分式方程培优讲义

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1、分式方一、含有参数方程若关于x的分式方程"'的解为非负数，贝U a的取值范围是x-222.分式方程i=1- 的根为x(x+l) x+13.若数a使关于x的分式方程亠+=4的解为正数，且使关于y的不等式组x-11-x*32 的解集为y v- 2,则符合条件的所有整数a的和为2(y-a)<0、方程无解2.3.若关于x的方程:=-1无解，则m的值是x-3若=0无解，x-4 4-k 若关于x的分式方程x-2则m的值是" 无解，求a=广-5計6三、有增根1、2、3、4、亘-二=1时出现增根，那么m的值为x-22-x关于x的分式方程丄-旦有增根，则增根为 .X-l X-1

2、若关于x的方程丄亠有增根，则m的值是.x-2k-2解关于x的方程+，:=产生增根，则常数a=x-2 x2_4x+2如果解关于x的分式方程2、3.四、整体代入解方程已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于 yx +2x的整式方程是.用换元法解方程三-2?H +1=0时应设y=.2x+l x-2如果实数x满足(x+)2 -(x+)- 2=0，那么x+的值是四、实际问题1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用 14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多 价比第一批每件衬衫的进价多 购进x件衬衫，则所列方程为A Ci - 10

3、二一丨!ii；、|：40%每件衬衫的进 10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批)10000 +10= 14700.(1+4 霸)況 +10= ' 1 11.U二丄C _ 10000_ 10_1 鉀002艘轮船在静水中的最大航速为 35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（）A 120 =9。 B 120 二 9Q C 120 二 9Q D 1 如=90 v+35 ¥-3535r 35+vv-35 v+3535+v 35r3 .甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做

4、90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做 x个零件，下面所列方程正确的 是（ ）A 90 _ 60 B 9060 C 9060 D 9060x x-6x x+6x-6 xx+6 x4. 2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树 x万棵，可列方程是（）A=5 T (1+20%)Xc.+5二20%k x_ =5门：=5'（1+20%） x5.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车

5、 合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为（A. I 十'=16 x某环卫公司为清理卫生死角内的C丨.十=丨.”一【同步训练】1 .如果关于x的不等式组匚2的解集为x> 1，且关于x的分式方程：十.=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（A.- 2 B . 4 C . 7 D . 82.从-2、- 1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为 m若数m使关于x的不等式组$>时 无解，且使关于x的分式方程土碍纟=-1有非负-2z-l>4nri-lx-2 2-x整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（）A.

6、 1 B . 2 C . 3 D . 43.若关于x的分式方程+3="无解，则实数m x-1x-14 .若关于x的分式方程二+ =3的解为正实数，贝U实数m的取值范围是x-2 2-x5.甲、乙工程队分别承接了 160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天 多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每 天铺设x米，根据题意可列出方程：6 .某市为绿化环境计划植树 2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%结果提前8天完成任务若设原计划每天植树 x棵，则根据题意可列方 程为.7.关于x的方程：x+ =c+ 的解是 Xi=c, X2J ； x=C丄的解

7、是 Xi=c, X2=K CCMC-一，贝U x+ =c+ 的解是 xi=C, X2=.ci-3c-38. 若数a使关于x的不等式组22"有且仅有四个整数解，且使关于 yh+4>p的分式方程亠+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是y-22-r（ ）A. 3 B. 1 C. 0 D . - 39. 如图，Rt ABC中, Z B=90°, AB=3cm BC=4cm 点 D在 AC上, AD=1cm 点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C-B-A-C的路径匀速 运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了 2cm 并沿B-C

8、-A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动， 两点在D点处再次相遇后停止运动，设点 P原来的速度为xcm/s.（1） 点Q的速度为cm/s （用含x的代数式表示）.（2）求点P原来的速度.12.定义新运算：对于任意实数a, b （其中a0）,都有a?b-吐，等式右a a边是通常的加法、减法及除法运算，例如 2?3=-罕 =+ =1.2 2 2 2（1）求（-2） ?3的值；（2）若x?2=1,求x的值.2017年12月02日峰尚的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题（共14小题）1. 若关于x的分式方程：的解为非负数，贝U a的取值范围是（）A -WMA. a1B. a&

9、gt; 1C. a1 且 a4D. a> 1 且 a4【解答】解：去分母得：2 （2x- a） =x - 2,解得：x=厶由题意得：二0且生工工2,33解得：a1且a4,故选：C.2. 若数a使关于x的分式方程丄+ '| =4的解为正数，且使关于y的不等式组x-11-1止丄>1“32 的解集为y V- 2,则符合条件的所有整数a的和为（）2（y-aX0A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【解答】解：分式方程+二_=4的解为且x工1,x-1 1-x4关于x的分式方程=4的解为正数，x-11 -X A_l>0 且二工 1,44二 av 6 且 a2.得少解不等式

10、得：yv- 2；解不等式得：yw a.毕丄>1关于y的不等式组，32 的解集为yv-2,L2(y-a)<0a一2.- 2 w a v 6且 aM 2. a为整数，-a= 2、 1、0、1、3、4、5,(2) + ( 1) +0+1+3+4+5=10 故选A.( <j_k+23 .若数a使关于x的不等式组，2% 2X £有且仅有四个整数解，且使关于0+4的分式方程+,严有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是(【解答】解：解不等式组*2K3 心半A. 3 B. 1 C. 0 D.- 3 1却+2,可得|f x+4-a1L不等式组有且仅有四个整数解， 1w- 一亠0

11、,7 4 v a w 3,解分式方程"+=2,可得y (a+2),y-2 2-r2又'分式方程有非负数解， y>0,且 y工2,即 1 (a+2)> 0,- (a+2)M 2,解得a> 2且aM2, 2waw3,且 am2,满足条件的整数a的值为-2, 1, 0, 1, 3, 满足条件的整数a的值之和是1.故选：B.4 分式方程=1的根为（A. 1 或 3 B. 1 C . 3 D. 1 或3 【解答】解：去分母得：3=x2+x- 3x,解得：x= - 1或x=3,经检验x=- 1是增根，分式方程的根为x=3, 故选C5.如果解关于x的分式方程A.- 2 B

12、 . 2C. 4 D.- 4° =1时出现增根，那么m的值为（2-x【解答】解:去分母，方程两边同时乘以x - 2,得：m+2x=x- 2,由分母可知，分式方程的增根可能是 2,当 x=2 时，m+4=- 2,m= 4，故选D.6 .某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用 14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进 衬衫，则所列方程为（A .'.' J： - 10=.葢"（1+40%） XC 10000 - 10=皿C 一 ：0=

13、【解答】解：设第一批购进丄工+10=葢（1+4Q小.)B.D.10000+10=需(l+40«x+1o4m(1-40%) x x10000x件衬衫，则所列方程为:故选：B .7. 一艘轮船在静水中的最大航速为 35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h， 则可列方程为（）A小二一 B"=C： = D【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：= '，35+v 35-v 故选：D .8.甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 6个，甲做90个所用的时间 与乙60个所用的时间

14、相等.设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（ ）A 90 _ 6Q B 90 _ 6Q c 90D 90x x-6葢 k+6x-6 xx+6 x【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（X-6）个零件，由题意得，£二一.X k-6故选A.9. 2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%结果提前5天完成任务，设原计划每天植树 x万棵，可列方程是（）A 30=5 B 30 =5x (1+20%) kx 20%xC.；+5 =5【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要二天完成,实际每天植树

15、（X+0.2X ）万棵,提前5天完成任务，-：川=5" '一，需要30(1+2 珊)X天完成,故选（A）10. 西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！ 某环卫公司为清理卫生死角内的 垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为 x小时，根据 题意可列出方程为（）A 竺1=1 b.空2 AC.空44D 竺1=16 x6x23x23 x【解答】解：由题意可得，1. 2 1. 2 1巧，故选B.11. 若关于x的方程上牛-霁 =1无解，则m的值是（）x-33-xA. m B. m=3 C m或 1

16、 D. m或 3 333【解答】解：去分母得：3 2x+mx- 2= x+3，整理得：（m- 1） x=2，当m-仁0，即m=1时，方程无解；当m- 1工1时，x 3=0,即x=3时，方程无解，此时亠=3,即卩m=， m-13故选C12. 若-=0无解，则m的值是（）x-4 4-xA. 2 B . 2C. 3D. 3【解答】解：方程两边都乘（x - 4）得：m+1- x=0,方程无解，x- 4=0,即 x=4,m+1 4=0,即m=3故选C.13 如果关于x的不等式组* 2的解集为x > 1,且关于x的分式方程k-4<3 （x-2）二=3有非负整数解，则符合条件的 m的所有值的和是

17、（）2-x k-2A.- 2 B .- 4 C .- 7 D .- 8$卫0【解答】解：2,/-4<3（x-2）-解得x>m解得x> 1.不等式组的解集是x > 1,则me 1.解方程匕+亠=3,2-x x-2去分母，得 1 - x - m=3（2 - x）,去括号，得1 - x - m=6- 3x,移项，得-x+3x=6 - 1+m合并同类项，得2x=5+m系数化成1得x=：.分式方程i 一；十工 '-r.=3有非负整数解,.5+m> 0,.m>- 5,.- 5< m< 1,m=- 5，- 3, 1,.符合条件的m的所有值的和是-7,

18、故选C.m若数m使关于十二=-1有非负14.从-2、- 1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为 x的不等式组Cj解，且使关于x的分式方程总整数解，那么这一个数中所有满足条件的 m的个数是（）A. 1B. 2 C. 3D. 4【解答】解：不等式组整理得：（乡+2kx*i-2in-l由不等式组无解，得到 m+2>- 2m- 1,解得：m>- 1 即 m=- 1, 0, 2, 5,分式方程去分母得：x - m+2=- x+2,即x= - m,2把m=- 1代入得：x=- 一，不符合题意；2把m=0代入得：x=0,符合题意；把m=2代入得：x=1，符合题意；把m=5代入得：x=2.5

19、，不符合题意，则所有满足条件m的个数是2，故选B二填空题（共15小题）15. 若关于x的分式方程+3='无解，则实数m= 3或7.x-1x-1【解答】解：方程去分母得：7+3 （x- 1） =mx整理，得（m- 3） x=4，当整式方程无解时，m- 3=0，m=3当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，二 m- 3=4，m=7 m的值为3或7.故答案为3或7.16. 若关于x的分式方程=3的解为正实数，贝U实数m的取值范围是 mx-2 2-xV 6 且 m 2.【解答】解：二+ : =3，葢-22-x方程两边同乘（x- 2）得，x+m- 2m=3x- 6，解得，x=-F. 工 2二

20、，二 nn 2，由题意得，-二0，解得，mV6，故答案为：mV6且2.17. 甲、乙工程队分别承接了 160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天 多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天 铺设x米，根据题意可列出方程： 曲三_ .x x+5意得：160=200x x+5故答案是:【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题11. =；!«K x+518. 某市为绿化环境计划植树 2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多 20%结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树 x棵，则根据题意可列方程 为=8，【解答】解：设

21、原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20% x=1.2x ,根据题意可得：卫卫-=8,故答案为：土二-二匚=8 .K 1.2x19 .若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是 m>- 1且mx-1工1.【解答】解：去分母得，n仁2 （x - 1）,-x=一1一二，方程的解是非负数， m+1> 0 即存-1又因为x- 1工0， xm 1， 1， nM 1，则m的取值范围是m>- 1且nM 1.故选：m>- 1且nM 1.20. 若关于x的分式方程 一+=2有整数解，整数m的值是 1, 3, 4，- 2,x-2x-26 .【解答】解：去分母得：mx- 1+仁

22、2x- 4,整理得：（m- 2） x=- 4,解得：x=-,tn-2由分式方程有整数解，得到 m- 2=- 1, 1,- 2, 2,- 4, 4,且x - 2工0, 解得：m=1 3, 4,- 2, 6, 故答案为：1, 3, 4,- 2, 621. 已知在方程x2+2x+ =3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于yJ十2k的整式方程是 y2- 3y+2=0 .【解答】解：设y=x2+2x,贝U原方程可化为y+=3,y 去分母，得y2- 3y+2=0.故答案是：y - 3y+2=0.22 .用换元法解方程启-2?互%+1=0时应设y=_子羊_.2x+l x-22x+l【解答】解：设

23、k ,贝U原方程变为二+1=0,2x+ly故答案为：.2x+l23如果实数x满足（x+1 ） 2-（x+1 ）- 2=0,那么x+1的值是 2【解答】解：设x+-=u,原方程等价于u2- U-2=0,解得u=2或u=- 1,x+=2或x+丄二-1 （不符合题意，舍），KX故答案为：2.24. 关于x的分式方程 有增根，则增根为 x=1 .X-l K-1【解答】解：原方程有增根，二最简公分母x -仁0,解得x=1.故答案为x=1.25. 若关于x的方程二一二有增根，则m的值是 4.x-2x-2【解答】解：方程两边都乘（x - 2）,得 x+2=m原方程有增根，最简公分母（x- 2） =0,解得x

24、=2,当 x=2 时，m=2+2+4故答案为：4.26若分式方程.-的解为正数，则a的取值范围是av8,且a4x-4m-4【解答】解：分式方程去分母得：x=2x- 8+a,解得：x=8 - a,根据题意得：8 - a>0, 8 - aM4,解得：av8,且aM4.故答案为：av8,且aM4.27.关于 x的方程：x+=c+丄的解是 xi=c, X2=; x-丄=c- 的解是 xi=c, X2=1则 x=c+ -的解是xi=c,【解答】 解： X+丄=C+的解是Xi=c, X2= ； x-丄=C-=的解是Xi=c, X2=-丄X CCXcc故答案为3+.c-328 若关于x的分式方程亠-厶

25、二无解，求a= - 1 或 2 .x-23-x x2-5x+6【解答】解：去分母得：3-x-a （x- 2） =- 2,即（a+1） x=2a+5,当a=- 1时，显然方程无解；当a工1时，x,a+1当x=2时，a不存在；当 x=3 时，a=2，综上，a的值为-1或2. 故答案为-1或2.29. 解关于x的方程丄+：=产生增根，则常数a= - 4或6 .x-2 x2_4x+2【解答】解：去分母得：2x+4+ax=3x- 6，由分式方程有增根，得到（x+2） （x - 2） =0,即x=2或x=- 2，把 x=2 代入得：8+2a=0,即 a= - 4;把 x=- 2 代入得：-2a=- 12,

26、即 a=6，综上，常数a=- 4或6,故答案为：-4或6三.解答题（共6小题）30. 如图，Rt ABC中，/ B=90° , AB=3cm BC=4cm 点 D在 AC上，AD=1cm 点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C-B-A-C的路径匀速 运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了 2cm 并沿B-C-A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动， 两点在D点处再次相遇后停止运动，设点 P原来的速度为xcm/s .（1）点Q的速度为 x cm/s （用含x的代数式表示）.3 （2）求点P原来的速度.【解答】解：（1）设点Q的

27、速度为ycm/s, 由题意得3宁x=4宁y,y= x,y 3 '故答案为：x ；J(2) AC=. |；：'=匕十 -=5,CD=5- 1=4,在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2） cm/s,由题意得 解得：x= (cm/s),5经检验x=是原方程的根，5答：点P原来的速度为 cm/s.531 .若关于x的方程'-曰 x2-l去分母，得2 (x+1) =x去括号，得2x+2=x移项、合并同类项，得x=- 2经检验x=- 2是原方程的解.33.定义新运算：对于任意实数a，b (其中a 0)，都有a?b丄-吐，等式右a a边是通常的加法、减法及除法运算，例如 2?

28、3- - + =1.2 2 2 2 求(-2) ?3 的值； =1的根是2,求(m- 4) 若x?2=1，求x的值.【解答】解：(1)原式=- =-3-2 -2(2)由题意可知：丨1 -(x - 2) =x1 - x+2=x-2m+8的值. x 2x【解答】解：关于x的方程、丄=1的根是2,X 2z把x=2代入方程得：2' =1,解得：m=4贝U( m- 4) 2-2m+8=(4 -4) 2 - 2X 4+8=0.32 .设 A=B= ?-1(1) 求A与B的差；(2) 若A与B的值相等，求x的值.【解答】解：(1) A- B='曰 z2-l=:.<-j.=:.-x+2(2)v A=Bx=22013-经检验，x=是原方程的解'34. (1)计算：(冗2) °+ .+ (- 1)(2)解分式方程：一- 一=1.s+1x-1【解答】解：(1)原式=1+2 1 4=2;(2)去分母得 x (x 1) ( x+1) = (x+1) (x 1), 解得x=0,经检验，x=0为原方程的根.35.解方程：+=. k+3 3-x【解答】解：去分母得：x-4+x 3= 2x 6, 解得：x=,4经检验x=是分式方程的解.