推荐玻恩卡曼周期性边界条件

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1、12求解原子的振动方程时，常假设所有原胞有相同的运动方程，而一个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所不同，运动方程也因此不同端点原子和其它原子受力不同，运动方程也不同3虽然只是少数原子的运动方程不同，但由于所有原子的方程都是联立的，给求解带来很大麻烦Born 和 von Karman 设想了一种方法来避免这种麻烦,就是采用一种特殊的边界条件，使得所有原胞完全等价，运动方程完全相同4设想一个包含 N 个原胞的原子链，将它首尾相连，构成一个环5在这样的设想中，如果 N 很大使环的半径很大，原子感受到的力仍然是一条直线上近邻原子给它力，并没有改变不同的是边界处(或链的端点)原子的受力改变了，但由

2、于端点原子数占总原子数是小量 (1/N)，预期这个改变不会影响晶体的宏观性质6考虑到链的循环性，也就是说，原胞的标数 n 增加 N，振动情况必须复原，这要求() -(-) i q n N ati qnatAeAe得到 1 iqNae2qNah因此或2qhNah 为整数72, , 22hNNqqhNaaa但故2 /2NLa波矢密度因此根据 Born-Karman 边界条件，波矢 q 取分立值可知 q 在第一布里渊区均匀分布, 一共有 N 个不同数值8在三维情况下， 玻恩卡曼边界条件要求沿三个基矢方向原胞的标数增加 Ni，振动情况必须相同 1111112222223333332 , 2 , 2 , hq N ahxNhq N ahxNhq N ahxN令123123qx bx bx b，有h1 、h2、 h3为整数9得到312123123hhhqbbbNNN它们代表 q 空间均匀分布的点每个点占据的 q 空间体积为331231230(2 )(2 )bbbqNNNNvV 边界条件允许的 q 均匀分布的密度为3(2 )VV 为晶体的体积