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1、 动态模拟直流机电系统创新的数字方法 Chen Chaoyinga,*, P. Di Barbab, A Savinib电机工程系,天津大学,天津300072,中华人民共和国电气工程系,帕维亚大学,27100年,意大利帕维亚摘要在本文中, 提出了一个名为“r k t”方法创新的数字仿真方法,新方法结合了龙格库塔和梯形方法，具有他们两个的优势。对该方法进行了误差分析并进行了修正。作为一个案例研究,考虑了直流电机作为道路小型车辆发动机起动器的的电路模型;所建议的方法用来进行机电装置的动态仿真。有效地获得具有良好的精确度结果，特别是抑制了数值振荡。关键词: 数值方法 时间 动态系统 机电一体化 直流
2、电机1 介绍几个数字方法,如欧拉,梯形,龙格库塔和线性多步方法一般用来进行数值积分和微分。欧拉方法简单,但精度低;其截止错误是O(h2),而这的梯形法减少为O(h3)。龙格库塔法相对精度高,但需要大量的计算工作;最后,多步方法具有较高的准确性,但它不能自我开始1。因此,梯形方法广泛应用于暂态数字仿真。然而,在直流系统模拟,梯形介绍了平等的振幅的数值振荡方法。因此,它的应用在本例中是至关重要的。由于后退欧拉法可以避免这样的振荡,在文献2, 提出了一个阻尼梯形法,该方法了将阻尼系数引入梯形方法有效地降低了数值振荡,但在准确性也有所降低。在仔细地分析了梯形和龙格库塔方法,本文提出了一种创新的仿真方法
3、,称为“r k t,它巧妙的结合了龙格库塔和梯形方法优势：同伴模型就像梯形方法可以表达龙格库塔法;数值振荡可以大大减弱。根据频谱分析,这种方法误差可以计算并修正，这使它可以准确有效地模拟直流系统。2 在直流系统数值振荡的梯形法考虑到如图1(a)所示的电感电路控制方程是:在当前i是未知的。使用梯形方法对时间积分,可以得到:当前h是计算的时间步长。令则:在表1(a)中描述定同伴模型显示在表1(b)中。从Eq. (1)也可以得到:表1 电感阻抗(a)和它的同伴模型(b)和(c)。当它的同伴模型见图1(c). 假设，当t =，一个直流电流流过电感阻抗，从Eq. (3) 感应分支的电压响应可以计算可以看
4、到,振荡的电压没有被抑制。否则假设，当n=k，电流被切换掉，也就是( = 0, nk); 从Eq. (3)可知:也就是电压响应也是一个未按下去的振荡。它可以证明,向后欧拉法可以避免这样的振荡。对于感应阻抗它给:可以看出, 并不依赖于,所以这使得它可以避免数值振荡但大大降低了后退欧拉法的精度。为解决这一矛盾,文献2提出了一种带阻尼的梯形方法。对微分方程:它给出对于图1显示的电感阻抗,它给:是阻尼因子,在0到1之间。当=0这个方法变成梯形的一个, 当=1这方法成为向后欧拉法。从Eq.(9),可以看到,字母系数是(1-)/(1+) 1,所以当电压振荡产生,它可以迅速衰减。更大的因素是,更快速的振荡是
5、减少和可以通过这种方法降低精度。此外,因子只根据经验选择:其最优值很难确定。3R-K-T方法龙格库塔法具有更高的精度和更好的稳定的直流系统,但它需要在单一的步骤多次计算函数值;它不能像梯形法用一个伙伴模型表达。如果一个人可以结合龙格库塔法和梯形法形成一种新方法,然后它将具有两者优点的两种方法。以三阶龙格库塔法为例,推导出新的方法。对微分方程用三阶龙格库塔法，可得到对于电感阻抗,有:当从Eq. (10)，它遵循在/2是在步骤中点的电压,它可以通过求解方程的系统发现。但是我们通过梯形法计算。这可以做到在两个不同的方式(A)和(B):(A) 取和的平均值，让代替上面的公式为Eq. (10),可以得到
6、:当很明显, /2代替Eq.(14)的三阶龙格库塔方法可以表达在图1(b)的同伴模型显示,至于梯形方法,模型的参数是:该方法的特点是,和的系数是不等的,A可用平等的振幅的梯形法去变数值振荡。它转向梯形法当R=0,即公式给出了纯电感梯形法:(B)用利用梯形法,有:用Eq(19)到Eq (13),可以得到:用上面的方程代入Eq(10),它遵循公式(20)可能是由一个电感阻抗同伴的模型表达的，如表1(b)所示,当公式(20)也像Eq.(15)衰减数值振荡的函数,它也转向纯电感的梯形法当R=0。第四次龙格库塔法,它给:同样可以获得四次龙格库塔法同伴模型如下4(A)用，可得到：当它的同伴模型在图1(b)
7、（B）用可得到当它的同伴模型在图1(b)这两个介绍的4次模型也转向梯形法对纯电感当R=0。因此,龙格库塔法结合梯形方法来形成一个新的“RKT”方法,该展现了这两种方法的优点。4 RKT方法的分析和计算误差在实际系统中,电压和电流,不管他们有哪种波形,可以用方法的频谱分析。仿真的误差可以通过分析每个频率分量;组件和理论加在一起去获得总错误。让我们假设电流和电压的一个特定的系统对任何一个频率分量v，让我们重写3次 RKT方法(20)如下:用Eq(27)代入Eq(28),可以推断:从公式的电感阻抗,有两边Eq. (29)的不同表示r k t法频率分量的错误，这样误差函数可以定义为：如果这个令人兴奋的
8、消息来源包含大量的频率组分,e(v)应该为每个频率计算组分和加在一起。所有的总和e(v)给出了总的误差函数的三阶r k t方法。5 RKT法错误的纠正从Eq(29)很明显对于角频率r k t方法的公式是不平衡的;它是由于方法本身,而不是相关的令人兴奋的来源。如果将匹配双方的Eq.(29)添加一些条目,那么它能给频率分量准确的结果。让成为令人激动的源主要的角频率,为了进行准确计算v0,必须改造Eq29如下:Eq.(32) 两边的系数都是相等的当w=时，这意味着它给准确的结果。回到Eq.(32),可以推断图2 测试电路计算Eq.(33)是公式的r k t法校正之后。如果激励源的系统只有一个频率,然
9、后校正可以为这个频率。如果系统有一个多频兴奋源,然后校正可能为占统治地位的较低的频率,具有更高的振幅。6 数值结果为了检查方法的精度, 显示在图2的电路可被考虑。它的参数是:电流准确的表达是:当h=0.1 ms上述的模型解决了显示在图2中测试电路,以及作为通过公式(34)给一个更准确的结果。在每种情况下误差被定义为在考虑的结果中最大绝对差异模型,得到了式(34)。图3对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)图4 对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)。图5对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)图6对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)图7对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)
10、图8对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)图9对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)图10对于每个模型误差曲线(T:周期)(见表1)表2直流电机参数从表1和显示在表3-10,误差曲线可以得到以下结论1. 梯形法的误差很小,阻尼梯形法是大而落后欧拉方法被证明是非常不准确的。这意味着这是一个简单的方法梯形法高精度。2. 不论是第三或第四r k t法,如梯形法错误很小。这意味着r k t的精度可与梯形法相媲美。3. 修正r k t法的误差比那梯形法一半要多。4. 对欧拉,梯形和未修正的r k t方法，正弦函数误差是稳定的,但是在几个周期修正r k t法误差是唯一的一个趋近零。这意味着纠正的方
11、法可以用来消除波动和计算准确度高。7 直流电机的动态模拟为了应用,让我们考虑显示在图11电路。它可以表示5的集总参数直流电机的模型和串励,充当发动机起动器在机电设备的道路车辆。这个电感参数通过一场在二维有限元素基础模拟在以前确定的。从设计师的观点，十分关注预测动态行为的的设备,尤其是,和估计的峰值电流。当换向器是打开了电压源,电路的控制方程可以写成:Re是源电阻，Rf是磁场绕组电阻,Lf低频磁场绕组自感,Ra是电枢电阻,La是电枢自感,G速度系数和w是角速度的电枢。图11 串励直流电机表3直流电机电流(A)模拟了不同的方法表4最大和最小错误不同的方法相比龙格库塔方法 (%)机械方程是:在J是惯
12、性矩,K是阻尼系数、T0是库仑阻尼。初始状态是零。Eq.(35)Eq.(36)是一个非线性耦合系统,为计算它们,对速度预测和校正方法被引进。7.1 模拟电机的线性参数图11中电机线性参数的在列出表2。几个数字仿真方法是用来相互比较，表3分别列出了一些龙格库塔默森6,梯形,r k t和阻尼梯形方法电动机电流计算仿真结果, (t=0.01 ms)。在龙格库塔默森方法,一个介绍参数控制误差集成的公差被引进。时间步长改变的根据误差估计。由于更高的精度,龙格库塔默森方法可以作为参考来比较其他方法。表4列出了最大和最小错误,分别为每个方法的通过龙格库塔获得默森的方法有关结果。可以看到, r k t方法最大
13、误差是小于阻尼梯形法但比梯形法要大;但r k t方法的最低误差是三个之中最小的。所以先前的部分结论已确认。图12显示了一些r k t的仿真结果图12 r k t方法的直流电机模拟(线性情况下) 图13 梯形方法的直流电机模拟(线性情况下) 方法:(a)是电枢电压;(b)是电动机电流;(c)是电动机速度;(d)是电机转速之间的关系和转矩。可以看到,结果给一个明确的过渡过程,没有振荡发生。图13代表一些模拟了梯形法结果。它显示了电枢电压的电动机显示一些向下数值振荡。7.2 模拟电机的非线性参数考虑饱和的铁的电机,参数表1中低频和G将非线性依赖电流来模拟这些非线性参数,一个曲线拟合的方法已被应用。见
14、图14显示了参数低频和曲线拟合的结果图14 参数Lf的非线性行为 图15 参数G的非线性行为 曲线拟合模型是:图15显示了非线性参数,G和曲线拟合结果。其数学模型是:为了避免图14和图15中Lf和G曲线拟合的开始所示图产生的波峰值。在图14和图15的第一段显示为虚线的分段线性案例被引进。Lf是非线性的,式(35)必须改变为:当计算完每一步, 式(39)的参数Lf,dLf / di和G必须根据新的电机电流进行修改; 然后可以继续计算下一个。在瞬态过程可以指出非线性的主效应。图16显示了r k t法的一些仿真结果。可以看出, 图15中电机的峰值电流是高于显示在图12线性情况;另一方面, 非线性模型
15、的电枢电压的特点是有时间瞬态过程。7.3 速度控制下非线性情况下的仿真为控制电机的速度,一个简单的控制系统如图17所示模拟。它包括一个时间常数的电流测量T1速度测量环,一个比较环和一个开关控制环节。在控制系统中，速度测量值与速度引用进行比较获取速度误差。由于误差的限制,它将切断;否则,它将合上的开关。所以式(39)将更改为:开关函数: 图16 r k t方法直流电机模拟(非线性情况下)r k t法速度控制( = 12 002 rad/s)下非线性情况的仿真结果中显示在图18中,(a)是电压源;(b)是电压的电枢;(c)是电动机电流;(d)是电动机转速。结果表明,r k t方法给予在直流电机模拟
16、中明确的动态过程。这个方法简单,准确度高。此外,它可以有效的消除数值振荡。8. 结论一个模拟直流系统称为r k t的数字的方法,被引用和讨论。它是以一种创新的方式结合龙格库塔梯形方法创造出的,其中保持了积极功能。所建议的方法可以在一个个人电脑桌面实现简化了计算，节省运行时间，保持了准确性。特别地,误差修正实际上可以抑制虚假的数值振荡。该方法应用到小型直流电机的电路模型在给模拟设备的动态行为效果不错。图18 r k t方法(T1 =0.002 s)速度控制非线性情况参考文献1Dommell HW 电磁暂态程序参考手册,2001。2Alvarado RL,Lasseter RH,桑切斯 阻尼解决功率瞬态问题梯形集成的测试。IEEE PAS - 1993;102(12):37833790。3Xuesong 解决常微分方程的数字方法。Xuchu,科学出版社,2003。4Chaoying 交流直流电力系统数字仿真和对继电保护谐波影响研究。博士论文,天津大学,1999。5 Woodson HH, Melcher JR. 机电动力学,第1部分:离散系统。纽约:威利,1999。6 FORTRAN程序文档,NAGFLIB图书馆,1566/0,MK10,2003。23
动态模拟直流机电系统 创新的数字方法
