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1、哈尔滨市第六中学2015届高三第四次模拟考试数学试卷（理工类）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，设集合，集合则 =（ ） 2.已知复数，则复数 在复平面内对应的点为（ ） 3. 若，且，则大小关系为（ ） 4.下列说法正确的是 （ ） 命题“若，则”的否命题为真命题“直线与直线互相垂直”的充分条件是“” 命题“”的否定是“”否 开始结束输出 是 命题：若，则或的逆否命题为：若或，则5. 设为随机变量，若,当时，的值为（ ）3 5 7 96. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中处可以填入（ ）
2、 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ) 12 4 8.将函数的图象向右平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （ ） 9. 设，若三点共线，则的最小值是（ ） 10. 已知数列为等比数列，且，则的值为( ) 11题图11如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) 4 12. 定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当 时，记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） 第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为
3、必考题，每个试题考生都必须做答，第22题24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积为 14已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时， 15在平面直角坐标系中，实数 满足 ，若，则的取值范围是 16.若关于 的函数的最大值为 ，最小值为 ，且 ，则实数 的值为 三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. 数列满足：（1）记，求证数列是等比数列（2）求数列的通项公式；18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小
4、球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.19. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求斜三棱柱的侧棱 的长度.20. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为（0，），且离心率等于，过点（0，2
5、）的直线与椭圆相交于，不同两点，点在线段上P （）求椭圆的标准方程； （）设，试求的取值范围21. 设函数，其中。 （）当时，判断函数在定义域上的单调性； （）当时，求函数的极值点 （）证明对任意的正整数 ，不等式都成立。考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.选修41：几何证明选讲BEDO1O2APC22题图如图所示，已知O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证:ADEC;(2)若AD是O2的切线,
6、且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;23.选修44：极坐标与参数方程 已知曲线C的极坐标方程 是=1，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数）。 （1）写出直线与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值。24.选修45：不等式选讲已知 为正实数，且满足 （1）求 的最小值（2）求证： 理科数学答案：123456789101112CCABDCBDACBD13、 14、 15、 16、117、（1） （2） 18.解：（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则 （2） 依题意，的可能取值为0,1,2左手所取的
7、两球颜色相同的概率为 右手所取的两球颜色相同的概率为 012所以的分布列为： 19. 解:（本小题满分12分）(1)取中点，连接，则面， （2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴，建立空间直角坐标系5分，设则即设面法向量；面法向量 20 、解：（）设椭圆的标准方程为因为它的一个顶点为（0，），所以，由离心率等于，得，解得，所以椭圆的标准方程为 （）设，若直线与轴重合，则，得，得；若直线与轴不重合，则设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，得， ， 由得，整理得，将代入得，又点在直线上，所以，于是有，因此，由得，所以，综上所述，有 21、解（）当，函数在定义域（-1，+）上单调递增。 （） 当时，
8、解=0得两个不同解当b0时，此时在上有唯一的极小值点当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，有一个极大值点和一个极小值点b0，时，在（-1，+）上有唯一的极小值点 （）当b=-1时，令上恒正在上单调递增，当x（0，+）时，恒有即当x（0，+）时，有，对任意正整数n，取22(1)证明：连接AB，AC是O1的切线，BAC=D，又BAC=E，D=E。ADEC （2）设BP=x，PE=y，PA=6，PC=2，xy=12，ADEC， 由可得，或（舍去）DE=9+x+y=16，AD是O2的切线，AD2=DBDE=9×16，AD=12。23解：（1） （2）代入C得设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为-4。24（1）当 时， 的最小值为（2） ·15·
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