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1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念1.2.2 函数的表示法函数的表示法第二课时第二课时 分段函数及映射分段函数及映射学习目标1. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；2. 会求分段函数的解析式和函数值，会画分段函数的图象会求分段函数的解析式和函数值，会画分段函数的图象(重点重点)；3. 了解映射的概念及它与函数的联系了解映射的概念及它与函数的联系(难点难点).预习清单 知识点一 分段函数的概念1.分段函数：分段函数：在定义域的不同子区间上在定义域的不同子区间上有有 的的函数函数.不同解析表达式不同解析表达式2.2.映射的概念：
2、映射的概念：一般一般地，设地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系关系f，使对于集合，使对于集合A中的中的_元素元素x，在集合，在集合B中都有中都有_的元素的元素y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f：AB为从集合为从集合_到到集合集合_的一个映射的一个映射任意一个任意一个唯一确定唯一确定AB预习清单 知识点二 映射的概念合作探究探究点一 分段函数的概念问题问题1 1：分段函数的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成分段函数的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的吗？的吗？提示：提示：不是不是.分段函数的定义域只有一个
3、，只不过在定义域的不同子分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同子区间上对应关系不同而已，是一个函数区间上对应关系不同而已，是一个函数.问题问题2 2：分段函数的定义域和值域如何求？分段函数的定义域和值域如何求？提示：提示：分段函数的分段函数的定义域定义域是各段自变量取值区间的是各段自变量取值区间的并集并集.分段函数的分段函数的值域值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的是各段函数在相应区间上函数取值集合的并并集集.合作探究探究点一 分段函数的概念合作探究探究点二 映射的概念问题问题1 1：映射与函数有什么区别于联系？映射与函数有什么区别于联系？提示：提示：函数函数是特殊的映射，即当两个
4、集合是特殊的映射，即当两个集合A，B均均为为_时，时，从从A到到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广数，映射是函数的推广非空数集非空数集问题问题2 2：什么是什么是映射的象与原象？映射的象与原象？提示：提示：给定一个集合给定一个集合A到到B的映射，且的映射，且aA，bB，若按照对应关系若按照对应关系f：AB ，a与与b对应，则把元素对应，则把元素b叫做叫做a在在B中的象，而中的象，而a叫做叫做b的原象的原象.合作探究探究点二 映射的概念问题问题3 3：映射具有哪些性质？映射具有哪些性质？提示：提示： (1
5、) 取元任意性，成象唯一性；取元任意性，成象唯一性；(2) A中元素不可剩，中元素不可剩，B中元素可剩；中元素可剩；(3) 多对多对一可以，一可以，一对多不行；一对多不行；(4) 映射具有方向性：映射具有方向性：f : AB与与 f : BA是不同的是不同的映射映射.合作探究探究点二 映射的概念典例精讲：题型一： 分段函数求值问题典例精讲：题型一： 分段函数求值问题思路探索思路探索1.形如形如f(f(x)的求值问题可从里向外求，先求的求值问题可从里向外求，先求f(x)的值，再求的值，再求f(f(x)的的值值.2.在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变量的值，在已知分段函数值的情况下
6、，应通过分类讨论来确定自变量的值，即在分段函数不同的定义子区间内分别求即在分段函数不同的定义子区间内分别求.典例精讲：题型一： 分段函数求值问题解析题后反思 拓展提升拓展提升 1.求分段函数函数值的方法求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当当出现多层出现多层“f”的的形式时，应从内到外依次求值形式时，应从内到外依次求值.题后反思2.已知函数值求字母取值的步骤：已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论先对字母的取值范围分类讨论.
7、(2)然后代入到不同的解析式中然后代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内检验所求的值是否在所讨论的区间内.变式训练答案：答案：(4，)解析解析 (1)去绝对值号，化简去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段的解析式并写出分段函数函数.(2)根据化简后函数解析式根据化简后函数解析式逐逐段画出图象段画出图象(3)分别求各段的值域分别求各段的值域，取其并集即为函数的值域取其并集即为函数的值域 典例精讲：题型二：分段函数图象问题思路探索思路探索典例精讲：题型二：分段函数图象问题解析解析(2)函数函数f(x)的图象如图所示的图象
8、如图所示(3)由由(2)知，知，f(x)在在(2,2上的值域为上的值域为1,3)典例精讲：题型三：映射的概念典例精讲：题型三：映射的概念 (1)A中元素中元素3在对应关系在对应关系f的作用下与的作用下与3的差的绝对值为的差的绝对值为0，而而0 B，故不是映射，故不是映射解析解析(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集中任何一个元素在集合合B中有无数个元素与之对应，故不是映射中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对对A中任何一个元素，按照对应关系中任何一个元素，按照对应关系f，在，在B中都有唯一的元素中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，
9、是映射与之对应，符合映射定义，是映射归纳总结1.满足满足下列条件的对应下列条件的对应f：AB为映射为映射：(3)集合集合A中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应中均有唯一元素与之对应(1)A，B为非空集合；为非空集合；(2)有对应法则有对应法则f；归纳总结2.给定给定两个非空集合两个非空集合A，B及对应关系及对应关系f，判断是否是从集合，判断是否是从集合A到集合到集合B的的 映射映射，主要利用映射的定义判断是否满足对集合，主要利用映射的定义判断是否满足对集合A中的任何一个元素中的任何一个元素， 在在集合集合B中都有唯一的元素和它对应中都有唯一的元素和它对应AB的对应有
10、的对应有“多对一多对一”“”“一一 对对一一”“”“一对多一对多”，前两种对应是，前两种对应是A到到B的映射，而最后一种不是的映射，而最后一种不是A到到 B的映射的映射课堂练习1设映射设映射f：AB，则下列命题中，正确的是，则下列命题中，正确的是()AA中每个元素在中每个元素在B中必有唯一元素与其对应中必有唯一元素与其对应BB中每个元素在中每个元素在A中必有元素与其对应中必有元素与其对应CB中每个元素在中每个元素在A中的对应元素唯一中的对应元素唯一DA中不同的元素在中不同的元素在B中的对应元素必中的对应元素必不同不同答案答案：A解析：解析：f：AB表示表示A中的任一元素在中的任一元素在B中都有
11、唯一元素与之对应，中都有唯一元素与之对应，而而B中的元素可以不参与对应，也可以和中的元素可以不参与对应，也可以和A中多个元素对应中多个元素对应课堂练习答案答案：D解析：解析：f(1)f(11)f(0)0.课堂练习3已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(0)0，f(1)1，f(2)6，则，则f(x)的解析的解析式为式为f(x)_.答案答案2x2x归纳小结1理解分段函数应注意的问题：理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域定义域”的并集，其值域的并集，其值域 是各段是各段“值域值域”的并集写定义域时，区间的端点需不重不漏的并
12、集写定义域时，区间的端点需不重不漏(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的 解析式解析式(3)研究分段函数时，应根据研究分段函数时，应根据“先分后合先分后合”的原则，尤其是作分段函数的原则，尤其是作分段函数 的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图 象象归纳小结2对对映射的定义，应注意以下几点：映射的定义，应注意以下几点：(1)集合集合A和和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其 他集合他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来 表达表达再见再见
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