北大随机过程课件：第3章第5讲更新过程

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1、马尔可夫过程 更新过程更新过程的展本概念定义、更新过程的基本参数，参数间的关系更新过程分析计算N(t)的概率分布计算更新过程的期望计算更新过程的强度计算更新过程的速率典型更新过程泊松过程泊松过程的分布特性更新时间间隔呈负指数分布的更新过程事件间隔、更新时刻、计数过程N(t)、均值过程、更新过程的强度 更新过程举例：例1、 给定一种更新间隔分布，计算更新过程N(t)的概率分布例2、给定更新强度，计算更新间隔的概率分布例3、给定更新间隔分布，计算更新过程的速率例4、计算更新过程的速率例5、计算更新过程的速率例6、羽件间隔呈负指数分布的更新过程1.更衙过程的基本概念1.1更新过稅定义设N(t),t0

2、是一个计数过程，兀(/?1)示第ml次事件和第n次事件的时间间隔， 再设缶宀,为非负、独立、同分布的随机变杲序列，则称计数过程N(t), t0为更新过 程。特点：根据M件间隔的特征(独工、同分布)定义；举例：假设灯泡的寿命是统计独工、同分布的随机变帚，若每次使用一个灯泡，当灯泡损 坏后立刻更换新的，则在时间t内损害的灯泡数是一个更新过程N(t), t0,其屮 N(t)是在时间t内损坏的灯泡数。1.2 更新过租的赛本参数及其关系N(t)： 0, t)内发生的事件数，更新次数；第n次事件的更新间隔;S :第n次爭件的更新时刻：nS“与X”的关系：S” = 兀，S。= 表示过程的起始时刻；I若给定事

3、件间隔X” (1)的概率分布函数F，或概率密度函数f(t)时，设更新时刻S”的分布函数是F”、概率密度函数是(/),因为s厂宀,为1-1非负、独立、同分布的随机变杲序列，则尸”(/)应是尸(/)的n次卷积，(f)应是/(f) 的n次卷积。N(t)与S”的关系：如果S”/,则在时间t内，至少发生了 n次更新，即ps” n如果在时间t内，发生了 n次更新，则Snt.即pN(t) = n= pSn/PN(f) = n = PN 町- PN i + 1= (0-(02. 更新过程分析2.1计算N的概率分布对J：更新过程，当给泄事件间隔 (,/1)的概率分布函数F(t),或概率密度函数 f(t)时，计算

4、N的概率分布。设S”的分布函数是Fn(0, Fn (/)是F(t)的n次卷积：PN”=化-F”屛)。2.2计算更新过租的期夏8m(/) = EN = 5PN =nn=lco nco oo二工工 PN(/) = “=工工 PN(/) = “h=1 k-11=1 n-k= fjPN(t)k=fjPN(t)n4=1n-1= fpsnr=frw(Onlnslm(t)是更新过程的数学期盥，或者是更新过程的均值，表示0Q内发生爭件的均次数；2.3 计算更新过總的强度(平均强度)更新过程的强度记为2(/),表示某时刻发生更新的强度:兄(/)dt衣示t,t+dt)内发生更新事件的次数。Ad 008 0a(o=

5、-m(o=FB(o=g_Ffl(o=E/(o对上式两端作拉氏变换，有88 8“厂m =严力0nl 0定义888”严山,9(s)”=打”eSA($) = “(”, 0($) =000等式右端有,0($)1 一 0($)8二工0($)，H=1更新强度拉氏变换的结杲是:A(5)=0G)1 一 00二AG)1 + AG)处)=AG)- AGMG)对匕式做拉氏反变换得到：/(f) = 2(/) J 2(/ u)f(u)du0给泄了更新过程强度Mt)后，更新过程间隔概率密度函数f(t)叮由上述积分方程求 解。2.4 更祈过程的极限，平均更祈时间与更祈速率在有限的时间内更新的次数是有限的、当时间t趋r无穷时

6、,更新的次数趋r无穷, 考虑到，S“是第n次更新爭件发生的时刻，N是直到时刻t发生更新事件的次数，Sjva) / Sn(xS/va)/ v Sjw屮N(/)2V(0_ N(t)其屮是t时间内N(t)个同分布独立随机变最的平均值,S呵 1,求更新过程N的概率分布.分析：更新间隔兀，呈儿何分布，兀,=1是由(/-1)个继续工作爭件的时间间隔和1个结束 工作的时间间隔组成,每一个时间间隔上,发生继续工作事件的概率为Q- p)， 发生结束匚作爭件的概率为P每一个更新间隔可视为一个两状态(工作、结束工 作)的马尔可夫链，结束工作的状态为吸收态，导致当前的间隔结束，进入卜一次更新.Sn 0? 1)是由n个

7、相互独立的Xw(m = l,2, - W)组成.S“=k由k个时间间隔构 成，衷示经过k个时间间隔发生了 n次更新事件(结束工作的枣件)。k个时间间隔 的最后一个时间间隔対应概率为卩的结束I作的1个时间间隔，在它/询，总共 有(-1)个时间间隔，比中个概率为p的结束工作出件的时间间隔， (R - n)个概率为(1-p)的继续工作事件的时间间隔。S”的概率分布为:(k-lD Ll心-卩)(k h)ps,严灯科丿0S”的分布函数为：Fn(t) = PS0的时间间隔匚的概率密度。解：若更新强度为X，其对应的拉氏变换为:8COqA(s) = JA(t)es,dt = jA es,dt =-0 0 s

8、ax“的概率密度函数f(t)的拉氏变换为co,根据0(。= (5)-1 + A($)则心的概率密度函数f(t)为:口)5(讣厂冗更新间隔的分布服从参数为X的负指数分布则更新计数过程服从参数为X的泊松 分布。结论:更新强度是常数的更新计数过程服从泊松分布，更新间隔服从负指数分布。当电池失效时，芷刻更换新的电池。电池的寿命是在30小时到60小时均匀分布的随机 变杲，问长时间工作情况卜，更换电池的速率？解：电池的平均寿命为：长时间工作的条件卜电池更新的速率是lim- = l/z8 f卜均每45小时更新一次电池。例4.计算更新过祝的速家为电池失效时，立刻到市场去购买同一熨号的电池，获得新电池的时间也是

9、一个均匀分布的随机变罠，均匀分布J：o到1小时Z间，问长时间匸作情况卜，更换电池的速率？解，设笫1次电池使用的时间是兀，购买电池的时间是,它们都是随机变肚,则平均更新间隔为:“=日兀+%=45iEiij =Jz-k/ = l/ 2o“ = 45.5半均毎45 5小时更新一次电池。例5、计算更新过租的速車顾客以泊松律到达银行，到达率为衣顾客到达时，如來服务员空闲，他就进入银行接 受服务，如果到达时服务员疋在接待顾客他就离去，顾兴接受服务的时间是一个随机变 駅，服从某种服务规律G,平均值是。问顾客进入银行的速率，进入银行的顾客占 潜在顾客的比例。解：分析：首先分析顾客离开银行的速率。将顾客离开银行

10、的事件视为更新爭件，即一个 顾客离开银行到卜一个顾客离开银行为-个更新河隔。顾客去LLJLt t顾客到 11更新间隔忑包括两段时间间隔：第一段时间间隔儿，前一个顾客离去，到卜一个顾客到来，第二段时间间隔新到来的顾客接受服务直到离开。xk = yk + Zjt由j：顾客以泊松到达率到达银行，因而到达的时间间隔是参数为兄的无记忆的负指数分布，到达时间的间隔的均值为1/2,根据负指数分布的无记忆特性，从上一个顾客离开的时刻到卜一个顾客到达的时间间隔也是参数2为的负指数分布，均值为1/2,即Eyk = l/A而顾客接受服务的时间的均值引ZJ已知为2因此，顾客接受服务离开系统的间隔的均值为：“二引儿卜引

11、儿+ Ezk = l/ApG顾客以同样的速率到达系统接受服务。则：顾客进入系统接受服务的速率为：心亠1/2 +血1+矶潜在顾客以兄的速率到达银行，英屮部分顾客以兄入的速率进入银行接收服务，其它顾客则为接受服务即离左，则进入银彳亍的顾客与潜在顾客的比例为：入入九=!A =-1 / 2 + “G /1 +例6事件间隔呈负指数分布的更新过程如果事件的间隔是负指数分布，爭件的时间间隔的概率密度函数和概率分布函数是:/(0 = IF(t) = Ae-A,dt = l-eA,o丁是有，tf2(t) = /(/) /(/) = j 加T 财2认=At eA, A0J3(0 = 2Xr f (t) = 111

12、小 3-1)!F(r) = j f(t)dt = J Ae-x,dt = l-e0 0t/F2(o = j 人(f)df = W eA, Adt = l-e - At 矿川00F3(t) = j f3(t)dt = j-eA, 加心 1- At 戶-eA, 2! 2!皿抑叫器討5=嗨將討更新计数过程的分布：=1-工= (i_f (久卄1 肌J召(5丿=(砒严(n + 1-l)!=空严“！结论：更新间隔为负指数分布的更新计数过程服从泊松分布。总结更新过程的甚木概念定义、更新过程的慕本参数，参数间的关系更新过程分析给定更新间隔的分布，计算N(t)的概率分布计算更新过程的期里，计算更新过程的强度，研

13、究更新过程的数字特征：计算更新过程的极限。lim-= /fT8 N(/)典型更新过程泊松过程泊松过程的分布特性更新时间间隔呈负指数分布的更新过程事件间隔、更新时刻、计数过程N(t)、均值过程、更新过程的强度典型更新过程例2、计算更新过程N(t)的概率分布给定一种更新间隔分布，求更新计数过程分布例2、给定更新强度，计算更新间隔的概率分布结论:更新强度是常数的更新讣数过程服从泊松分布，更新间隔服从负指数分布-例3、给定更新间隔分布，计算更新过程的速率基本概念：速率定义例4、计算更新过程的速率分析更新间隔的构成例5、计算更新过程的速率分析更新间隔构成例6、件间隔呈负指数分布的更新过程结论：更新间隔为负指数分布的更新计数过程服从泊松分布。