启智杯集训17

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1、启智杯集训姓名： 日期： “启智杯”思维能力竞赛集训（七）【备注】一、考察的思维品质 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。二、考察的思维能力1发散性思维能力：直觉思维数学直觉和数学灵感；形象思维数学表象和数学想象。2收敛性思维能力：逻辑思维形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。【综合实战区域】1、 如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走1，从A出发，恰走4步又回到A的路有多少条？(途中不再回A)2、 一个自然数N如果用7进制表示是，如果用11进制表示为，那么N的十进制数表示是多少？3、 一辆小汽车与一辆大卡车在一段5千米长的山路上相遇，必须倒车才能通行。已知小汽车的速度是大卡

2、车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的；小汽车需倒车的路程是大卡车倒车的路程的4倍。如果小汽车的速度是40千米/时，那么两车要全部通过这段狭路最少用多少小时？4、 参加运动会开幕式团体操表演的360个学生站成若干排，全部面向导演，然后按1，2，3，4359，360的顺序报数。导演要求学生按照下面的步骤进行操作：（1） 报的数是3的倍数的同学向后转；（2） 报的数是5的倍数的同学向后转；（3） 报的数是7的倍数的同学向后转；经过三个步骤以后，面向导演的学生还有多少人？5、 有1007个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1cm、3cm、5cm、7cm、9cm、2011cm、2013cm，将这

3、些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？6、 修一条公路，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工会相互影响，他们的工作效率会降低，甲队的工作效率与原来工作效率的比是4：5，乙队的工作效率降低10%。现在计划16天修完这条公路，且要求两队合作的时间尽可能少，那么两队要合作多少天？7、 甲、乙、丙、丁、戊五个人准备到麦当劳去开生日派对，每人都有2张麦当劳的优惠劵，集中到一起一看，原来是从1元的到10元的各有一张。他们各自的优惠劵加在一起的情况是：甲的是乙的2倍；乙的是丙的2倍；丁是戊的2倍。请问：甲的2张优惠劵

4、分别是几元的和几元的？8、 一如图，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求三角形的面积是多少平方厘米？9、 袋子中有红、橙、黄、绿、蓝五种颜色的小球若干个，每个人从中任取1个或2个。那么至少需要多少个人去取，才能保证有3个人取的小球是完全一样的？ 10、 某建筑公司用钢绳捆扎一种半径为0.5米的水泥管道便于运输。（1）如图1，如果排成一层把水泥管道的两头捆扎，至少需要多少米长的钢绳（接头处不计）？请完成下表格。管道/根2348钢绳长/米（2）如图2，如果分多层把水泥管道的两头捆扎，至少需要多少米长的钢绳（接头处不计）？请完成下表格。管道/根23458钢绳长/米11、 如图，阴影正方形的面积是3平方

5、厘米。以这个正方形的对角线为边作第2个正方形；再以第2个正方形的对角线为边作第3个正方形。照这个方法依次作下去。第10个正方形的面积是多少平方厘米？这10个正方形的面积之和是多少平方厘米？12、 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时他们速度之比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度降低10%，乙的速度提高20%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有11千米，那么A、B两地相距多少千米。13、 王乐乐每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出50个，肥皂泡吹出之后，经过一分钟有一半破了，经过二分钟还有没有破，经过两分半钟肥皂泡全破了。王乐乐在第30次吹出50个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有

6、多少个？14、 老师在黑板上写了从11开始的若干个连续自然数（如11，12，13，），后来擦掉了其中一个数，剩下的数的平均数是25.8，那么擦掉的数是多少？15、 一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着12013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？16、 国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2013个灯泡按12013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2

7、的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；同样，第n秒凡是编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？17、 某边防部队有两个班战：一班有9人，二班有6人。从9月20日起，每天安排两个班各一名战士负责夜间值勤。在夜间值勤表上，所有战士都被分别编上固定序号，按照序号从小到大一轮一轮的循环下去。如9月20日一班1号与二班1号负责，接下来依次是一班2号与二班2号、一班3号与二班3号一班7号与二班1号、一班8号与二班2号分别负责。问：（1）10月26日轮到哪两位战士值勤？（2）按照值勤表上的安排，一

8、班1号与二班5号是否会在同一天值勤？为什么？（3）如果从10月8日起，二班入伍一名新战士接在二班6号后面值勤，那么一班1号与二班5号是否能在同一天值勤？如果能，他们最早将在几月几日同时值勤？【参考答案】1、 因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：（1）第一步与第三步是同一个点的情况有：65=30（种）；（2）第一步与第三步不是同一个点的情况有：46=24（种）。所以共有3024=54（种）。2、 ，所以，化简得：，即：分析可得：07，（1），；（2）， 这个自然数为：（1）（2）3、 小汽车时速40千米，倒车时速8千米，倒车路程4千米，大卡车时速千米，

9、倒车时速千米，倒车路程1千米。若大卡车倒车，倒车时间为1（小时），前进时间为5（小时）总时间（小时）。若小汽车倒车，倒车时间为48（小时），前进时间为5 40（小时）总时间为（小时）。小时小时所以小汽车倒车的总时间较少，为小时。4、 报3的倍数的同学有3603120（人）；报5的倍数的同学有360572（人）；报7的倍数的同学有360751（人）。但是报3和5的公倍数而不是7的倍数的同学转了2次，有360（35）360（357）24321（人）；报3和7的公倍数而不是5的倍数的同学也转了2次，有360（37）360（357）17314（人）；报5和7的公倍数而不是3的倍数的同学也转了2次，有3

10、60（57）360（357）1037（人），这些同学都面向导演。而报3、5和7的公倍数的同学转了3次，有360（357）3（人）又背向了导演。根据容斥原理，背向导演的同学有12072512121427232153（人）。那么面向导演的同学有360153207（人）。5、 棱长为1cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：13（个）；棱长为3cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：3313（个）；棱长为5cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：5333（个）；棱长为7cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：7353（个）；棱长为9cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：9373（个）；棱长为11cm的正方体

11、至少有一个面涂有红漆的有：11393（个）；棱长为2011cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：2011320093（个）；棱长为2013cm的正方体至少有一个面涂有红漆的有：2013320113（个）；那么，这1006个正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，至少有一个面涂有红色的小正方体共有：13（3313）（5333）（7353）（9373）（11393）（2011320093）（2013320113）201338157016197.6、 由题意得，甲队工作效率为，乙队的工作效率为，甲、乙合作的效率为（110%），可知甲、乙合作工效甲队的工效乙队的工效。又因为，要求“两队合作的时间尽可能少”

12、，所以应该让做得快的甲队多做，甲队16天内实在完成不了的才让乙队参与进来，成为甲、乙合作。设合作时间为天，则甲独做时间为天，列方程为（16）1，解得10，即：甲、乙最少要合作10天。7、 甲、乙、丙的合计钱数的比是421，另外，每个人的钱数的合计，最小是3（12）元，最大是19（109）元。那么，以上三人的钱数是如下两种情况：（12，6，3）；（16，8，4）。 如果是的情况，三人的合计是21，剩下的丁和戊的合计钱数是55（从1到10的和）2134（元），这样的话，比例不是21，所以不成立。如果是的情况，两人的合计钱数是55（1684）27（元）。丁戊是21，分别是18元和9元。这时，我们已经

13、知道所有人的钱数：甲是7元9元；乙是2元6元；丙是1元3元；丁是8元10元；戊是4元5元。综上所述，甲的优惠劵是7元的和9元的。8、 如右图两个原图拼成一个四分之一圆，2S阴影S扇形2SAB5.7211.4（cm2），所以（）11.4，11.4（）11.40.28540，所以SAB（cm2）9、 每人取1个时有5种取法；每人取2个同颜色的小球时，有5种取法；每人取2个不同颜色的小球时，有10种取法，三种情况共有20种取法。根据抽屉原理，202141（人），即：当有41人时，才能保证至少有3人取得完全一样。10、 (1)通过探索发现，当管道数量为1时，钢绳长（）26.28（米）；当管道数量为2时

14、，钢绳长（+2）210.28（米）；当管道数量为3时，钢绳长（）214.28（米）；当管道数量为4时，钢绳长（）218.28（米）；当管道数量为时，钢绳长2，所以，当8时，钢绳长234.28（米）。（2）)通过探索发现，当管道数量为1时，钢绳长（）26.28（米）；当管道数量为2时，钢绳长（+2）210.28（米）；当管道数量为3时，钢绳长（）212.28（米）；当管道数量为4时，钢绳长（）214.28（米）；当管道数量为5时，钢绳长（）216.28（米）；当管道数量为时，钢绳长（）2，所以，当8时，钢绳长（）222.28（米）。11、 以一个正方形的对角线为边长，所作新的正方形的面积是原来正

15、方形的2倍，所以第10个正方形的面积是32935121536（平方厘米）。这10个正方形的面积之和是33213223293（212229）3310223066（平方厘米）。12、 第一次相遇时，甲行了全程的，乙行了全程的，相遇后甲速：乙速=3（110%）：2（1+20%）=9：8，A、B两地相距：11()=45(千米)13、 从王乐乐第30次吹出肥皂泡算起，递次向前推算。王乐乐第30次吹出50个肥皂泡时，第29次吹出的肥皂泡还有没有破，第28次吹出的肥皂泡还有没有破，第27次和以前吹出的肥皂泡全破了。将第30次、29次、28次的肥皂泡相加得到：50(1)80(个)。14、 25.8，说明这些数

16、约以26为中位数，剩下的数的个数是5的倍数。则推得剩余25个数，原数共有26个，最大写到了36，11到36的和(11+36)262611，剩余25个数的和25645，而611645，不符合题意。那么，推得剩余30个数，原数共有31个，最大写到41，11到41的和(11+41)312 806，而剩余30个数的和30774，80677432，因此擦去的是32.15、 每次操作都不改变纸箱中所有数之和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于12013的和除以100的余数。（12+20122013）10020270911002027091，所以这张卡片上的数是91.16、 某个灯泡，如果它的明暗变

17、化的次数为奇数，那么它是亮的。根据题意可知，号码为N的灯泡，明暗变化的次数等于N的因数的个数，而如果N的因数的个数是奇数，则N一定是平方数。所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。因为12，22，32，442193620134522025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。17、 （1）9和6最小公倍数是18，所以每18天循环一次，9月20日到10月26日是37天，37941，37661，刚好循环2次后第一天，即10月26日是一班1号与二班1号负责值勤。（2）不会。如右表格：因为在值勤表上，只有编号除以3余数相同的两个班的战士才会一同值勤。因为一班1号只能与二班1号和4号会在同一天值勤，所以一班1号不可能与二班5号在同一天值勤。（3）9和7最小公倍数是63，所以每63天循环一次，10月8日重新循环，如右表格：后第19天即10月26日一班1号与二班5号在同一天值勤。 10 / 10