4.1不定积分概念和第一类换元法

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1、第四章微分法微分法:?)( xF求求积分法积分法:?)( xF求求互逆运算互逆运算不定积分 , )(xF 已知已知已知已知 F (x) ,第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作的作tAFsin

2、下沿直线运动下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为因此问题转化为:已知已知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, 加速度加速度mFta )(,sintmA 定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x),满足满足),()(xfxF 在区间在区间 I 上的一个上的一个则称则称 F (x) 为为 f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的一个原函数为的一个原函数为 .cos tmA 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲原函数原函数 .问题

3、问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上上连连续续在在区区间间若若函函数数Ixf上上在在则则Ixf)(的原函数存在的原函数存在 .(下章证明下章证明)因为初等函数在定义区间上连续，因为初等函数在定义区间上连续，所以所以初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲,)()(的一个原函数的一个原函数是是若若xfxF定理定理 2 的任意的任意则则)(xf一个原函数都可记为一个原函数都可记为CxF )( C 为任

4、意常数为任意常数 ) .证证 ，的任意一个原函数的任意一个原函数是是设设)()(xfx )()(xfx 又知又知)()(xfxF )()( xFx)()(xFx 0)()( xfxf故故CxFx )()()(为某个常数为某个常数C即即.)()(CxFx 即即暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲CxFx )()(定义定义 2 )(xf在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为Ixf在在)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf 其中其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若若, )()(xfxF 则则C

5、xFxxf )(d)( C 为任意常数为任意常数 )C 又称又称为为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如例如, xexdCex xx d2Cx 331 xxdsinCx cos记作记作注注暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xf的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线 . 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲CxFxxf )(d)(例例1 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线且其上

6、任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解 xy2 xxyd2 Cx 2所求曲线过点所求曲线过点(1, 2), 故有故有C 2121 C因此所求曲线为因此所求曲线为. 12 xyyxo)2, 1 (暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲12 xy xdd)1( xxfd)( )(xf 二、二、 基本积分表基本积分表 注注 从不定积分定义可知从不定积分定义可知: d xxfd)( xxfd)( 或或Cx d)2()(xF )(xF或或C d)(xF)(xF xkd)1( k 为常数为常数)Cxk xx d)2( Cx 111

7、 xxd)3(Cx ln时时0 x) 1( )ln()ln( xxx1 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲 21d)4(xxCx arctan xxdcos)6(Cx sin xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan或或Cx cotarc 21d)5(xxCx arcsin或或Cx cosarc xxdsin)7(Cx cos xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲 xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax ln2s

8、hxxeex Cx ch xxdch)15(Cx sh xxdsh)14(2chxxeex 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例2 求求.d3 xxx解解 原式原式 =xxd34 134 Cx 313例例3 求求.dcossin222 xxx解解 原式原式=xxdsin Cx cos134 xC 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲三、不定积分的性质三、不定积分的性质 xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2 推论推论 xxfkxxfkiniiniiid)(d)(11 xxfkd)( xxgxxfd)(d)()0( k暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学

9、珠海学院苏保河主讲例例4 求求.d)5(2xexx 解解 原式原式 =xexxd)25)2( )2ln()2(eex 2ln25x Cexx 2ln512ln2C 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例5 求求.dtan2xx 解解 原式原式 =xxd)1(sec2 xxxddsec2.tanCxx 例例6 求求.d)1(122xxxxx 解解 原式原式 =xxxxxd)1()1(22 xxd112 xxd1 xarctan .lnCx 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例7 求求.d124xxx 解解 原式原式 =xxxd11)1(24 xxxxd11)

10、1)(1(222 221dd)1(xxxx.arctan313Cxxx 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲第二节第一类换元法第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲第一类换元法第一类换元法定理定理1, )()(uFuf有原函数有原函数设设,)(可导可导且且xu 则有换元公式则有换元公式 xxxfd)()( uufd)()(xu )(d)(xxf (也称也称配元法配元法即即 xxxfd)()( , 凑微分法凑微分法)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲CxF )( 例例1 求求).1(d)( mxbxam解解

11、令令,bxau 则则,ddxau 故故原式原式 = muuad1a1 Cumm 1111)()1(1 mbxamaC xbxamd)(解法解法2(直接凑微分直接凑微分):.)()1(11Cbaxmam 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲想到公式想到公式Cxmxxmm 111d )(d)(baxbxama1 22)(1d1axxa例例2 求求 .d22xax解解 22dxax,axu 令令则则xaud1d 21uuda1Cua arctan1.)arctan(1Caxa 想到公式想到公式 21duuCu arctan 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲原式原式

12、例例2 求求 .d22xax解法解法2 (直接凑微分直接凑微分): 22)(1d1axxa 22dxax 2)/(1)/(axaxda1.)arctan(1Caxa 想到公式想到公式 21duuCu arctan 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例3 求求 ).0(d22axax 21duu想到想到Cu arcsin解解 2)(1daxax 2)(1)(daxax.arcsinCax 22dxax暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例4 求求.dtan xx解解 xxxdcossin xxcoscosd.coslnCx ?dcot xx xxxsindc

13、os.sinlnCx xxsinsind xxdtan类似可得类似可得暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲.ln21Caxaxa 例例5 求求.d22 axx解解221ax )(axax )()(axax a21 )11(21axaxa 原式原式 = a21 axxaxxdd a21 axax)(d a21 ax lnax ln C axax)(d暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)()1( )(bxaf)(dbxa a1 xxxfnnd)()2(1 )(nxfnxdn1 xxxfnd1)()3( )(nxf

14、nxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法 xxxfdcos)(sin)4( )(sin xfxsind xxxfdsin)(cos)5( )(cos xfxcosd 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲 xxxfdsec)(tan)6(2 )(tan xfxtand xeefxxd)()7( )(xefxed xxxfd1)(ln)8( )(ln xfxlnd例例6 求求.)ln21(d xxx xln21xlnd解解 原式原式 = xln2121)ln21(dx .ln21ln21Cx 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例7 求求 .d3xxex 解解 原式原

15、式 =xexd23 )3d(323xex .323Cex 例例8 求求.dsec6xx 解解 原式原式 =xdxx222sec)1(tan xtandxxxtand)1tan2(tan24 x5tan51 x3tan32 xtan .C 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例9 求求.1d xex解法解法1 xex1dxeeexxxd1)1( xd xxee1)1(dx .)1ln(Cex 解法解法2 xex1dxeexxd1 xxee1)1(d.)1ln(Cex )1ln()1(ln)1ln( xxxxexeee两法结果一样两法结果一样暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海

16、学院苏保河主讲内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法利用利用恒等变形恒等变形, 及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分积分性质积分性质3. 第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)CxFxxf )()(d)( xxxfd)()( 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲作作 业业P204 1 (2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14); 2 (2, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18). P190 1

17、(3, 5, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26); 2; 4*.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲下次课内容下次课内容: : 不定积分的第一类换元法不定积分的第一类换元法 第五章第一节第五章第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1 若若)(xf是是xe 的原函数的原函数 , 则则 xxxfd)(ln提示提示 已知已知xexf )(0)(Cexfx 01)(lnCxxf xCxxxf021)(ln CxCx ln10课外练习课外练习暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲2 若若)(xf;sin1)(xA ;sin1)(xB 的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos1)(xC .cos1)(xD 提示提示B由题意由题意,cos)(1Cxxf 其原函数为其原函数为 xxfd)(21sinCxCx 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲3 已知已知 22221d1d1xxBxxAxxx求求 A , B .解解 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得 221xx22211xxAxA 21xB 2212)(xxABA , 12, 0ABA .,2121BA暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲