , x2+2y2z2-x2故(4)积分区域如图10-41所示。可表示为：图10-41故19. 在直角坐标系下计算三重积分：(1),其中是由曲面z = x y与平面y = x, x =1和z =0所围成的闭区域；(2)，其中为

32、平面x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = 1所围成的四面体；(3)，是两个球：x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R0)的公共部分；(4),其中是由x = a(a0), y = x, z = y, z = 0所围成；(5),其中是由x2+z2-y2=1, y=0, y=2所围成；(6),其中是由所围成。解：(1)积分区域如图10-42所示。图10-42可表示为：(2)积分区域如图10-43所示，可表示为：图10-43故(3)积分区域如图10-44所示。图10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为：,且平面把积分区域分为两部分，且积

33、分区域在z轴上的投影区间为0,R,记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与相交的平面区域为D1(z),过上任意一点z的平行于xOy面的平面与的相交的平面区域为D2(z)，则(4)积分区域如图10-45所示。图10-45可表示为：故(5)积分区域如图10-46所示。图10-46在y轴上的投影区间为0,2，故(6) 积分区域如图10-47所示。图10-47可表示为：故20. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x), f2(y), f3(z)的乘积，即f(x ,y, z)=f1(x)f2(y)f3(z)，积分区域为axb，cyd, lzm，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘

34、积，即证：21. 利用柱面坐标计算下列三重积分：(1) ,其中是由曲面及所围成的闭区域；(2) ,其中是由曲面及平面z=2所围成的闭区域.图10-48解：(1) 由及消去得,因而区域在xOy面上的投影区域为,如图10-48所示，在柱面坐标系下：可表示为：故 (2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，可表示为图10-49故 22. 利用球面坐标计算下列三重积分：(1) ，其中是由球面所围成的闭区域；(2) ，其中由不等式,所确定.解：（1） (2) 积分区域如图10-50所示，在球面坐标系下，可表示为图10-50故 23. 选用适当的坐标计算下列三重积分：(1) ，其中为柱面及平面z

35、= 1, z = 0, x = 0, y = 0所围成的第I卦限内的闭区域；(2) ,其中是由球面所围成的闭区域;(3) ,其中是由曲面及平面z = 5所围成的闭区域；(4) ，其中由不等式所确定。解：（1）积分区闭如图10-51所示.利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下表示为：图10-51,0r1，0z1,故本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，可表示为：故 (2)积分区域如图10-52所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下可表示为：图10-52故(3) 积分区域如图10-53所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，可表示为：图10-53故(4) 积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算，

36、在球面坐标系下，可表示为：图10-54故24. 利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：(1) z = 6-x2-y2及；(2) x2+y2+z2 = 2az(a0)及x2+y2 = z2（含有z轴的部分）；(3)及z = x2+y2;(4) z =及x2+y2 = 4z.解：（1）曲面围成的立体如图10-55所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-55用柱面坐标可求得的体积（2）曲面围成的立体如图10-56所示。在球面坐标系下可表示为：图10-56利用球面坐标可求得的体积：（3）曲面围成的立体如图10-57所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-57利用柱面坐标可求得的体积：(4) 曲

37、面围成的立体如图10-58所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-58利用柱面坐标可求得的体积：*25. 选择坐标变换计算下列各题：（1）（2）解：（1）令则积分区域变为*：且故 (2) 坐标变换同（1）。26. 球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。解：利用球面坐标计算：则27. 求球面x2+y2+z2 = a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。解：如图10-29所示：图10-29上半球面的方程为，由得由对称性知28. 求锥面z =被柱面z2 = 2x所割下部分的曲面面积。解：由z2 = x2+y2, z2=2x两式消去z得x

38、2+y2=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y22x,而故所求曲面的面积为.29. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的16倍，如图10-30所示。图10-30这部分曲面的方程为，于是所求面积为.30. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。(1)D由所围成；(2)D是半椭圆形闭区域：;(3)D是介于两个圆r=acos, r=bcos (0a0, b0）对x轴及坐标原点的转动惯量（面为常数）.解：所围三角区域D如图10-37所示：图10-37

39、36.求由抛物线y = x2及直线y = 1所围成的均匀薄片（面密度为常数）c对于直线y = -1的转动惯量。图10-65解：37. 计算下列对弧长的曲线积分：(1)，其中L为圆周x=a cos t, y=a sin t (0t2);(2),其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；(5)，其中为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧；(6)，其中为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,

40、0,0）,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；(7)，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)；(8)，其中L为曲线x=a(cost+tsint), y = a(sint-tcot), (0t2)；(9)，其中为螺旋线，x = acost, y = asint, z=at (0t).解：(1).(2)L的方程为y=1-x（0x1）.(3)L由曲线L1：y=x2(0x1),及L2：y=x(0x1)组成（如图10-66所示）。图10-66故（4）如图10-67所示，L=L1+L2+L3图10-67其中L1：y=0(0xa)，从而L2:x=acost,

41、y=asint,0t故 L3:y=x(0xa).故 所以(5)(6) 故(7) (8)(9)38. 计算曲面积分，其中为抛物面z = 2-(x2+y2)在xOy面上方的部分，f(x, y, z)分别如下：(1) f (x, y, z)=1; (2) f(x, y, z)=x2+y2; (3) f(x, y, z)=3z.解：抛物面z=2-(x2+y2)与xOy面的交线是xOy面上的圆x2+y2=2，因而曲面在xOy面上的投影区域Dxy: x2+y22,且ds=故(1)(2)(3)39. 计算，其中是：（1）锥面z=及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；（2）锥面z2=3(x2+y2)被平面z

42、=0和z=3所截得的部分。解：（1），其中:故.因此(2)所截得锥面为故.40. 计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面在第I卦限中的部分；（2），其中为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；(3),其中为球面x2+y2+z2=a2上zh(0h0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；(5)，其中为曲线x=k，y=acos，z=asin上对应从0到的一段弧；(6)，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)，其

43、中为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧解：(1)L：y=x2，x从0变到2，(2)如图11-1所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0(0x2a)故 (3)(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:02故 (5)(6)直线的参数方程是 t从10故(7)(如图11-2所示)图11-2，x从01，z从01，x从01故(8)4计算，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)

44、的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x = 2t2+t+1, y = t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧解：(1)L：，y：12，故(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：12故(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2且L1：，y：12；L2：，x：14；故从而(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动

45、到B(0,b)，求力所做的功解：依题意知 F=kxi+kyj，且L：，t：0(其中k为比例系数)6计算对坐标的曲线积分：(1)，为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；(2)，为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:(1)：即其参数方程为：t：02故：(2)如图11-3所示图11-3=1+2+31： t：0，故又根据轮换对称性知7应用格林公式计算下列积分：(1)， 其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)，其中L为正向星形线；(3)，其中L为抛物线2x=y

46、2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则，从而，由格林公式得(3)如图11-5所示，记，围成的区域为D（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如图11-6所示图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)，即，于是从而(5)L，OA如图11-7所示图11-7P=exsiny-my，Q=e