求函数的值域的方法大全

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1、求函数值域方法大全（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数y x2的值域是y|y 0 ,可知ymm 02、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值如：函数y 1的值域是y | y 。，但ymin无，ymax无 x4、有的函数有最大值但无最小值如：函数y x2 , ymax 。，

2、但ymin无5、有的函数有最小值但无最大值如：函数y 上下,ymin2，但ymax无1 x6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是一个不等式构成的集合如：常数函数f（x） 2的值域是27、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。如：已知值域y| 3 y 1 ,只有ymin 3,而ymax无9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域函数名函数解析式定义域值域一次函数RR二次函数R-I4ac ba 0 时，y | y4a/u2d ，4ac b 、a 0时，y|y 4a反比例数指数函数

3、R对数函数R正弦函数R-1,1 余弦函数R-1,1 正切函数R（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y的不等式出来（以后者为重）如：已知函数f（x） 2x 1 , x 0,1,2,3,5贝U此i函数的值域是（）A 9,1,2,3,5 ; B、1,1,3 ; C、9,1, 1,3,5 ; D x| 1 x 9法（一）：观察法【及时反馈】1、函数f（x） 2x 1的值域是（）A、（ ，1） ; B、1,）; C、R; D、（ 1,）法（二）：反函数法i、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所7K：定义域值域原函数y f (x)AC反函数y f

4、1(x)CA由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域ii、求反函数的步骤(“三步曲”)求x (y);x、y互换；通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】(1)、求函数f(x) 2x，的值域x 1、求函数f(x) 的值域 5x 4法(三)：分离变量法常用于求形如f(x) ax(ac 0)的函数的值域cx d求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把 f(x)化成“常量十三”的形式来。cx d【及时反馈】(1)、求函数f(x) 2x/的值域x 1、求函数f(x) 的值域 5x 4通过以上两题的值域的求解，你发现了什么？(形如f(x) ax(ac 0)的函数的值域是 y|y

5、a ) cx dc(3)、已知函数f(x) 必x的值域是y|y 1 ,则a的值是 2x 12法(四)：基本不等式法若 a0,b0，则 a b 2ab , ab (-a-)【及时反馈】求y JU的值域(答：(，3U1,)x 1在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意：“一正二定三相等,和定积最大，积定和最小”这 17字方针法(五)：配方法常用于二次型函数y af 2(x) bf(x) c(a 0)的最值与值域的求解。配方步骤：1、把二次项系数化为1;2【及时反馈】(1)、若a、b是正数且a b 3ab,则ab、a+b的取值范围分别是(2)、已知实数22mx n满足mn0,则mL的值（）mnA、有

6、最小值但没有最大值；B、有最大值但没有最小值；C、既有最大值也有最大值；D没有最大值也没有最小值；y 工型，可直接用不等式性质， k x【及时反馈】求y 3的值域(答：(0,3)2 x2yx一型，先化简，再用均值不等式， x mx n【及时反馈】求函数y 丘的值域(答：0) x 322y X代n型,可用判别式法或均值不等式法， mx n2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方;3、把前三项凑成完全平方式。(一)、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解技巧1:通过配方后得到y当 a 。时，ymin当 a 。时，ymax4ac b2 4a4ac b2 4a技巧2:求出对称轴，然后把对称

7、轴带入原函数即得【及时反馈】(1)、求函数y x2 x 1的最值与值域。(2)、求函数y 1x2 2x 1的最值与值域(要求配方后作出函数的图(3)、求函数y v x2 2x 8的最值与值域。2(4)、求函数y x_上的最值与值域。(提示：分离变量后用配方 x x 1法,当然还可以用判别式法处理本题。答案：1 )(二)、带有限制条件二次型函数的最值与值域的求解有两类：1、是求具体函数(即不含字母参数的)在闭区间m,n上的最值与值域;技巧1：通过配方后画出图形，由数形结合即可求解带有限制条件的二次函数图像的画法须注意以下几点：对称轴；开口；顶点；与坐标轴的交点 注意：先画全图，后根据定义域加以取

8、舍。技巧2:可不画图求出对称轴，看对称轴与区间的位置关系若对称轴包含在区间内，则把端点及对称轴处的函数值全求出来加以比较，最大者为最大值，最小者为最小值。若对称轴在区间外，则只需把端点处的函数值求出来即可最大者为最大值，最小者为最小值。【及时反馈】(1)、求函数y x2 X 1(x 0)的最值与值域。(2)、求函数 y x2 2x 5,x 1,2的值域(答：4,8)；(3)、求函数y x2 2x 3在如下区间中的的最值与值域。i、 ( 4, 2 ; ii、 ( 1,2 ; iii、 (3,5) ; iv、(，)(4)、求函数y sinx cos2x的最值与值域。(提示：先转化为带有限制条件的二

9、次型函数的最值与值域的求解)(5)、若 27 x 9,则函数 f(x) 10g3 27?log3(3x)()A、有最小值32,最大值-3; B、有最小值4,最大值12;9C有最小值32,无最大值；口无最小值，有最大值12;92、是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题(即含字母参数的)。此时要分“轴在区间左；轴在区间右；轴在区间内”三种情况加以讨论【及时反馈】(1)、当x (0,2时，函数f(x) ax2 4(a 1)x 3在x 2时取得最大值，则a的取值范围是(答：a 2)；(2)、分别根据下列条件，求实数 a的值：i、函数f(x) x2 2ax 1 a在区间0,1上有最大值2；(答案：a

10、=-1或2)ii、函数f(x) ax2 2ax 1在区间 3,2上有最大值4；(答案：a=-3或3)8iii、函数f(x) ax2 (2a 1)x 1在区间 -,2上有最大值3；2(答案：a=1或-) 23(3)、求函数f(x)x2 2ax 1 a在区间0,1上的最大值。小结：求二次函数的最值与值域问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。法(六)：换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型代数换元法【及时反馈】1、(1)、求函数y xmF的最值与值域。解：y x . x 1 (x 1)

11、, x 1 1令t (运用换元法时，要特别要注意新元t的范围)，易知t 0(why?)所以x 1 t2,所以y t2 t 1(t 0),欲求原函数的值域，只需求y t2 t 1(t 0)的最值与值域即可(解法同上面的【及时反馈】)。(2)、求函数y x4的最值与值域。(答案： 1)2、y 2sin2x 3cosx 1 的值域为(答：4,17);83、y 2x 1 口不的值域为 (答：(3,)(令口1 t, t 0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围)；4、y sin cos sin cos 的值域为(答：1,1回)；5、求函数yx2 2x 4x 2x2 14的最值与值域。三角换元法【及时反

12、馈】思考：此题同上面的 【及时反馈5】)有何区别与联系？解：定义域优先考虑：由1 x2 0得1 x 1联想到三角函数中的sin ,cos的范围不就也是1 sin ,cos 1 吗？所以令 cos x,其中 x 0, (why?),则V1 x2 V1 cos2Jsin2|sin | sin (why?)所以求函数y x yT丁的最值与值域问题就转化为求函数y sin cos ,0,最值与值域。(下略)(1)、求函数y x 的最值与值域。(2)、已知变量x,y满足x2 y2 1,求3x 4y的最值。(3)、已知变量x,y满足1&2 25y2 400,求3x 4y的最值。2.2(4)、已知 x (0

13、,1),ab 0,则 f(x) -b的最小值为()x 1 xA (a b)2B、(a b)2C、a2 b2 D 2 ( a2 b2)(5) y x 4 J9 x2 的值域为 (答：1,3& 4);法(七)：单调性法若函数f(x)在区间a,b内单调递增，则yminf(a),ymaxf(b)；若函数f(x)在区间a,b内单调递减，则yminf (b) ,ymaxf(a)；【及时反馈】1、求函数y x Jx 1的最值与值域。易知此函数的定义域为1,而在此区间内函数递增，故当 Xmin 1 时，ym. ”1) 1。2、求函数y X JF”X的最值与值域。(答案：,1 )3、求函数y X 1 (1 x

14、9)的最值与值域。 X法(八)：判别式法对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部2分分式后，再利用均值不等式。如 y分mX n型,通常用判别式法 x mx n【及时反馈】(1)求y 一丁的值域。1 X2 xz O(2)、求函数y1X 2的最值与值域。 X X 1、若函数y 的值域是1,4,则a,b的值为x 1(答:a=4,b=3,)2 门(3)、已知函数y 10g3mx 28x n的定义域为R,值域为0 , 2,求常数 x 1m,n的值(答：m n 5)判别式法的思想意义： “判别式法”这种思想方法巧妙的把函 数

15、、不等式、方程有机的勾结起来，使得函数、不等式、方程三者互相 转化的思想体现得淋漓尽致。法(九)：导数法导数是高等数学中的一个极其重要的概念，是处理很多函数问题 的有力工具，自从高中数学引入了导数，函数问题的处理思想和方法置 于更加广阔的天地之中。一般适用于高次多项式函数的最值与值域的求 解。曾记否？用导数求函数的最值与值域的步骤：【及时反馈】(1)、求函数 f(x) 2x3 4x2 40x, x 3,3的最小值。(答：一48)(2)、(2005高考贵州卷)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无 盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角，再 焊接而成(如图)，问该

16、容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多 少？解：设容器的高为x,容器的体积为V 1分贝U V= ( 90-2x ) (48-2x ) x,(0x24)=4x3-276x 2+4320X 5分. V =12x2-552x+4320 7 分由 V =12x2-552x+4320=0 得 xi=10, x2=36. x0,10x36 时，V 36 时，V 0, 所当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 10分V(0)=0,V(24)=0 11分当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 12分(3)、 (2008年高考重庆卷)已知函数y鼠的最大值为M,最小值为m则四的值为()

17、A、4； B、表 C 今 D;答案：C(4) . (2004年高考贵州-理22)(本小题满分14分)已知函数 f(x )=ln(1+ x)x, g(x)=xlnx.(I )求函数f(x)的最大值；(n)设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g( 1)/x2_6x13 Vx24x5及 y Vx26x13 Vx24x5的值域（答：3,）、（ 726,726）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 X轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在X轴的同侧。（4）、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域与最值（答：3,）;本题也可用绝对值的几何意义来求解。形如y二|x-a| + |x-

18、b|的函数称为“牛角函数”（因其图像牛角而得名），补图其可以转化为分段函数来研究，值域都是|a b|,形如y=|x-ai|-|x-b| 的函数称为“ Z字形函数”（因其图像 Z而得 名），补图其可以也可转化为分段函数来研究，值域都是|a b|,|a b|（5）、已知对于任意的实数 x,均有|x+1|+|x-2|a恒成立，则a的取值范围是法（十一）：函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性【及时反馈】（1）、求函数y 2sin1的值域1 sin解：由y 型in1变形得sin因为1 sin 1 ,所以1 sin2 y1工1,

19、解此不等式即得。（答案：（工）2 y2、y 等一1的值域（答：（,3）;、y 三（答案：（0,1）；1 cos21 3法（十二）：对勾函数法、已知0 t 1,则f:A、15; B、63; C、2; D【及时反馈】t的最小值是()-2；(2)、(2008年高考江西卷)已知函数y f(x)的值域是1,3 ,则函数 2F(x) f(x)的值域是()f (x)A、6% B、2,号；C、5,当；D3,10；232 33答案：B提醒：(1)求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？函数的最值与值域综合练习1 .函数f(x) x2 2x 2( x 1,0)的最小值是()A. 1 B. 2C. 5 D

20、. 02 .若集合 M y|y 2x , N y|y x2,则 M U N 等于()A. 0, ) B . (0, ) C. D. 01-3 .设a 1,函数y logax在区间【a,2a】上的最大值与最小值之差是则a =A、2B、2 2C、4D 24 .已知集合 A y | y 10g2x,x 1 , B y |y (1)x,x 1 ,则 A B =1 1A、y|0 y - By|0y1C、y|1 y 1 D2 25 .已知集合 A=x|y=, B=y| y=x2+1,贝 U AU CrB=()A. ? B. RC. 1 , +8)D. 10 , +00)6 .若函数f(x) log a X

21、在2,4上的最大值与最小值之差为 2,则a二7、函数y 2x 1,x1, 2,0,1,3的值域是二7、函数y，的值域是.2 x2一8 .(本题满分12分)设f(x) ax2 (b 1)x a ab ,不等式f(x) 0的解集是(2,0)。(1)求a,b的值；(2)求函数g(x) 2 f 在2,4上的最大值 x x 2和最小值。9 .已知函数 f(x) 3x,f(a 2) 18, g(x) 3ax 4x。 (1)求实数 a 的值；(2)若ma 1,求g(m)的值；(3)求g(x)在2,0上的值域。10、若函数f x loga x a 4 a 0,且a 1的值域为R,则实数a的取值范x围是(答：0 a 4且a 1)；2解：易知定义域为 R,由y 22匕变形得(y 2)x2 (y 1)x (y 2) 0 x x 1(当二次项系数为字母参数时注意对其分等于0和不等于0两情形加以讨论)当y 2 0时，即y=2,方程变为3x 0 0,此时x 0 R当 y 2 0 时，即 y 2,因为 X R方程(y 2)x2 (y 1)x (y 2) 0恒有实根k (y 1)2 4(y 2)2 0 1 y 5-2又2 y |1 y 5 k y4一x上值域为y |1 y 5X X 11. 1 8a11 8a1 .1 8a(2)令 f (x) 0，得两根 x12 ，x12 ，x22一