解完题目回头看

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1、解完题目回头看不论是平时的练习，还是参加考试、竞赛，我们解题的目的都是检验自己运用知识的能力，开发智力，增长才干。因此，解完题目如能做到及时总结经验教训、多提新的问题、努力找出最佳解法，有助于我们对数学知识、方法的理解和运用，从而提高解题能力。一、 分析错误原因对错误的解答，要能够认真分析错误原因。搞清楚是理解题意有误、还是计算错误，是考虑问题不全面、还是解题思路有问题。认真反思，吸取教训，你离成功就不远了。例1 甲乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车行完全程需要5小时，乙车行完全程需要6小时。两车在距中点18千米处相遇。A、B两地全程是多少千米？分析：已知两车行完全程的时间，可以得到两车行相

2、同路程的时间比。又因为在路程一定的情况下，时间与速度成反比关系，于是可得到两车的速度比。根据速度之比就可以确定两车的相遇点了。解答：甲乙两车的速度比为：65。可以将全程看作11份，相遇时甲车行了6份，乙车行了5份。由题意可知，18千米相当于这样的（6-5）÷2=0.5份。因此，A、B两地全程为18÷0.5×11=396（千米）。说明：此例题容易误解为18÷（6-5）×11。错误原因是将18千米误认为是相遇时甲比乙多走的1份。画线段图帮助理解题意可以避免此类错误。例2 真分数化成循环小数后，小数点后面连续n个数字之和是2020，求m的值。分析：分

3、母为7的真分数化成循环小数后，小数部分的数字以“1、4、2、8、5、7”这6个数为一个循环周期，只是次序不同。如，。显然，求出最后一个循环周期的情形，即可求得m的值。解答：由2020÷（1+4+2+8+5+7）=2020÷27=7422可知，最后一个循环周期中数字和少了27-22=5。这说明最后一个不完整的循环周期有以下两种可能：一种是“71428”，另一种是“2857”。对于前一种，m=5，对于后一种，m=2。因此，本题中m的值应为2或5。说明：此例题容易丢解。原因是考虑问题不够全面。例3 如图1，等腰直角三角形ABC，直角边长1分米，将B点固定顺时针旋转90o，如图2，

4、求斜边AC在旋转过程中扫过的面积。分析：AC边上每一点在旋转过程中的轨迹均为一段弧，半径最长的显然是A、C两点的轨迹，而最短的则是过B点的AC边垂线的垂足D的轨迹，其间的部分即为所求。解答：由上面分析可知，所求面积即为图3中阴影部分。显然，阴影由大等腰直角三角形内、外的两部分组成，可以由半圆面积中减去大等腰直角三角形面积求得外面的一部分（两个弓形）。里面的一部分初看上去似乎不太容易求，但对于图4来说，若已知正方形面积求阴影面积是很容易的，本题中此部分阴影相当于图4中阴影部分的。因此， （平方分米）即斜边AC在旋转过程中扫过的面积为0.6775平方分米。说明：此例题容易误解为即只求出大等腰直角三

5、角形外两个弓形的面积。错误原因是只考虑了旋转的开始和结束时AC边的位置，而忽视了中间的旋转过程。例4 A、B、C、D、E五人小组分工合作解决一项要求20分钟完成的任务，但至完成时多用了2分钟。事后总结时发现：当时若将A、E分担的工作互换，全组的工作就能够按规定时间完成；当时若将B、D分担的工作互换，全组的工作就能提高效率。那么，当时若将A、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组就可以比规定时间提前几分钟完成任务？分析：全组完成此项任务的实际工作效率是，若将A、E分担的工作互换，全组的工作效率就是，再求出若同时将B、D分担的工作也互换全组的工作效率，就可求得工作时间。解答：若将A、

6、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组的工作效率应为全组完成任务的时间则为（分）比规定的时间提前了（分）所以，当时若将A、E分担的工作互换，同时将B、D分担的工作也互换，全组就可以比规定时间提前分完成任务。说明：此例题易误解为（分）。错误原因是理解题意有误。题中A与E和B与D分别互换工作使全组工作效率提高都是针对“当时”（即全组工作效率为时）而言的。实际上，交换岗位的人只是通过互相影响对方的工作效率而使全组工作效率发生变化，对其它人的工作效率不会产生影响。否则，就需要更多的已知条件，应用更为复杂的数学方法来解决了。二、 提出新的问题对于一些熟悉的、典型的题目，应该能够引申开来，想

7、一想还能提什么样的问题，反过来提问行不行，。这样做有利于举一反三，是事半功倍的好方法。例如，同学们一定很熟悉1+2+3+99+100或23+24+25+66+67+68这样的连续自然数求和问题，我们可以考虑反过来的问题：如果已知一个自然数，判断它能否表示成若干个连续自然数之和的形式，如果能，是哪些连续自然数之和？请看下面的例子：例5 2002能否表示成若干个连续自然数之和？如果能，有几种不同的表示方法？分析：如果2002能够拆成若干个连续自然数之和的形式，那么只需求出这些连续自然数的个数和最小的一个是几，就可以找出相应的拆法。为此设2002可以拆成个连续自然数之和，最小的一个为。则有：将个合并

8、起来就有：也就是： 或者： 即： 观察上式，不难发现下面两个结论：与的奇偶性相反（因为必为奇数，如果是奇数，则是偶数；如果是偶数，则是奇数）；<（因为1，所以+1）。也就是说，如果4004可以表示为一奇、一偶两个因数（4004的约数且奇数不能是1）相乘的形式，就可以找到相应的一组与的值。4004有几种这样的表示形式，就有几组不同的与的值与之相对应。解答：根据以上分析，除1外它的奇约数有7、11、13、7×11、7×13、11×13、7×11×13七个，相应的则有： 分别解得： 这样，说明2002可以表示成若干个连续自然数之和的形式，且有七

9、种不同的表示方法，分别是： 说明：（1）实际上，由于4004的奇约数与2002的奇约数情况完全相同，所以也可以说：2002有几个不同的奇约数（1除外），就有几种不同的表示为若干个连续自然数之和的方法。推广到一般情形，对于一个自然数N，如果有个不同的奇约数（1除外），N就有种不同的表示为若干个连续自然数之和的方法；（2）对于2002，我们还可以提另外的问题。如2002能否表示成若干个连续偶数之和？2002能否表示成若干个连续奇数之和？如果能，有几种不同的表示方法？请你试着分析一下，给出解答。再请看下面这样一个熟悉的问题：例6 1100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈周围。从1开始

10、沿顺时针方向进行如下操作，保留1，划去2；保留3，划去4；，如此每隔一个数，划去一个数，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？分析：我们先从简单情况研究，归纳出问题的规律，再应用规律解题。如果圆周上有2个数1、2，最后剩下1；如果有3个数1、2、3，最后剩3；如果有4个数1、2、3、4，最后剩1；如果有5个数15，最后剩的是3；如果有6个数16，最后剩的是5；如果有7个数17，最后剩的是7；如果有8个数18，最后剩的是1。我们发现当圆周上数的个数是2、4、8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，操作一圈，划去2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时

11、，从1开始，操作一圈，又划去2个，还剩从1开始的两个数，划去1以外的数，最后剩1。显然，圆周上数的个数是16、32、64、2n时，最后剩的都是起始数1。当圆周上数的个数是3时，划去2，就剩2个数，最后应剩下一步操作的起始数3；数的个数是5时，划去2，剩4个数，最后应剩下一步操作的起始数3。根据以上规律，如果有18个数，划去2、4，剩下16个数，再划下去，最后还应剩下一步操作的起始数5。就是说，划去若干个数后，当剩下的数的个数恰好是2n 时，下一步操作的起始数就是最后一个剩下的数。解答：根据以上分析，由于64=26，128=27，2610027，100-64=36，也就是说，要剩26个数，需要划

12、去36个数，按题意，最后划去的数是36×2=72，下一步操作的起始数是73，那么最后剩的就应该是73。说明：（1）本例是由著名的约瑟夫斯问题改编的。对于“把1n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈周围。从1开始沿顺时针方向进行如下操作，保留1，划去2；保留3，划去4；，如此每隔一个数，划去一个数，转圈划下去。那么最后剩下的一个数x是几？”这样的题目，我们可以得到一个一般性的结论： 若2kn2k+1，k是自然数，最后剩下的一个数x=（n-2k）×2+1。（2）我们还可以提出一些新的问题，如： 按原题操作规则，如果最后剩下的一个数是11，那么开始时圆周上至少有多少个数？

13、 按原题操作规则，如果最后剩下的一个数是11，且开始时圆周上的数不少于500个，那么开始时至少有多少个数？ 将原题的操作规则改为“从1开始，划去1，保留2；划去3，保留4；，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？ 将原题的操作规则改为“从1开始，保留1、2，划去3；保留4、5，划去6；，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？ 将原题的操作规则改为“从1开始，划去1，保留2、 3；划去4，保留5、 6；，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？请你再提出一些新问题，与上面几个问题一起当作练习题来完成吧！下面的例题很容易看出是在某种操作类问题基础上反过来提出的：例7 一条直径将圆周分成两个半圆周，在

14、每个分点标上质数p；第二次操作将两个半圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；第三次操作将四个圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；如此进行了n次操作后，圆周上所有已标数的总和为11130。求n和p的值各为多少？分析：本题不宜采用上例“从简单情况入手”的分析方法。我们直接来考虑第k次（k=1、2、3、n）操作后与第k-1次操作后圆周上所有已标数总和之间的关系。设第k次操作后圆周上所有已标数总和为Sk，由题意可知，第k次操作新产生一些分点，这些分点上所标数均为相邻两数之和的，所以这些新产生的分点上所标数之和是上一次（即第k-1次）操作后圆周上所有已标数总

15、和（即Sk-1）的2倍的。由此得到Sk与Sk-1之间的关系为：即： 下面我们用递推的方法来求得Sn与S1之间的关系：解答：由上面分析知：由题意知： 因此： 由题意可得： 即： 上式中，因p为质数，所以p的值只可能为：2、3、5、7、53。经验证，仅当p=3时，其余质因数可表示为两个连续自然数的乘积：（2×53）×（3×5×7）=106×105=（n+2）×(n+1)显然，此时n=104。所以，本题中n与p的值分别为104、3。说明：在本例的分析中，我们直接由某次操作后与上一次操作后圆周上所有已标数总和间的关系入手，进而得出第n次操作后

16、与第1次操作后圆周上所有已标数总和间的关系，使问题得以解决。这是一种特殊的归纳方法，通常称做递推。三、 寻求最佳解法许多竞赛题的解法不止一种。努力寻求多种解法，不仅可以找到适合自己的最佳解法，还可以拓宽思路，使我们的思维能力、解决问题能力得到锻炼。例8 正方形ABCD内部有2001个点，以这2001个点和四边形的4个顶点做三角形的顶点，最多可以剪下多少个小三角形？共需剪多少刀？分析：从简单情况入手分析，若正方形内部只有1个点，显然最多可剪下4个三角形、共需剪4刀（如图1）；若正方形内部只有2个点，此时新增加的1个点必在已有的4个三角形的某一个内部，这样就可以剪3刀破坏掉这个三角形剪成3个三角形

17、，即增加2个三角形、增加3刀（如图2）；于是容易发现，每增加一个点，剪下的三角形个数增加2、刀数增加3。解答：由以上分析可知，最多可以剪下小三角形的个数为4+2×（2001-1）=4004共需剪的刀数为4+3×（2001-1）=6004。说明：对本例我们还可以从整体的角度来进行分析。会聚于正方形内每一点的所有角度数之和是360o，正方形4个内角度数也是360o，因此所有剪下的三角形内角度数之和为360o×2001+360o，而一个三角形内角和为180o，所以剪下的三角形个数是；每剪1刀产生2条边，正方形本身的4条边是不用剪的，而每个三角形有3条边，所以共需剪的刀数

18、为。当然，今后学习了欧拉定理，还可以有更简捷的解法。例9 1100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈周围。从1开始沿顺时针方向进行如下操作，划去1，保留2；划去3，保留4，如此每划去一个数，隔过一个数，转圈划下去。那么最后剩下的一个数是几？分析：本例实际上是例6后面说明（2）中的第3个问题。我们当然可以象解决例6一样，从简单情况入手研究，找出规律再解题。但是，仔细审题就会发现，如果我们把1看作最后一个数，也就是把2看作最初的起始数（第1个数），那么本例就转化为与例6完全相同的题目了。只不过对本例来说，每个数的编号都提前了一（如2是第1个数、3是第2个数）。解答：例6的结果是73，

19、结合以上分析知，本例中最后剩下的一个数应为72。说明：转化是常用的一种数学方法，它可以把新问题转化为旧问题，巧妙的借助已知来求未知。例10 某学校有1036名学生，开运动会时学校给每位同学买了一瓶汽水。由于商店规定每5个空瓶可以换一瓶汽水，所以同学们用空瓶又换了一些汽水喝。他们最多可以再换到多少瓶汽水喝？分析：开始有1036个空瓶，第一次可换回汽水1036÷5=207瓶，还余下1个空瓶，第二次则可换回汽水（207+1）÷5=41瓶，还余下3个空瓶，直到不能再换为止，将每次换回的汽水瓶数相加，即可求得问题答案。解答： 因为1036÷5=2071 （207+1）

20、47;5=413 （41+3）÷5=84 （8+4）÷5=22最后还剩下2+2=4（个）空瓶，可以与商店暂借一个空瓶，换回1瓶汽水，喝完后再还回1个空瓶。这样，一共可以再换到207+41+8+2+1=259（瓶）汽水喝。说明：这样的算法合情合理，但解题之后回头再看，却觉得有些烦琐。题目中关键的一个条件是“每5个空瓶可以换一瓶汽水”，这句话的意思可以用下面等式来表明：5个空瓶=1个空瓶+一个瓶内的汽水也就是说： 4个空瓶=一个瓶内的汽水这说明一瓶汽水（不含瓶）的价值相当于4个空瓶，换句话说，1个空瓶的价值相当于瓶汽水（不含瓶）。于是，由开始有1036个空瓶可知，共可以再喝到汽

21、水：1036×=259（瓶） 由此可见，认真审题，透彻分析，抓住问题本质，就有可能会发现更加简捷的解题方法。练习题1、两地间的距离是950米。甲、乙两人同时由地出发往返锻炼.甲步行每分钟走40米,乙跑步每分钟行150米,40分后停止运动。甲、乙二人第几次迎面相遇时距地最近,距离是多少米？2某工程队承建一项工程，要用12天完成。如果只让其中的甲、乙两个小队交换一下工作内容，那么全工程就要推迟3天完成；如果让其中甲、乙两个小队交换一下工作内容的同时，也让丙、丁两个小队交换工作内容，仍然可以按期完成全工程。如果只让丙、丁两个小队交换工作内容，那么可以使全工程提前几天完成？3三角形ABC是等

22、边三角形，边长是10cm。像下图那样，使三角形ABC以A点为中心向右旋转30°，得到等边三角形AB1C1。那么五边形ABB1CC1的面积是多少平方厘米？4在圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个等分点上标出和；第二次把两段半圆弧分别二等分，在等分点上标出相邻两个等分点上的数之和；当第八次标完数后，圆周上所有以标的数之总和是多少？ 5某学校开运动会，打算发给1991名学生每人一瓶汽水，由于商店规定每7个空瓶可以换一瓶汽水，所以不必买1991瓶，但是至少要买多少瓶？6一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数p；第二次将两个半圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相

23、邻两数和的；第三次将四个圆周分别分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的；如此进行了n次。最后，圆周上所有数的和为17170。求n和p的值各为多少？ 解完题目回头看练习题解答1第二次、150米。解：两人共行一个来回,即2×950=1900(米)迎面相遇一次，用时 1900÷(40+150)=10(分)所以,两人每10分钟相遇一次,即甲每走40×10=400(米)相遇一次; 第二次相遇时甲走了800米,距地950-800=150(米); 第三次相遇时甲走了1200(米),距地1200-950=250(米).所以,第二次相遇时距地最近,距离150米.22天。

24、解：由题意知，如果只让甲、乙两个小队交换一下工作内容，这样全工程就要推迟3天完成。这就是说，甲、乙两小队交换工作内容后，全又因为如果让其中甲、乙两小队交换一下工作内容的同时，也让其中的丙、丁两小队交换一下工作内容，仍可按期完成全工程。这就是说，交换甲、乙两小队工作内容后降低的工作效率，由丙、丁两小队交换工作内容而得到补偿，即如果只让丙、丁两小队交换工作内容，可以使工作效率比原来全大队的工作效率提高1/60。因此，只让丙、丁两小队交换工作内容，完成全工程的天数为=10（天）可使全工程提高的天数是12-10=2（天）375。解：设三角形ABC边长为a，则a=10厘米。由题意易知=，且BDA=BDB

25、1=90O，BD=。所以五边形的面积是41260。解：设第n次时圆周上各点的数总和为Sn，分析题意可知： SN=3SN-1=32Sn-2=33Sn-3=3N-1S1所以，S8=37S1=37×（+）=1260。51593瓶。解：根据例10分析，1991÷（1+）=1592.8，由此可知，至少要买1593瓶。6n=100，p=5。解法参见例7。C29C91AFE4CED1B6C8795AD9C91AFE4CED1B6C8795AD91AFE4CED1B6C8795AD9C91FE4CED1B6C8795AD29C91AFEDD1B6C87D1B6C8795AD9C91AFE4

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