单位脉冲函数及傅里叶变换的性质

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1、11 ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( )f tFFf tFf tf tF若则；若则FFFF1( )( )f tFFF( )( )i tFf t edt傅氏变换1( )( )2i tf tFe d傅氏逆变换( )( )f tF傅氏变换对( )( )f tF称为原像函数，称为像函数。复习：单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势

2、作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数. 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)是不连续的是不连续的, 从而在从而在普通导数意义下普通导数意义下, q(t)在这一点是

3、不能求导数的在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, 则得则得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度为了确定这样的电流强度, 引进引进一称为狄拉克一称为狄拉克(Dirac)的函数的函数, 简单记成简单记成d d-函数函数: 000tttd有了这种函数有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如例如点电荷点电荷, 点热源点热源, 集中于一点的质量及脉冲

4、技术中的非常集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的以统一的方式加以解决方式加以解决.0001( )0000( )lim( )0ttttttttddd 给函数序列，定义。d(t)1/O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd工程上将工程上将d d-函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.tOd (t)1d-函数有性质： 00(1)( ) ( )d()(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf

5、 tdd及（为连筛选性质续函数）(2)( )().ttddd函数为偶函数，即二、二、d d-函数的傅氏变换为函数的傅氏变换为:0 ( )()( )ede1i ti tttFttddF于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.11( )12i tte ddF2( )i te dtd证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得01( )2( )e d12i ti tf ted 例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.证法1： 12.i ti sedtstedsd F 11( )( )e d2i tf tF证：00e2()itd 证明和构成一个傅氏例2变换对。由上面两个函数的变换可得0()0e

6、d2( )ed2()i tittt d d 012()e d2i td 00ee.iti t 00e2()itd 即和构成了一个傅氏变换对。称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。 在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 d dd d性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的

7、傅氏变换. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件|( )|df tt 例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。0( ) ( )sinedi tFf tttFt00O|F()|0sint0000j()(ee1ed(ee)d22ittititi tttii 000012()2()()() .2iid d d d 例 5 证明：0,0( ),1,0tu tt单位阶跃函数1 ( )( ).u tjd F证：1111( )( )2j tedjjd d F111( )22j tj tededjd 11cossin22tjtdj011sin11s

8、in222ttdd0,20,2sin0ttdt1110,02211( ),0( )2111,022ttu tjtd F011sin11sin222ttdd7.2 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.)()()()()()()()(111GBFABGAFtgbtfatbgtafFFFFFF1.线性性质线性性质:2. 位移性质位移性质:为实常数，则，若00,)()(tFtfF0000100 ()( ) ()( )(

9、)()j tjtjtf tteFFef tef tF，或FFF00000()0 ()()( )( )( )j tjs tj tjtj sf ttf tt edtsttf s edsef s edseF F证明： 推论：推论： ( )( )f tF若若， F0000001 ( )cos()()2 ( )sin()()2f ttFFif ttFF则，F F000001 ( )cos ( )( )21()()2ititf ttf t ef t eFFFF证明： 例1.0sin00)(0的傅氏变换求指数衰减震荡函数ttettfat解：解：00( )0attg tet令令01 ( )ati tg tee

10、dtai而F.sin)()(0ttgtf则0011 ( )2()()if taiai所以F0220()ai1 ( )( )0,11 ()() ; ()( )f tFatf atFF atfaaaa若，则FFF3. 相似性：相似性：证明：1( ),0 ()()1( ),011( )()sjas atj tsjajsaf s edsaaf atf at edtf s edsaaf s edsFaaaF4.4.微分性：微分性： 则，且若原像函数的微分性：, 0)(lim)()(tfFtftF( )( )ftj FF( )( )lim( )00,1,2,1 ,( )( )ktnnftknftjF 一般

11、地，若则F( )( )( ) ( ) ( )( )( )()( )( )( )nnnnnnFjtf ttf tjFFjt f tt f tj F 像函数的微分性：或或FFFF5.5.积分性：积分性： ( )( )lim( )(0)0,1( )( ).tttf tFf s dsFf s dsFj设，若则FF6. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parserval)等式等式221( )d( ).2f ttFd ( )( )f tF设， 则有F 实际上, 只要知道下面五个傅里叶变换, 则很多傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.022j04( )112()e2()1( )()jeetttu t

12、dd d d 0j0( )1,()ettttdd因由位移性质得例例2 利用傅氏变换的性质求d (tt0),0jet的傅氏变换.0j012( ),e2()td d 由得 若 f (t)=cos0t u(t), 求其傅氏变换。1( )( )ju td 解解：0000111( )()()2j()j()Fd d 00220j ()()2d d 00jjee( )( )2ttf tu t卷积定义：dtgftgtf)()()()(fggffghfgfhfghfgh交换律：加法分配律：结合律：卷积的基本运算规律：一、卷积的定义及运算规律一、卷积的定义及运算规律说明：12( )( )f tf tt是关于的函数

13、；例1 求下列函数的卷积：120000( ),( );,0,.0e0ttttf tf tett 解：1200( )( )edtttf tf te （）当时，12()000( )()0attff tet 或且 -012( )()ff t 0的区域如右图所示：0t120( )( )0tf tf t当时，1200( )( )edtttf tf te （）当时，001eedee1eetttttt 1200( )( )1ee0tttf tf tt故例例1 求下列函数的卷积：求下列函数的卷积：120000( ),( );,0,.0e0ttttf tf tett 由卷积的定义有由卷积的定义有012120()

14、00( )( )( )()d0ed0eed11eeeetttttttttf tf tff te 11 ( )( ) ( )( )1 ( )( )2 ( )( )2fgfgFGFGfgfgfgFGFGfg或：化简卷积运算或：化简傅氏变换FFFFFFFF二、卷积定理：二、卷积定理：（可用于化简卷积运算和傅氏变换）（可用于化简卷积运算和傅氏变换）例2 求 的傅氏变换。 0jtf tetu t001 ( )( )( )2jtjtf tetu tetu tFFFF0022011.jj d d 020211221122jjdd d d d ( )( )( ) ( ) ( )( )( )()( )( )( )nnnnnnFjtf ttf tjFFjt f tt f tj F 像函数的微分性：或或FFFF作 业习题十四 1 2 3 4 6