高考数学二轮复习 专题五：第1讲直线与圆案文

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1、+20192019 年数学高考教学资料年数学高考教学资料+第第 1 1 讲讲直线与圆直线与圆高考定位1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2016全国卷)圆x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为 1，则a()A.43B.34C. 3D.2解析圆x2y22x8y130 化为标准方程为(x1)2(y4)24，故圆心为(1，4).由题意得d|a41|a211，解得a43.答案A2.(2016山东卷)

2、已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离解析圆M：x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2，由题意，da2，所以有a2a222，解得a2.所以圆M：x2(y2)222，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交.答案B3.(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20 相交于A，B两点，若|AB|2 3，则圆C的面积为_.解析圆C的标准方程为x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，点C到直线yx2a的距离为d|0a2a|2|a|2.又由|AB

3、|2 3，得2 322|a|22a22，解得a22，所以圆C的面积为(a22)4.答案44.(2017天津卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_.解析由题意知该圆的半径为 1，设圆心C(1，a)(a0)，则A(0，a).又F(1，0)，所以AC(1，0)，AF(1，a).由题意知AC与AF的夹角为 120，得 cos 12011 1a212，解得a 3.所以圆的方程为(x1)2(y 3)21.答案(x1)2(y 3)21考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2

4、存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10 与l2：AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为D2，E2 ，半径为rD2E24F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法： 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法

5、：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0，b0).点P(2，3)在直线l上.2a3b1，则ab3a2b2 6ab，故ab24，当且仅当 3a2b(即a4，b6)时取等号.因此SAOB12ab12，即SAOB的最小值为 12.答案(1)A(2)12探究提高1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练 1】 (1)(2017贵阳质检)已知直线l1：mxy10，l

6、2：(m3)x2y10，则“m1”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_.解析(1)“l1l2”的充要条件是“m(m3)120m1 或m2”，因此“m1”是“l1l2”的充分不必要条件.(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.A(1，1)，B(0，1)，kAB11012.两平行直线的斜率k12.直线l1的方程是y112(x1)，即x2y30.答案(1)A(2)x2y30热点二圆的方程【例 21】(1

7、)(2016天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， 5)在圆C上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆C的方程为_.(2)(2015全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点， 且圆心在x轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为_.解析(1)圆C的圆心在x的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线 2xy0 的距离d|2a0|54 55，解得a2.圆C的半径r|CM| （20）2（0 5）23，因此圆C的方程为(x2)2y29.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，2)，(4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，2)，

8、(4，0).设圆的标准方程为(xm)2y2r2，则有m24r2，（4m）2r2，解得m32，r2254，所以圆的标准方程为x322y2254.答案(1)(x2)2y29(2)x322y2254探究提高1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充

9、分运用圆的几何性质.【训练 2】 (1)(2017河南部分重点中学联考)圆心在直线x2 上的圆与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则该圆的标准方程为_.(2)圆心在直线x2y0 上的圆C与y轴的正半轴相切， 圆C截x轴所得的弦的长为 2 3， 则圆C的标准方程为_.解析(1)易知圆心的纵坐标为4（2）23，所以圆心坐标为(2，3).则半径r （20）2（3）（2）2 5，故所求圆的标准方程为(x2)2(y3)25.(2)设圆心a，a2 (a0)，半径为a.由勾股定理得( 3)2a22a2，解得a2.所以圆心为(2，1)，半径为 2，所以圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(1)(

10、x2)2(y3)25(2)(x2)2(y1)24.热点三直线与圆的位置关系命题角度 1圆的切线问题【例 31】(2017郑州调研)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.解析直线mxy2m10 恒过定点P(2，1)，当AP与直线mxy2m10 垂直，即点P(2，1)为切点时，圆的半径最大，半径最大的圆的半径r （12）2（01）2 2.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22命题角度 2圆的弦长相关计算【例 32】(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2 与x轴交于A，B两点

11、，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为1x11x212，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明BC的中点坐标为x22，12 ，可得BC的中垂线方程为y12x2xx22 .由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为xm2.联立xm2，y12x2xx22 ，又x22mx220，由解得xm2，y12.所以过A，

12、B，C三点的圆的圆心坐标为m2，12 ，半径rm292.故圆在y轴上截得的弦长为 2r2m223，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练 3】 (1)(2017泉州质检)过点P(3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2y21 相切，则a的值为_.(2)(2016全国卷) 已知直线l：x 3y60 与圆x2y212 交于A，B两点，过A，B分别作l的垂

13、线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析(1)点P(3，1)关于x轴的对称点为P(3，1)，所以直线PQ的方程为x(a3)ya0.依题意，直线PQ与圆x2y21 相切.|a|12（a3）21，解得a53.(2)由圆x2y212 知圆心O(0，0)，半径r2 3，圆心(0， 0)到直线x 3y60的距离d6133， |AB|2 12322 3.过C作CEBD于E.如图所示，则|CE|AB|2 3.直线l的方程为x 3y60，直线l的倾斜角BPD30，从而BDP60，因此|CD|CE|sin 602 3sin 604.答案(1)53(2)41.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局

14、限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2

15、)两个公式：点到直线的距离公式d|Ax0By0C|A2B2，弦长公式|AB|2r2d2(弦心距d).4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2017昆明诊断)已知命

16、题p：“m1”，命题q：“直线xy0 与直线xm2y0 互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要解析“直线xy0 与直线xm2y0 互相垂直”的充要条件是 11(1)m20m1.命题p是命题q的充分不必要条件.答案A2.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50B.2xy70C.x2y50D.x2y70解析依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k2.故圆的切线方程为y12(x3)，即 2xy70.答案B3

17、.(2017济南调研)若直线xym0 被圆(x1)2y25 截得的弦长为 2 3，则m的值为()A.1B.3C.1 或3D.2解析圆(x1)2y25 的圆心C(1，0)，半径r 5.又直线xym0 被圆截得的弦长为 2 3.圆心C到直线的距离dr2（ 3）2 2，因此|10m|12（1）2 2，m1 或m3.答案C4.(2015全国卷)已知三点A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.2 53D.43解析设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，D2，E4 33，F1，ABC外接圆的圆心为1，

18、2 33，因此圆心到原点的距离d122 332213.答案B5.(2017衡水中学模拟)已知圆C：(x1)2y225，则过点P(2，1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.10 31B.9 21C.10 23D.9 11解析易知最长弦为圆的直径 10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC| 2，最短弦的长为 2r2|PC|22 2522 23，故所求四边形的面积S12102 2310 23.答案C二、填空题6.(2017广安调研)过点(1，1)的直线l与圆(x2)2(y3)29 相交于A，B两点，当|AB|4 时，直线l的方程为_.解析易知点(1，1)在圆内，且

19、直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y1k(x1)，即kxy1k0.又|AB|4，r3，圆心(2，3)到l的距离d 3222 5.因此|k2|k2（1）2 5，解得k12.直线l的方程为x2y30.答案x2y307.(2017北京卷)已知点P在圆x2y21 上，点A的坐标为(2，0)，O为原点，则AOAP的最大值为_.解析法一由题意知，AO(2，0)，令P(cos，sin)，则AP(cos2，sin).AOAP(2，0)(cos2，sin)2cos46，故AOAP的最大值为 6.法二由题意知，AO(2，0)，令P(x，y)，1x1，则AOAP(2，0)(x2，y)2x46，故AOAP的最大值为

20、 6.答案68.(2017菏泽二模)已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为_.解析圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4，1)，半径r3.又直线l：ya(x3)过定点P(3，0)，则当直线ya(x3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此akCPa10431，a1.故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30.答案xy30三、解答题9.已知点A(3， 3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10 和l2：xy30 的交点，求直线l的方程.解解方程组3xy10，xy30，得交点P(1，2).

21、若点A，B在直线l的同侧，则lAB.而kAB323512，由点斜式得直线l的方程为y212(x1)，即x2y50.若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点4，52 ，由两点式得直线l的方程为y2x152241，即x6y110.综上所述，直线l的方程为x2y50 或x6y110.10.(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21 交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若OMON12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以|2k31|1k21.解得4 73k4 73.所以k的

22、取值范围为4 73，4 73.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x24（1k）1k2，x1x271k2.OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k）1k28.由题设可得4k（1k）1k2812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.11.(2016江苏卷节选)如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600 及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6 上，求圆N的标准方程；

23、(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程.解(1)圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为 5，(1)由圆心N在直线x6 上，可设N(6，y0).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以 0y07，圆N的半径为y0，从而 7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为40202.设直线l的方程为y2xm，即 2xym0，则圆心M到直线l的距离d|267m|5|m5|5.因为|BC|OA| 22422 5，又|MC|2d2|BC|22，所以 25（m5）255，解得m5 或m15.故直线l的方程为 2xy50 或 2xy150.高考数学复习精品高考数学复习精品