数学与应用数学毕业论文实二次型化零空间及介值性的进一步讨论

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1、 严剑龙 实二次型化零空间及介值性的进一步讨论实二次型化零空间及介值性的进一步讨论严剑龙（莆田学院数学系 指导教师：杨忠鹏）摘要: 如果有向量使,称为二次型的化零向量,本文首先研究了对给定实二次型的化零向量的代数结构，并将讨论推广至实二次型的介值性的研究,提出了满足介值性要求的解向量的概念,证明二次型的全部解集合不能构成线性空间也不能够构成线性流形,二次型的部分解集合能构成线性空间也能够构成线性流形,但所有的线性空间并不都能构成线性流形,且线性流形是不唯一的. 关键词：二次型 化零向量 介值性 化零空间 线性流形 Abstract: we call vector is the solution

2、 of quadratic formsif have vectormake.this paper study algebra structure of those vectors that can make the given real quadratic forms into the null vector, and then we further study the theorem of Intermediate characteristic of real quadratic forms, presents solution vectors concept that can satisf

3、ied the requirement for Intermediate characteristic of Quadratic forms.the all solution set of quadratic forms is proved not to constitution forms linear space and forms linear manifold, the partly of the solution set of quadratic forms is constitution to linear space and linear manifold ,but all li

4、near space not can constitute to linear manifold , also the linear manifold is not unique.Keyword：Quadratic forms Make into the null vector Intermediate characteristic Make into the null space linear manifold- 14 -0 引言0.1 记号表示实数域上的所有阶矩阵，表示阶单位矩阵,表示矩阵的秩若则称为实对称矩阵. 表示维的实向量实二次型正惯性指数为,负惯性指数为,符号差为.这里0.2 有关

5、定义定义1 设是一实二次型,若存在有,使得,则称为二次型的化零向量.定义2 设可逆矩阵,使得 使实二次型化成规范形如果,若中的非零元素为1或-1,且有,则称为的基本化零向量.定义3 对给定实数,满足的向量称为的解向量.定义4 所谓实数域上维线性空间的线性流形,即其中为的子空间,的固定向量,且的维数称为流形的维数.一维线性流形称为直线,二维线性流形称为平面,更高维线性流形称为超平面. 定义5 满足方程 的正整数解称为勾股数,其中满足的又称为素勾股数（或本原解）.定义6 满足方程 的正整数解称为维勾股数.0.3研究现状本文是在研究阅读高等代和高等代数的基础上,并查阅了刘先所写的关于二次型的介值性,

6、在此基础之上进一步提出了对二次型解向量的集合的代数结构的讨论,高等代课后习题介绍了二次型化零向量的存在,高等代里面介绍了存在两个线性无关的化零向量,并且在高等代的课后补充题里面还介绍了二次型存在一个维数为的化零子空间,刘先平的关于二次型的介值性这篇文章主要是证明了介值定理的存在性而并没有说明二次型解集合的代数结构,这三个已知条件一个比一个深入,但是它们都只是提到了化零向量的存在情况而并没有进一步说明这些化零向量所成的集合的代数结构,虽然高等代里面提到了二次型存在化零子空间,但是它并没有进一步说明这些子空间之间的关系,以及全部化零向量所构成的集合有什么代数结构,因此本文主要讨论的是这些解向量的集

7、合的代数结构.0.4提出问题本文主要研究的是二次型解向量所成集合的代数结构.因此提出下例相关问题(1) 二次型全体解向量所构成的集合是否构成线性空间?(2) 二次型全体解向量所构成的集合是否线性流形?(3) 若二次型存在线性流形,那么线性流形是否是唯一的? (4) 二次型的化零向量的构造是否是唯一的1相关的已知结论化零向量的存在性最早出现在中命题 设是一实二次型且.若有实维向量,使得则一定存在实维向量,使得.文章2又进一步提出了存在两个线性无关的化零向量.命题 设为级实对称矩阵,与为两个线性无关的维向量, 则存在两个与线性相关的维向量,而线性无关,且.化零向量空间的存在性是给出的.命题 设二次

8、型的秩为,则在中,存在维数为的子空间,则对任一向量,有,其中为二次型的符号差.命题 是一实二次型,若有维向量 ,若为介于与的任意实数,一定存在实维向.命题到命题说明了二次型的化零向量有三个结果,三种层次,命题说明了化零向量的存在性,命题说明了至少存在两个化零向量,命题说明了存在一个维数为的化零子空间,这三个命题一个比一个深入,但是它们都没有讨论二次型化零向量的其它代数结构,也没有说明存在的化零子空间是否是唯一的,如果不是唯一的,那么它们之间有什么联系,这些都有待于我们进一步探索.命题列出的是刘先在2007年6月份所发表的关于二次型的介值性,这篇文章主要是介绍二次型的介值性,这篇文章是本文的一个

9、主要依据,本文也是在这篇文章的基础之上进一步研究的,主要是探索二次型是否存在线性流形且线性流形是否是唯一的.这些研究方向主要是源于这篇文章的. 2预备知识引理 任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的. 引理2 设是可逆的且， 有线性无关生成的子空间为,令,则是同构的.证明 因为,则有 ,所以有，因为是可逆的,所以有又因为都是有限维的.则是同构的. 证毕. 引理 数域上线性空间的一个非空子集称为的一个线性子空间,如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间.1.如果中包含向量，那么就一定同时包含域中的数与的数量乘积2如果中包含向量与,那么就同时包含与的和

10、.3 主要结果3.1 二次型的化零空间存在定理3.1.1 设二次型秩为,则在中,存在维数为的化零空间,即对任一向,其中为二次型的符号差.证明 对于,存在可逆矩阵,使得, （1）其中 则有 (2) （1） ，（其中 表示第个元素为1,第个元素为1,其于的元素为0的实向量.）显然线性无关,令设此时由（1）可知线性无关，设由引理3可知下证这样由（2）得,对任意的由(1)得有这样由(2)可知这就说明是的化零空间. (2)，,显然线性无关,且且的维数同时从这样从引理3可知与(1)的讨论相似,可知当也即对任意的,由(1)知有使得,再从(2)得,对任意的有则为的一组化零空间,即是的化零空间.说明: 当时,则

11、可由定理3.1.1可得出命题,则定理3.1.1是命题的一个推广.推论3.1.1 题设与定理3.1.1相同,则定理3.1.1中没有包含 中的全部的化零向量.证明 设 由(2)也有,但不能有线性表出下用反证法证明假设当时能有(3)中的线性表出,即有,使得,令 即为二次型的化零向量.但是因为矛盾.则不能由线性表出,则从(2)知根据,使得即是的化零向量.从引理3知同构, ,又由于表示的唯一性知,则没有包含的全部的化零向量. (2) 当时也同理可证得还有不在里面的的全部的化零向量. 证毕.推论3.1.2 题设与定理3.1.1相同,是定理3.1.1中的化零空间,则还存在另外一个化零空间且.证明：依定理3.

12、1.1的解法 ,由定理3.1.1的证明可知使得,进而可得(1) 当时(i) 当时,设 由(1)知存在，且之间线性无关.令, 存在且由(2)可知即 则有,则为化零空间.下证，则有且则有 则也存在使得 因为,则由(3)和(5)知线性无关,由此可得也即(ii) 当时设 ,则相应存在 且之间线性无关. 令,同理可类似(1)的证明可得是二次型的化零空间且有. (2)当时也同理可证存在是二次型的化零空间且有. 证毕.3.2 二次型存在比较一般的化零空间.下面给出更一般的结论：定理3.2.1 设二次型的秩为,则在中,存在维数为的化零空间. 证明： 若 令， ，(7)由(7)知线性无关，因而构成子空间,的维数

13、为 由(2)知,对由引理3知线性无关.对任意的,由(1)知有使得,由(2)和已证的知若时，,(8)由(8)知线性无关，因而构成子空间,的维数为 由(2)知,对由引理3知线性无关.对任意的,由(1)知有使得,由(2)和已证的知.证毕.推论3.2.1 设实二次型的秩为,分别为的正负惯性指数,则有个基本化零向量.证明：则当对任意令存在,且有 存在,且有,存在,且有,在上面定理3.1.1,定理3.2.1及推论的证明中,由(3)-(7)所确定的基本化零向是得到相应的化零空间的基本元素.则设类似前面的讨论可知分别是(9)(10)(11)所确定的的基本化零向量为生成元生成的化零空间,由(1)可知是到的双射由

14、(9)(10)(11)是线性无关的可知由(9)(10)(11)所确定的基本化零向量互不相同,且有也即含有个基础化零向量.定理3.2.2设二次型秩为,则的全部基本化零向量不构成线性空间.证明 由推论3.2.1知至少有(9)(10)(11)所确定的个基本化零向量.设为这个基本化零向量所构成的集合. 可设，,则存在由(1)(2)知但则也即对加法运算不封闭,因此不构成线性空间.3.3 二次型的解集合存在线性流形定理3.3.1 设是一实二次型,存在维则的解向量存在且不唯一,且的全部解向量不构成线性空间.证明 由命题可得的解向量存在可设（当同理可证）设存在，使得,存在，使得对任意的存在，使得,则都是的解向

15、量集.则的解向量是不唯一的.下证的全部解向量不构成线性空间,为的全部解向量所成的集合. 设则存在即 但是有则也即有则也即对加法运算不封闭,因此不构成线性空间.定理3.3.2设是一实二次型,存在维一定存在实维向量,使得且当为不定矩阵或不可逆矩阵时的解集合存在维向量空间的线性流形. 证明：假设（当时同理可证）由命题可知的解向量存在.下证的解集合存在维向量空间的线性流形.（1）当为不定矩阵时设二次型的秩为,正惯性指数为,负惯性指数为,若 令 显然线性无关而且,则令,线性无关,则则令,那么是实二次型的化零空间.现在设则设可证是的线性流形.下证是上的线性流形设则 则是解集合的线性流形,的维数是.设 因为

16、,又因为所以 下证是的解集合的线性流形.设,则有 则为的解向量又因为为的化零空间.设 则是的解集合的线性流形,的维数是(2) 当为不可逆矩阵时设可得存在维数为的化零空间,设存在,使得,则令即得一组维的化零向量空间.当令,设任意的,则存在使得,即则成立.令,则有 则为线性空间的线性流形.当时,也可类似证明的解集合存在维向量空间的线性流形.证毕.定理3.3.3 题设与定理3.3.2相同,则定理3.3.2中的解集合存在维向量空间的线性流形且不是唯一的.证明 由定理3.3.2已证明的解集合存在维向量空间的线性流形.下证存在的线性流形不是唯一的.若 令设,则相应存在且之间线性无关.令,令设设设则 则为的

17、解集合的线性流形,且的维数是.当时设,则相应存在且之间线性无关.令令则可类似可证为的解集合的线性流形,且的维数是.则由定理3.3.3可知的解集合的线性流形是不唯一的,主要是由化零空间的构造不同引起的. 定理3.3.4 题设与定理3.3.3相同,则定理3.3.2中的全体解集合并不都能构成在向量空间上的线性流形.证明 为的一个特解,由定理3.1.2可知设当二次型秩为,若 令，则为的化零空间.但是令但不构成线性流形.因为则(当时)则不构成线性流形.故并不是所有的化零空间都能构成线性流形.4 介值性的相关应用例1 设是一实二次型,而且是正定矩阵，存在实n维向量使得,其中.证明:因为是正定,所以,则则根

18、据定理3.3.1可知对任意的,可得一定存在实n维向量使得.例2 设是一实二次型，而且是负定矩阵存在实n维向量使得.证明:因为是负定,所以,则根据定理3.3.1可知对任意的,一定存在维向量使得5 二次型化零向量求法的推广引理 素勾股数组的一般表达式为(其中:2不整除，(为正整数)引理三维勾股数有通解为 (其中:)引理四维勾股数有通解依的奇偶性有2个(1)当为奇数时,方程(2)的通解为 (其中:为任意正整数,满足)(2)当为偶数时,方程(2)的通解为 (其中:为任意正整数,满足)本文中主要讨论的是的化零向量和基本化零向量,这是比较特殊的解向量.下面给出另外的一种特殊的的化零向量考虑 (*) 则求的

19、化零向量就相当于求(*)式的解.(1) 若有为正整数且有 ,则向量为的化零向量且根据勾股数有本原解可知满足 (其中2不整除(为正整数)的都为的化零向量.(2) 若有为正整数且有 则向量为的化零向量且根据空间勾股数有本原解可知满足 (其中:)的都为的化零向量.(2) 若有为正整数且有 则向量 为的化零向量且根据空间勾股数有本原解可知满足引理条件的都为的化零向量.则(1)(2)(3)中的都是的化零向量,且比定理3.1.1中的化零向量的构造都要复杂.由(1)(2)(3)中的都是二次型的化零向量可知的化零向量的构造不是唯一的,具有多样性.本文主要讨论了实二次型化零空间及介值性,但本文考虑的都是一些比较

20、特殊的化零向量,且根据基础化零向量构造的方式不同得出所讨论的方向也是不同的,且基础化零向量的构造方式是不唯一的,所以本文所讨论的问题还远远没有结束,还需要我们不断地探索.结束语本文介绍了实二次型化零空间及介值性的进一步讨论,但是讨论二次型的解的基本形式是非常复杂的,因此本文定义了化零向量,在此情况下主要是讨论二次型基本化零向量集合的代数结构,化零空间和基本化零向量是本文的主线,且基本化零向量也是主要的手段，证明二次型的全体基本化零向量集合不构成化零空间,但存在一些化零空间,也可证明的全部解向量所成的集合不构成线性空间也不构成线性流形,但是的部分解向量的集合虽然不构成线性空间但它存在线性流形,并

21、且根据基本化零向量构造的方式不同得出所讨论的线性流形也是不同的,又从勾股数入手,得出化零向量的构造方式是不唯一的,是非常多的,所以本文所讨论的问题还远远没有结束,还需要我们不断地探索.致谢本论文是在导师杨忠鹏教授的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识,严谨的治学态度，精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己,宽以待人的崇高风范,朴实无华,平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标,掌握了基本的研究方法,还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成,每一步都是在导师的指导下完成的,倾注了导师大量的心血.在此,谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺

22、利完成,离不开各位老师,同学和朋友的关心和帮助,特别是郭文静和严益水同学,在此表示深深的感谢.没有他们的帮助和支持是没有办法完成我的学士学位论文的,同窗之间的友谊永远长存.参考文献1刘先平.关于二次型的介值性J.湖北民族学院学报,2007,25(2):1-2.2李师正,张玉芬等.高等代数解题方法与技巧(第1版) M.高等教育出版社,2004:200.3北京大学数学系几何与代数教研室代数小组(第二版).高等代数M.高等教育出版社:118-277.4 陈传璋.数学分析（上册）(第3版)M高等教育出版社,2004:86-175.5奚传智 线性流形空间J.曲阜师范大学学报，2000,26(1):1.6关春河,空间勾股定理及空间勾股数J.高师理科学刊,2007,27(4):1-4.7黄延祝,钟守铭,李正良.电子科技大学应用数学学院 矩阵理论(第1版)M.高等教育出版社,2003:6-7.8潘承洞,潘承彪.初等数论M.北京大学出版,1991:87-8